直线与平面的投影

1、2-5.给下列平面图形标注尺寸。19个2345第五讲 直线和平面的投影P57-67二、直线的投影 （第三章第二节）直线的投影一般仍为直线。 两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。HVXYZWabAabOBabYWYHaXaZbbbaO直线分为三大类（根据直线与投影面的相对位置不同） 一般位置直线 投影面平行线 投影面垂直线 与三个投影面都倾斜平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜垂直于一个投影面即与另外两个投影面都平行特殊位置直线1.各类直线的投影特性(1) 投影面平行线V正平线*H水平线W侧平线 ab倾斜且ab=AB；实角、。 abOX轴 abOZ轴正平线投影特性

2、Oa b baa b ba aa b b V VH HWWbaababbaab ba 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，反在其平行的那个投影面上的投影反映实长，反映直线与另两投影面倾角的真实大小。映直线与另两投影面倾角的真实大小。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投影 特性实长实长实长实长实长实长baaa b bbaOZXBbbaAHVaYWXaaAVYOZbbabBWHOZXBbbaVaAbYaWH(2) 投影面垂直线V正垂线H铅垂线*W侧垂线 水平投影积聚为一点； 正面投影垂直于X轴，反映直线实长； 侧

3、面投影垂直于YW轴，反映直线实长。 a(b)bXbYHOYWZbaaVXHa(b)YaZaOBAWb铅垂线投影特性a(b)VXaYHABbabZOXaba(b)ABZYabVHbZBAVabaXYa(b)OZXaOa(b)babYWYHZYWOYHbaXaba(b)a(b)ZOXababYWYH铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，反映线段实长且垂直投影轴。反映线段实长且垂直投影轴。 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性正垂线水平线判断直线相对投影面的位置特殊位置直线：名称 投影特性，要求熟练掌握。水平线侧平线侧垂线侧平线铅垂线水

4、平线（3）一般位置直线投影特性：投影特性： 三个投影均倾斜于投影轴 三个投影均不反映实长及真实夹角。定义：对三个投影面都倾斜的直线。HVXYZWabAabOBabYWYHaXaZbbbaOABCVHbcc b a a2.直线上的点的投影n Nnb n c a bnca 若点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上。并将线段的同面投影分割成与空间相同的比例。即： 若点的投影有一个不在直线的同面投影上， 则该点必不在此直线上。AC: :CB= =ac: :cb= =a c : :c b 点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abca b c c abca b 点C在直线AB上aVXHd

5、dcCDObbcAaBcababXdacbdOdZYHYWc若二直线平行，其各组同面投影一定互相平行，反之成立。（1）平行3.两直线的相对位置平行相交交叉三种情况：abcdc a b d 例2：已知ab/cd, a b /c d ,判断直线AB与CD是否平行？ 对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB/CDAB/CD因为：ab/cd, a b /c d XdODkKaACacHBbbdVckcXaackYHObadYWckkbZdbd（2）相交 若空间二直线相交，其同面投影必定相交，且交点的且交点的投影必符合点的投影规律投影必符合点的投影规律，反之，亦然。cabb

6、a c d k kd例3：过点C作水平线CD与AB相交。先作正面投影m(n)eXaace(f)nmfcObddaYHdYWcbZbacXbeDNdOMmnCAam(n)cfFEe(f)BHbVd 既不平行，又不相交；投影相交的交点不符合点的投影规律。（3）交叉（异面直线）问题：E、F 点是什么点？ABCabcH4. 垂直两直线的投影特性直角投影定理 若相交两直线互相垂直，且其中一条直线平行于投影面，则两直线在该投影面上的投影互相垂直。设BCAB,直角边BC/H面 BCBb BC平面ABba直线在直线在H H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即 abc为直角 bcab故 bc平面ABba又 B

7、Cbc证明：a c b abcd abca b c d例4：过C点作直线与AB垂直相交。AB为正平线, 正面投影反映直角。abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及线直线及线外一点外一点abca b c dd 两条平两条平行直线行直线abca b c 两相交两相交直线直线平面平面图形图形三、 平面的投影abca b c 1.各类平面的投影特性投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面 各种位置平面的投影都符合投影规律“长

8、对正，高平齐，宽相等”（1）一般位置平面 对三个投影面都倾斜，三个投影都是小于实形的类似形。类似形边数相等，凸凹一致。既不相等，又不相似。H1 V1 W1aAabBcbcaCcbVWHbaXbaOcYHYWcabcZ正垂面垂直于正面投影面的平面称为正垂面。铅垂面垂直于水平投影面的平面称为铅垂面。侧垂面垂直于侧面投影面的平面称为侧垂面。 垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面 （2）投影面垂直面以铅垂面为例铅垂面的投影特性： 水平投影abc为倾斜线段，具有积聚性，它与OX轴、OYH夹角分别反映平面与V面、W面的夹角。 正面投影abc和侧面投影abc是类似的平面图形，且小于实形。XCBcHabbYc

9、aZcaWVAbXYWbYHcaabZOabcc11铅垂面正垂面侧垂面直观图投影图投影特性ccXbbaYHZObacaYWcbXbacacbOZaYHYWYWbYHcaabXZOabccaccbabACBacHVWbBAbccaababcHVWCCBcHabbcacaWVAb投影面垂直面的投影特性 在所垂直投影面中的投影为一条倾斜的直线，具有积聚性，该直线与投影轴的夹角反映出平面与另两投影面的真实夹角。 在另外两投影面上的投影为空间平面的类似形。111111平行于某一个投影面正平面平行于正面投影面的平面称为正平面。 水平面平行于水平投影面的平面称为水平面。侧平面平行于侧面投影面的平面称为侧平面

10、。 （3）投影面平行面以水平面为例 水平投影abc反映ABC的实形； 正面投影abcOX轴，具有积聚性； 侧面投影abcOYW轴，具有积聚性。bbXaaZOYHaccbYWcaAaBcCbcbabcXHYWVZ水平面投影特性：水平面正平面侧平面直观图投影图投影特性 在所平行的投影面上的投影反映实形。 在另外两投影面上的投影积聚成直线（积聚性），且平行相应的投影轴。投影面平行面的投影特性bbXaaZOYHaccbYWccbabbXaOccZaYHYWaXcacbOZabbcYHYWAababcBcbCcaHWVacbabABacbcCHVWaAaBcCbcbabcHWV2. 平面上的点和直线 如

11、果一直线经过平面上的两个点，则此直线一定在该平面上。 如果一直线经过平面上一个点，而且平行于平面上的另一直线，则直线一定在该平面上。直线在平面内的条件：BAC DEccaabb d de eABCQMNmnnaabccbmab bc cb b c c a ab bc cb b c c a d d m mn nn n m m d d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。解法一解法二有无数解。cbadabce例2：已知直线DE在三角形所决定的平面内，求作其水平投影de。cbadabcede1212例2：已知直线DE在三角形所决定的平面内，求作其水平投影de。ABDECII

12、I分析：DE在平面上，必然通过平面上的两点 求出 的水平投影12，并在12上求出de。作图步骤： 延长de与ab、 a c分别交于点1、2；结束平面内取点若取点必须先取直线。点在平面内的条件是：点在该平面的一条直线上。例3：已知点K在平面ABC上，求点K的水平投影。b bac cc c a k k b b ab bc cab b k k c c b b b bac cc c a k k k kab bc cab b k k c c d d k kd利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解例3：已知点K在平面ABC上，求点K的水平投影。例4：已知在平行四边形ABCD上开一燕尾槽，要求根据其正面

13、投影作出其水平投影。cd4c32aa1bbdcdabd4c32a1b124365例4：已知在平行四边形ABCD上开一燕尾槽，要求根据其正面投影作出其水平投影。分析：点、在直线AB上，可直接求解。点、在平面内，必在平面内的直线上，可作出面内一条过两点的直线，然后辅助求解。65结束平面上的特殊直线 任意一个平面上都可以作出投影面的平行线，这种直线是特殊直线。eef f 特点：既在平面上，又平行于某一投影面例5：在平面ABC内作一水平线，使其到H面的距离为10mm。cabcab例5：在平面ABC内作一水平线，使其到H面的距离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！ 任意一个平面上都可

14、以作出投影面的平行线，这种直线是特殊直线。 特点：既在平面上，又平行于某一投影面 求出水平投影mn，MN即为所求。作图步骤： 在V面量取Z坐标10mm，与ab、 a c分别交于点m、n；结束有多少解？四、 几何元素间的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置有两种: 平行相交直线与平面平行平面与平面平行直线与平面相交平面与平面相交1.平行问题(1) 直线与平面平行 如果平面外一直线与这个平面上的某一直线平行，则此直线与该平面平行直线平面 平面平面 ABCDP例1：过M点作正平线MN平行于平面ABC。m c b a abcmn唯一解n 当直线与投影面垂直面平行时，它们在该投影面上的投影一定平行。

15、平行问题特殊投影情形pbaapbAabHCPBDpab kabk例2 过点K作平面平行于直线AB作k k c c ab, kckcab b, ,所以ABKCABKCccdd任作KD无数解无数解平面KCD与AB平行(2) 平面与平面平行 如一个平面上的相交二直线对应平行另一平面上的相交二直线，则二平面平行。为何强调相交二直线？PQc f b d e a abcdefa b k abkcc 例3 过点K作面平行于平面ABC。与正垂面平行的平面必是正垂面 当两个互相平行的平面垂直于投影面时，它们在该投影面上的投影也一定平行。qQHPpqqpp平行问题特殊投影情形 2.相交问题直线平面 = 交点平面平

16、面 = 交线 直线与平面不平行时必然相交，交点是直线与平面的共有点； 平面与平面不平行时必然相交，交线是两平面的共有线。除了求出交点和交线的投影以外，还要判别可见性。(1) 直线与平面相交 当平面或直线二元素中有一个位置特殊，即投影具有积聚性时，该元素的一个投影具有积聚性，交点在该投影面上的投影可直接求出； 然后利用在平面上取点或在直线上取点的方法求得交点的另一个投影。bm(n)m n c b a ack分析：直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 求交点 判别可见性k 用面上取点法例4：求直线MN与平面ABC的交点 正面投影中mn与abc具有重合区域，存

17、在可见性问题；可见与不可见的分界点为交点K。 从水平投影中可看出，直线ac在mn前面，说明在正面投影中ac所在平面处挡住mn， mn在k下方不可见， mn 在k上方可见。结束aApbHkKPBbpaapb 以铅垂面P与直线AB相交为例，说明求交点K并判断可见性的方法。bpaapbaApbHkKPB第一步：求交点投影K 平面P的水平投影p积聚成直线，该直线与ab的交点即为点K的水平投影k。再用直线上取点的方法求可正面投影k 。kk以铅垂面P与直线AB相交为例，说明求交点K并判断可见性的方法。第二步：判断可见性 正面投影中ab与p具有重合区域，即存在可见性问题；可见与不可见的分界点为交点K。 从水

18、平投影中可看出，点k右侧：直线ab在p的前面，说明ab在k右边可见，左边不可见；可见画成粗实线，不可见画成虚线。bpbpaaaApbHkKPBkk以铅垂面P与直线AB相交为例，说明求交点K并判断可见性的方法。结束重影点法判断可见性（2）平面与平面相交 两平面相交，其交线是两平面的共有线。求作两平面交线投影的方法是： 求交线：求出两个共有点，或者一个共有点和交线的方向。 判别可见性：判别两平面重影部分的可见性。aabbccpp例5：求作两平面P与ABC的交线的投影，并判别可见性。VCNAanmcbMBPpamabbccnmnpp作图方法：第一步：作交线的投影：利用线面交点法，求出两个交点，连线即

19、可。由于平面P是正垂面，p有积聚性，交线的正面投影mn已知，据此作出交线的水平投影mnVCNAanmcbMBPp例6：求作两平面P与ABC的交线的投影，并判别可见性。VCNAanmcbMBPp第二步：判别可见性。amnmabbccnpp结束 可见与不可见的分界线为交线MN，从正面投影可以看出，在 mn的左侧，平面ABC比p高，因此，平面ABC在MN左侧的水平投影可见，右侧不可见。 它们的正面投影不重合，即正面投影均可见；水平投影有一部分重合，因而在重合范围内存在可见性判别问题。3.垂直问题（1）直线与平面垂直立体几何定理：(1) 若直线垂直平面内任意二相交直线，则直线垂直该平面。(2) 若直线

20、垂直一平面，则必垂直于该平面上的一切直线。线面垂直定理： （1）若一直线垂直一个平面，则该直线的水平投影必定垂直于面内水平线的水平投影，直线的正面投影必定垂直于面内正平线的正面投影。 （2）若一直线的正面投影和水平投影分别垂直于平面上的正平线的正面投影和水平线的水平投影，则直线一定垂直该平面。BCHPKAkapkXppkaa特殊位置平面的垂线PQPQ(2)平面与平面垂直 若一直线 垂直一个平面，则包含该直线的所有平面都垂直该平面 反之，如二平面垂直，则由第一个平面内任意一点向第二个面作垂线，一定在第一个平面内。（先有垂线，后有垂面，即面面垂直是用线面垂直来保证。)ABABAPABQ1 ABPP

21、Q2 ABPP QCHpPQABbaqpqCpqX特殊位置平面的垂直作业： 3-3,3-4-1(1)(2),3-4-2,3,4，3-5-1,3-5-2复习：P57-67预习：p71-78上机：1-2答疑：周四下午4：006：00 信电楼705 例1：判断点K是否在平面上，并求平面上点E的水平投影。cddckkeaabb辅助例题eecddcaabbkkmmnn 例1：判断点K是否在平面上，并求平面上点E的水平投影。因为水平投影k不在水平投影cm上，所以点K不在平面ABCD上作图步骤：(1)判断点K是否在平面内。(2)求点E的水平投影。分析：点在平面内的条件是：点在该平面的一条直线上。结束连接直线ck，与ab交于m，求出cm。连接ae与dc交于点n，求出水平投影n，连接an，过e的竖直线与an延长线的交点e，即为所求。辅助例题abcmnc n b a m 例例2 2：求直线：求直线MNMN与