江西省吉安市九年级(上)期末数学试卷(含解析)

1、江西省吉安市九年级（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共 6小题，每小题3分，共18分）1 . （3 分）计算：2sin30° =（）A. 1B .二C. 22. （3分）如图所示的几何体的俯视图是（）D.J3. （3分）将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（C.4. （3分）下列说法正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形C.四个角都是直角的平行四边形是正方形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形5. （3 分）如图，D 是4ABC 的边 BC 上一点，已知 AB= 6, AD = 3, AC=4, /DAC = /B,则

2、BD长为（）A. 4B . 6C. 8D. 96. （3分）如图，两个边长为 1的正方形，均有一边在坐标轴上，且各有一个顶点在函数y=（k>0, x>0）的图象上，其余顶点 A, B之间的距离为2,则k值为（）B.D. 6二.填空题（本大题共 6小题，每小题3分，共18分）7.（3分）已知:a+b的值为8.（3分）如图,RtABC 中，/ B=90° , AB=8, BC= 6, D 为 AC 的中点，贝U BD 的长9.（3分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了 580元，设平均每次降价的百分率为x,则可列方程为10. （3 分）在 RtABC

3、中，/ C=90° , AB = 4, AC= 1 ,贝U cosB =11. （3分）如图，菱形 ABCD中，/ D=60° , CD = 4,过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于点F.则EF12. （3分）如图，矩形 ABCD中，AB = 6, AD = 4”，点E是BC的中点，点 F在AB上,FB=2, P是矩形上一动点.若点P从点F出发，沿F - A-D-C的路线运动，当/ FPE= 30°时，FP的长为.（本大题共5小题，每小题6分,13.（6 分）（1）解方程：x2-4x= 5；(2)计算：4sin45° cos60° 3t

4、an30°314.(6 分)如图，在 RtABC 中，/ C=90?, tanA=4，BC = 6,求 AC 的长和 sinA 的值.415.（6分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离 AE长为20cm,幻灯片到屏幕的距离 EC长为40cm,且幻灯片中的图形 ED的高度为6cm,求屏幕上图形 BC的高度.2011年元旦，某学习小组共有若16. （6分）每逢佳节，同学之间都喜欢发信息相互祝贺,干名同学，每位同学给组内其他所有同学都发过（或回复）一条信息，经统计后可知, 共发信息380条，问该小组共有多少名同学？17. （6分）如图，直线 y=

5、-x+3与y轴交于点A,与反比例函数 y= （kw 0）的图象交四.（本大题共3小题，每小题8分，共24分）个特殊四边形18.(（1）判断这个几何体的形状;（2）求这个几何体的体积.19. (8分)把4张普通扑克牌；方块 3,红心6,黑桃10,红心6,洗匀后正面朝下放在桌 面上.(1)从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少？(2)从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张.请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽出一对6的概率.20. (8分)已知关于x的一元二次方程 x2+ (2k-1) x+k (k+1) =0 (k是常数)，它有两个 不相等的实数根.(1)求k

6、的取值范围；(2)请你从k=2或k= - 2或k= - 1三者中，选取一个你认为合适的k的数值代入原方程，求解这个一元二次方程的根.五.(本大题2小题，每小题9分，共18分)21. (9分)怡然美食店的 A、B两种菜品，每份成本均为 14元，售价分别为20元、18元,这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元.(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？(2)该店为了增加利润， 准备降低A种菜品的售价，同时提高 B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高 0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？2

7、2. （9分）在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2-2x+n与x轴的两个交点分别为 A （- 3,0) , B (1, 0), C 为顶点.（1）求m、n的值.（2）在y轴上是否存在点D ,使得 ACD是以AC直角三角形？若存在， 求出点D的坐标；若不存在，说明理由.六、（本大题1小题，12分）23. （12分）如图1,在矩形ABCD中，P是对角线AC上的动点，过点P的直线分别与 DC、AB交于点E. F （不与矩形的顶点重合）.(1)当 AF=CE, BE=BF, / BEF = 2/ BAC 时求证：PE = PF;若BC=2行，求AB的长（2）若AD = 4, CD = 6,则DP +

8、PE是否存在最小值？如果存在，利用图 2画出图形, 确定点P所在的位置，并求此最小值：如果不存在，说明理由.参考答案与试题解析选择题（本大题共 6小题，每小题3分，共18分）（3 分）计算：2sin30°A. 1C. 2D. 2 2【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可.【解答】 解：2sin30° = 2xX= 1,2【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.2.（3分）如图所示的几何体的俯视图是（B.J【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.【解答】解：从上往下看，易得一个长方形，且其正中有一

9、条纵向实线,【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.3.（3分）将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（AVC-D.【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率.【解答】解：列树状图可得【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.4. （3分）下列说法正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形8 .由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形C.四个角都是直角的平行四边形是正方形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐一进行判定即可.【解答】解：A.对角线互

10、相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；9 .由两个全等的直角三角形拼成的四边形是矩形，故 B错误；C.四个角都是直角的菱形是正方形，故 C错误；D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；故选：D.【点评】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键.5. （3 分）如图，D 是4ABC 的边 BC 上一点，已知 AB= 6, AD = 3, AC=4, /DAC = /B,则BD长为（）A. 4B. 6C. 8D. 9【分析】首先证明 ACDsbca,由相似三角形的性质解答即可.【解答】解：/ DAC = /B, /C=/C,ACDA BCA,. AB

11、=6, AD=3, AC=4, ACDA BCA,BD= BC-CD = 8- 2 = 6,故选：B.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的边长比等于相似比，证明 三角形相似是解决问题的突破口.6. (3分)如图，两个边长为 1的正方形，均有一边在坐标轴上，且各有一个顶点在函数 =(k>0, x>0)的图象上，其余顶点 A, B之间的距离为h/2,则k值为()xOxA. 2遮B. 3x2C. 3D, 6【分析】根据题意表示出 A(1, k-1), B (k-1, 1),利用勾股定理得出(1 - k+1) (k 1 1)2=2,求得 k=3.【解答】解：由题意可知 C

12、 (1, k), D (k, 1), .A (1, kT), B (k- 1, 1), . A, B之间的距离为也, . ( 1 - k+1) 2+ (k 1 1)2= 2,解得k=3或k= 1 (舍去)，故选：C.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示长A、B的坐标是解题的关键.填空题（本大题共 6小题，每小题3分，共18分）【分析】此类比例问题我们可以设一份为k,用k表示出各量即可求得.此题为设a=k,b= 2k,代入即可.【解答】解：设a=k,则b= 2k,._= k A.a+b k+2k 3【点评】本题比较简单，是比例题目中的常见题，要注意设一份为 k方法.8. （3 分

13、）如图，RtABC 中，/ B=90° , AB=8, BC= 6, D 为 AC 的中点，贝 U BD 的长犷C【分析】首先利用勾股定理求得斜边的长度，然后由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解答.【解答】 解：如图，RtABC中，/ B=90° , AB=8, BC=6,则由勾股定理得到： AC= 7aB2+BC2=Vs2-i-62= 10又 D为AC的中点，BD = AB=5.【点评】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.9. (3分)某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了 580元，设平均每次

14、降价的百分率为 x,则可列方程为1185 ( 1-x) 2=580 .【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X (1 +增长率)，本题可参照增长率问题进求解，如果设平均每次降价的百分率为x,那么根据题意可用 x分别表示以后列出降价的价格，然后根据已知即可列出方程.【解答】解：设平均每次降价的百分率为x,那么根据题意可用 x表示两次降价后的价格为1185(1-x).1185 (1 -x) 2=580.故填空答案：1185 (1 -x) 2=580.【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为 a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a (1±x

15、) 2 = b (当增长时中间的“土”号选+ ”,当降低时中间的“土”号选"一”).10. （3 分）在 RtABC 中，/ C=90° , AB = 4, AC= 1 ,贝U cosB =【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【解答】解：由勾股定理可知:故答案为：14【点评】 本题考查锐角三角函数，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型.11. (3分)如图，菱形 ABCD中,/ D=60° , CD = 4,过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于点 F.则EF的长为-4e_ .【分析】 连接BD交AC于O,由菱形的性质得出 AD/

16、BC, / CDB = / CBD =微/ ADC = 30° , ACXBD,由直角三角形的性质得出 OC=_CD = 2, OD = OC = *,得出 BD=2OD=4证明四边形 EFBD为平行四边形，得出 EF=BD=4、E即可.【解答】解：连接BD交AC于O,如图所示:四边形ABCD是菱形,AD / BC,/ CDB =/ CBD =/ADC=30° , AC ±BD ,.-.OC=_Lcd=2,2OD=V3OC=2V?,BD= 2OD = 4/3, EFXAC,BD / EF.四边形EFBD为平行四边形,EF=BD = 4后故答案为：陋.【点评】本题考

17、查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识;熟练掌握菱形的性质，证明四边形EFBD为平行四边形是解题的关键.12（3分）如图，矩形 ABCD中,AB = 6, AD = 4”，点E是BC的中点，点 F在AB上,FB=2, P是矩形上一动点. 若点P从点F出发，沿F - A-D-C的路线运动，当/ FPE =30 °时，FP的长为 4或8或4.【分析】如图，连接AE, DE,取DF的中点 O,连接OA、OE.以O为圆心画 OO交 CD 于 P3.只要证明/ EP1F = /FP2F = / FP3E = 30° ,即可推出 FP1 = 4, FP2 = 8

18、, FP3=4&j解决问题.画。交CD于P3.四边形ABCD是矩形,【解答】解：如图，连接 DF, AE, DE,取DF的中点O,连接OA、OE.以O为圆心 ./ BAD = / B=90° , BF=2, BE = 2j& AF = 4, AD = 4, .tan/ FEB = tan/ ADF3 ./ ADF = Z FEB = 30° ,易知 EF = OF=OD = 4, . OEF是等边三角形， Z EP1F=Z FP2F=Z FP3E= 30° ,FP1 = 4, FP2=8, FP3=4V3,故答案为4或8或4/l.【点评】本题考查矩

19、形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性 质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填 空题中的压轴题.三.（本大题共5小题，每小题6分，共30分）213. (6 分)(1)解万程：x - 4x= 5;(2)计算：4sin45° cos60° - 3tan30° .【分析】(1)利用因式分解法求解可得；(2)将特殊锐角的三角函数值代入，再计算可得.【解答】解：(1)x2-4x=5,x2 - 4x- 5=0,贝U ( x - 5) (x+1) = 0,x 5= 0 或 x+1 = 0,解得x=5或x= - 1;(2)

20、原式=4 X3X3.223=近一后【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.314. （6 分）如图，在 RtABC 中，/ C=90?, tanA=, BC = 6,求 AC 的长和 sinA 的值.4【解答】解:AC= 8,AB =2+bc2=?= 10,sinA =BCAB【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案. ABC 中，tanA=W, BC=6,a【点评】 本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础

21、题型.15. （6分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离 AE长为20cm,幻灯片到屏幕的距离 EC长为40cm,且幻灯片中的图形 ED 的高度为6cm,求屏幕上图形 BC的高度.【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答.【解答】解：DE / BC,AEDA ABC,包理AC BC AE=20cm, EC = 40cm,AC= 60cm,设屏幕上的图形高是 xcm,解得：x=18cm,答：屏幕上图形 BC的高度为18cm.【点评】 本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立

22、适当的数学模型来解决问题.16. （6分）每逢佳节，同学之间都喜欢发信息相互祝贺，2011年元旦，某学习小组共有若干名同学，每位同学给组内其他所有同学都发过（或回复）一条信息，经统计后可知，共发信息380条，问该小组共有多少名同学？【分析】设这个小组有 x名同学，每名同学发短信的数量为（x-1）条，根据共发信息380条，可列方程求解.【解答】解：设小组共有x名同学,得：x （x- 1） = 380,Xi = 20,或x2=- 19 （不合，舍去）答：小组共有20名同学.【点评】本题考查理解题意能力，关键找到信息总数这个等量关系列方程求解（kw 0）的图象交17. （6分）如图，直线 y=-x+

23、3与y轴交于点A,与反比例函数 y=于点C,过点C作CBx轴于点B, AO=3BO,求反比例函数的解析式.3BO,求出点CC的横坐标【分析】先求出点A的坐标，然后表示出 AO、BO的长度，根据 AO的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式.【解答】解：:直线y=-x+3与y轴交于点A,A （0, 3）,即 OA=3, AO= 3BO,.OB= 1,.点C的横坐标为-1,丁点C在直线y= - x+3上,，点 C （T , 4）,反比例函数的解析式为：y=-q.【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点 并求出纵坐标是解题的关键.四.（本大题共3

24、小题，每小题8分，共24分）18. （8分）如图所示为一个几何体的三视图，其俯视图为一个特殊四边形主观图左视图俯视图(1)判断这个几何体的形状；(2)求这个几何体的体积.【分析】(1)根据三视图判断几何体即可；(2)用底面积乘以高即可求得这个几何体的体积.【解答】解：(1)观察三视图发现：该几何体是一个四棱柱；(2)由几何体的三视图得：四棱柱的底面为一个对角线长分别为4和、花的菱形.，这个几何体的底面积为4X2= 2/2,，这个几何体的题解为 2/2X4= 8万.【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断出几何 体，难度不大.19. (8分)把4张普通扑克牌；方块

25、3,红心6,黑桃10,红心6,洗匀后正面朝下放在桌 面上.(1)从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少？(2)从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张.请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽出一对6的概率.【分析】(1)由4张普通扑克牌；方块 3,红心6,黑桃10,红心6,可利用概率公式求得从中随机抽取一张牌是黑桃的概率；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽出一对6的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解：(1)二.共有4张普通扑克牌；方块 3,红心6,黑桃10,红心6,从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是:(2)画树状图得:

26、开始/N /N /N /N6 10 6 3 10 6 3 6 8 3 6 10共有12种情况，抽出一对 6的2种情况，抽出一对6的概率为：£ =工12回【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.20. (8分)已知关于x的一元二次方程 x2+ (2k-1) x+k (k+1) =0 (k是常数)，它有两个 不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)请你从k=2或k= - 2或k= - 1三者中，选取一个你认为合适的k的数

27、值代入原方程，求解这个一元二次方程的根.【分析】(1)若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式=b2- 4ac>0,建立关于k的不等式，求出k的取值范围.(2)在K的取值范围内确定一个 K的值，代入求得方程的解即可.【解答】解：()=( 2k- 1) 2-4k (k+1)=4 k2 - 4k+1 - 4 k2 - 4k=8k+1 >0解得：k<-1-.故k的取值范围是(2)根据k的取值范围，选 k= - 1,得方程 x- (x - 3) = 0;解得它的两根为x1=0, x2=3.【点评】本题考查了根的判别式及公式法解一元二次方程的知识，一元二次方程根的情况与判别式的关系：

28、(1) > 0?方程有两个不相等的实数根；(2) = 0?方程有两个相等的实数根；(3) < 0?方程没有实数根五.(本大题2小题，每小题9分，共18分)21. (9分)怡然美食店的 A、B两种菜品，每份成本均为 14元，售价分别为20元、18元, 这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元.(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？(2)该店为了增加利润， 准备降低A种菜品的售价，同时提高 B种菜品的售价，售卖时 发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高 0.5元就少卖1份，如 果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？【分

29、析】(1)由A种菜和B种菜每天的营业额为 1120和总利润为280建立方程组即可；(2)设出A种菜多卖出a份，则B种菜少卖出a份，最后建立利润与 A种菜多卖出的 份数的函数关系式即可得出结论.【解答】解：(1)设该店每天卖出 A、B两种菜品分别为x、y份，曰 f2018y=1120根据题意得，<,(20-14)x+(18-14) y=28C屈”曰(x 20解得：,lv=40答：该店每天卖出这两种菜品共60份；(2)设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖(20+a)份；总利润为 w元因为两种菜品每天销售总份数不变，所以 B种菜品卖(40-a)份每份售价提高0.5a元.w= (20140.5a

30、) (20+a) + (1814+0.5a) (40a)=(60.5a) (20+a) + (4+0.5a) (40a)=(-0.5a2 - 4a+120) + ( - 0.5a2+16a+160)=a2+12a+280=-(a - 6) 2+316当 a = 6, w 最大，w= 316答：这两种菜品每天的总利润最多是316元.【点评】此题主要考查的是二元一次方程组和二次函数的应用，解本题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组或函数关系式，最后计算出价格变化后每天的总利润.22. (9分)在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2-2x+n与x轴的两个交点分别为 A (- 3,0

31、) , B (1, 0), C 为顶点.(1)求m、n的值.(2)在y轴上是否存在点 D ,使得 ACD是以AC直角三角形？若存在，求出点D的坐B (1, 0)代入y=mx2-2x+n解方程组即可得到结论;(2)过C作CEy轴于E,根据函数的解析式求得 C ( - 1, 4),得到CE=1, OE= 4, 设D (0, a),得到OD=a, DE=4- a,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】解：(1)把 A ( 3, 0), B (1, 0)代入 y=mx2 2x+n 得，9.6+声0 ,解得：J4T；故m的值为-1, n的值为3;(2)存在,理由：过C作CEy轴于E,.抛物线的解析式

32、为 y= - x2- 2x+3,y= - ( x+1) 2+4,.C ( - 1, 4),.CE= 1, OE = 4,设 D (0, a),则 OD = a, DE = 4-a,.ACD是以AC为斜边的直角三角形, ./ CDE+Z ADO = 90° ,CDE = / DAO, . CDEs DAO,- CE = DE . , OD 0A1 _ 4-a【点评】(0, 3).-a1=1, a2=3,和性质,正确的理解题意是解题的关键.本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定六、（本大题1小题，12分）23. （12分）如图1,在矩形ABCD中，P是对角线AC上的动点，过点P的直线分别与 DC、AB交于点E. F （不与矩形的顶点重合）图2(1)当 AF=CE, BE=BF, / BEF = 2/ BAC 时求证：PE = PF;若BC=2依,求AB的长（2）若AD = 4, CD = 6,则DP + PE是否存在最小值？如果存在，利用图 2画出图形,确定点P所在的位置，并求此最小值：如果不存在，说明理由.【分析】（1）由“ASA”可证4 AFPA CEP,可得PE=PF;连接BP,由“HL”可证RtABCERtABPE,可得BC=BP=2方，由直角三角形