清华大学微积分A笔记(下)

1、精选优质文档-倾情为你奉上二重积分换元：dxdy=x,yu,vdudv常用：极坐标变换x=rcosy=rsin, dxdy=rdrd, 0,2椭圆极坐标变换x=atcosy=btcos, dxdy=abtdtd,0,2三重积分换元：dxdydz=x,y,zu,v,wdudvdw常用：柱坐标变换x=rcosy=rsinz=z, dxdydz=rdrddz,0,2球坐标变换x=rsincosy=rsinsinz=rcos, dxdydz=r2sindrdd, 0,0,2椭球坐标x=atsincosy=btsinsinz=ctcos, dxdydz=abcsindtdd第一类曲线积分：标量在曲线上不

2、分方向的积分Lf(r)dl 计算方法：1.化为定积分二维下x=x(t), y=y(t), 则Lf(r)dl=frxt2+yt2dt2.注意对称性第一类曲面积分：标量在曲面上不分方向的积分计算方法：1.化为二重积分ijkxuyuzuxvyvzv=Ai+Bj+Ck是曲面S:x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)的一个法向量，在S上的面元dS=A2+B2+C2dudv如果将S向xOy面上投影，n是S的单位法向量，则dS=dxdyn.z 即dxdy=cosdS，其中是法向量与z轴的夹角第二类曲线积分：向量在定向曲线上沿切向量的积分计算方法：1.化为定积分：LABFx,y,zdl=LABXx,

3、y,zdx+Yx,y,zdy+Zx,y,zdz2.化为第一类曲线积分：LABFx,y,zdl=LAB(Fx,y,z.t)dl, 其中t是曲线的切线方向, tdl=(xt,yt,zt)dt3.用Stokes公式转化为第一类曲面积分LABFx,y,zdl=DFdS, 其中曲线的旋转方向必须使得D始终在曲线左侧。若曲线不闭合，选择计算简便的路径使之闭合3.二维情况：Green公式DXdx+Ydy=DVdxdy=D(Yx-Xy)dxdy, 其中V=Xi+Yj特别地，S=Ddxdy=Dxdy-ydx4.对于与路径无关的曲线积分可以从1.式中凑积分凑积分公式：darctanyx=xdy-ydxx2+y2d

4、kx2+y2+z2=-kxdx+ydy+zdzx2+y2+z232第二类曲面积分：向量在定向曲面上沿法向量的积分（向量场在曲面上的通量）计算方法：1.化为第一类曲面积分：S+V.dS=sV.ndS=SV.Ai+Bj+Ckdudv, 其中n是曲面沿定向的单位法向量2.化为二重积分S+V.dS=SXx,y,zdydz+Yx,y,zdzdx+Zx,y,zdxdy其中若S+的定向与x轴正方向成锐角则dydz=dydz，成钝角则dydz=-dydz计算SXx,y,zdydz时，可以使用曲面方程消去x=x(y,z)，然后用平面上的积分方法来求，这样dydz可以使用记忆的平面的公式化为参数形式带wedge的

5、二重积分也可以转化成第二类曲面积分来做3.用Gauss公式转化为三重积分S+V.dS=V.VdV，其中S的定向向外，若曲面不闭合，选取面使之闭合比较：定积分换元 du=uxdx曲线积分换元dl=xt2+yt2dt=tdtdl=tdl=tdt,其中t=(xt,y(t)二重积分换元dxdy=x,yu,vdudv=xuyuxvyv曲面积分换元dS=A2+B2+C2dudv=|n|dudvdS=ndS=ndudv,其中n=A,B,C=ijkxuyuzuxvyvzv三重积分换元dxdydz=x,y,zu,v,wdudvdw附录：常用坐标系极坐标系x=rcosy=rsin, 0,2面积元dS=dxdy=r

6、drd常用积分限：过原点的圆, x2+y2a2r0,a, 0,2过(0,a)且半径为a的圆x2+y22ay0, r0,2asinr=R的弧元dl=rd对于圆周x2+y2=2ay上的曲线积分，可以套用极坐标换元 r=2asin, x=2asincosy=2a sinsin,0,，此时需要重新计算弧元。也可以用三角换元x=acosy=a(sin+1),0,2，而且平移变换不会改变弧元dl=ad柱坐标系x=rcosy=rsinz=z, 0,2体积元dV=dxdydz=rdrddzr=R的柱面面积元dS=Rddz球坐标系x=rsincosy=rsinsinz=rcos, 0, 0,2体积元dV=dxd

7、ydz=r2sindrdd常用积分限：过原点的球x2+y2+z2a2 r0,a,0,0,2过0,0,a的球x2+y2+z22az0,2,0,2,r0,2acosr=R的球面面积元 dS=R2sindd=0的圆锥面面积元dS=rsin0drd=0的垂直面面积元dS=rdrd向xOy面上投影，x=rsincosy=rsinsin, dxdy=rsind(rsin)d椭球坐标x=atsincosy=btsinsinz=ctcos 体积元dV=dxdydz=abcsindtdd对于椭球上的问题，更自然的方法是作换元 p=xa,q=yb,s=zc ，这样积分会变为单位球p2+q2+r2=1上的问题常见积分公式sin2xcos2xdx=x8-sin4x3