函数极限与连续

1、前页前页结束结束后页后页章章函数极限与连续第一页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章当自变量当自变量x取数值取数值 时，与时，与 对应的因变量对应的因变量y的值称的值称为函数为函数 在点在点 处的函数值处的函数值,记为记为 或或 .当当x 取遍取遍D内的各个数值时内的各个数值时, 对应的变量对应的变量y 取值的全体组成取值的全体组成0 xD0|x xy0 x0 x0()f x定义定义1 设设x与与y是两个变量，若当变量是两个变量，若当变量x在非空数集在非空数集D内任取一内任取一个数值时，变量个数值时，变量x 按照某种对应法则按照某种对应法则f 总有一个确定的数值总有一个确定的数值y 与与之

2、对应，则称变量之对应，则称变量y为变量为变量x 的的函数，记作函数，记作称称D为该函数的定义域为该函数的定义域.记为记为Df 称称x为自变量，称为自变量，称y为因变量为因变量.xD1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念数集称做这个函数的值域数集称做这个函数的值域. .记为记为Zf 。 1.1 1.1 函函 数数 ( )yf x( )yf x第二页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章1.1.2 1.1.2 函数的表示法函数的表示法 例例1 1 已知某商品的总成本函数为：已知某商品的总成本函数为： 2( )1004QCC Q 例例2 2 某工厂全年某工厂全年1 16 6月原材料进货数量如

3、下表，这里月原材料进货数量如下表，这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系表达的是时间和原材料进货数量之间的关系 T(月)123456Q(吨)111012111212(1)公式法公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法系，是函数的公式表示法.如例如例1是用公式法表示函数是用公式法表示函数.(2)表格法表格法 自变量自变量x与因变量与因变量y的一些对应值用表格列出的一些对应值用表格列出第三页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章(3) 图示法图示法 用函数用函数y=f(x)的图形给出自变量的图形给出自变量x与与因变量因变量

4、y 之间的关系之间的关系. .例例3 3 需求函数与供给函数需求函数与供给函数. . , ,如图如图. .P表示商品价格表示商品价格, ,Q表示需求量表示需求量, ,供给量供给量, ,E点点为需求和供给平衡点为需求和供给平衡点 ( )Qf P( )QPSSEQPOQ=(P)Q=f(P) 说明说明 三三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角函种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相互数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相互补充。补充。第四页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章例例4 求函数求函数 的定义域的定义域(1)(1)函数的

5、定义域和对应法则是函数的两个主要要素函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素。 注注: :(2)(2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则 它们是相同的函数它们是相同的函数 (4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义域是使函在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集.(3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的.13xyx解解 当分母当分母 时时,此函数式都有意义此函数式都有意义 3

6、0 x 因此函数的定义域为因此函数的定义域为(, 3)( 3,) 第五页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章例例5求函数求函数 的定义域的定义域.216ln(sin )yxx 44,2(21) ,012xnxnn即即， ， ， 所以函数的定义域为所以函数的定义域为 与与 . 4,)(0, ) 解要使函数解要使函数y 有定义，必须使有定义，必须使2160,sin0,xx成成立立 40,xx与与 这两个不等式的公共解为这两个不等式的公共解为第六页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章解解 当当 时时,函数值函数值 设有函数设有函数 ,问它们是否为同一问它们是否为同一个函数个函数.21( )1

7、,( )1xf xxg xx 例例6( )( ),f xg x (,), 由于由于 与与 的定义域不同的定义域不同,所以它们不是同一所以它们不是同一个函数个函数.( )f x( )g x1x 但是但是 的定义域的定义域( )f x而而 在点在点 无定义无定义其定义域为其定义域为( )g x1x (, 1)( 1,). 与与第七页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章在实际问题中在实际问题中, ,有时会遇到一个函数在定义域的不有时会遇到一个函数在定义域的不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函数同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函数称为分段函数称为分段函数 例如符号函数例如符号函

8、数 100010,sgn,xyxxx是一个分段函数，它的定义域为是一个分段函数，它的定义域为 (,) 分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数示几个函数.第八页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章2, 01,( )2 , 12.xxyf xxx f (x)的定义域是的定义域是0,2，222111,(1)11;224ff 因因此此1 ,10,12 由由于于，例例7333(1,223.222f 而而，因因此此当当 时时,0 1 , x 2( )f xx 当当 时时,1 2( , x ( )2f xx 第九页，共88页。前页前页结

9、束结束后页后页章章定义定义 设设y是是u的函数，的函数，y = f (u)， ，而，而u是是x的函数的函数 ，并且，并且 的值域包含的值域包含f (u)的定义的定义域，即域，即 ，则，则y 通过通过u 的联系也是的联系也是x的函的函数，称此函数是由数，称此函数是由y =f(u) 及及 复合而成的复合复合而成的复合函数，记作函数，记作( )uxxD ，Uu( )xUxD ，)(x)(xu1.1.3 复合函数复合函数并称并称 x 为自变量，称为自变量，称 u 为中间变量为中间变量. ( ),yfx 例例8 分析函数分析函数 是由哪是由哪 几个函数复合而成几个函数复合而成.1cos2xy 解解，是是

10、由由函函数数uyyxcos2cos1 21vuvx 和和复合而成复合而成,并易知其定义域为并易知其定义域为(,) 第十页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章例例9 求由函数求由函数 组成的复合函数并求其组成的复合函数并求其 定义域定义域. 13 xuuy，解解 由于由于 的定义域为的定义域为 与与u=3x1的值域的值域 有公共部分，有公共部分，0,) (,) yu 由于由于 必须必须 ，从而，从而 ，yu 0u 310 x 故复合函数的定义域是故复合函数的定义域是 .1 ,)3 , 13 xy所以由它们可以组成复合函数所以由它们可以组成复合函数1( ) ( ), ( ).1f xf f x

11、f f f xx ，求求例例10 设设1 ( )1( )f f xf x 解解111,0 ,xx 1111x 第十一页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章)., 0()0 ,( 和和的的定定义义域域为为为为负负整整数数时时，当当 x)., 0), 0()0 ,(,),(,2135 72 5332 的的定定义义域域为为；和和的的定定义义域域为为；为为的的定定义义域域，如如分分数数时时，情情况况比比较较复复杂杂当当xxxxx为(1)幂函数幂函数yx 幂函数幂函数 的定义域随的定义域随 的不同而不同的不同而不同.x 1.1.基本初等函数基本初等函数).,( 的的定定义义域域为为为为正正整整数数时

12、时，当当 x( 是常数是常数) 当当 为无理数时为无理数时,规定规定 的定义域为的定义域为 (0,)x 第十二页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章指数函数指数函数 的定义域为的定义域为 .当当a1时，它严时，它严格单调增加；当格单调增加；当0a1时，它严格单调增加；当时，它严格单调增加；当0ax0 x( )f x0 xx 0 xAxfxx )(lim00 xx0 xx限，记为限，记为0 x0 x0 x第四十三页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章函数的极限与左、右极限有如下关系：函数的极限与左、右极限有如下关系： 定理定理3 3 0lim( )xxf xA 00lim( )lim(

13、)xxxxf xf xA 注注: : 定理定理3 3常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 例例2 2 判断函数判断函数 1cos,0( )sin,0 xxf xxx 在在 点处是否有极限点处是否有极限. . 0 x 00lim( )lim(1cos )0 xxf xx解解: 00lim( )lim sin0 xxf xx 00lim( )lim( )0 xxf xf x 因为因为0lim( )0 xf x 所以所以第四十四页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章定理定理4(4(唯一性定理唯一性定理) ) 如果函数在某一变化过程中如果函数在某一变化过

14、程中 有极限，则其极限是唯一的有极限，则其极限是唯一的 2 2 函数极限的性质函数极限的性质定理定理5(5(有界性定理有界性定理) ) 若函数若函数f (x)当当x x0 0时极限存在，时极限存在，则必存在则必存在x0 0的某一邻域，使得函数的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界在该邻域内有界定理定理6(6(两边夹定理两边夹定理) ) 如果对于如果对于x0 0的某邻域内的一切的某邻域内的一切 x( ( 可以除外可以除外) )，有，有 ，且，且00lim()lim()xxxxh xg xA 0lim( )xxf xA 则则0 x( )( )( )h xf xg x第四十五页，共88页。前页

15、前页结束结束后页后页章章1.1.无穷小量无穷小量定义定义7 若变量若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量在某过程下以零为极限，则称变量Y在此在此过程下为无穷小量，简称无穷小过程下为无穷小量，简称无穷小.1.2.3 1.2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量303lim00 xxxx ，是是例例3sinsinxxxx 0 0l l i i m m0 00 0，是是例例4时的无穷小量时的无穷小量.时的无穷小量时的无穷小量.因为因为所以所以因为因为所以所以第四十六页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章例如函数例如函数 时的无穷小，但当时的无穷小，但当时不是无穷小。时不是无穷小。当当 时，时

16、， 的极限不为零，所以当的极限不为零，所以当 时时，函数，函数 不是无穷小，而当不是无穷小，而当 时时是无穷小量。是无穷小量。1 ( )f xxx 是是应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。1x sin x 2x2xsin x0 x sin x第四十七页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章定理定理7 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中 (1) 有限个无穷小的代数和仍为无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小.(4) 有界函数与

17、无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小有限个无穷小的乘积仍为无穷小.2 .无穷小的性质无穷小的性质第四十八页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章sin.xxx 0 01 1l l i i m m求求例例5limxxxx 0 00 00 0，即即 是是解解 |sin|,sinxx 1 11 1 1 1 而而即即注意注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，这个极限不能用极限的四则运算法则求得， 因为因为 不存在不存在.xx1sinlim0. 01sinlim0 xxx所以所

18、以时的无穷小量时的无穷小量.为有界变量为有界变量,第四十九页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章3. 无穷大量无穷大量).( )( )(lim00 xxxfxfxx或定义定义8 在自变量在自变量x的某一变化过程中的某一变化过程中, ,若函数值的绝对若函数值的绝对值值 无限增大，则称无限增大，则称 f( (x) )为此变化过程中的无穷为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大大量，简称无穷大. .记作记作 )(xf 记记f (x)是无穷大，是无穷大，只是为了书写的方便，同时也表明了当只是为了书写的方便，同时也表明了当 时时f (x)虽然虽然无极限，但还是有明确趋向的无极限，但还是有明确趋向的.无穷

19、大量是一个绝对值可无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量，不是绝对值很大很大的固定数无限增大的变量，不是绝对值很大很大的固定数.0 xx 注意：注意： 函数函数f (x)当当 时为无穷大，则极限时为无穷大，则极限 是不存在的是不存在的.利用记号利用记号0 xx )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx第五十页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章4 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小无穷小(不等于不等于0)的倒数是无穷大的倒数

20、是无穷大.定理定理9 在自变量的同一变化过程中，若在自变量的同一变化过程中，若f (x)为无穷大为无穷大,则则 为无穷小为无穷小;反之反之,若若f (x)为无穷小且为无穷小且f (x)不等于不等于0,则则 为无穷大为无穷大.)(1xf)(1xf xx1lim001lim xx例如：例如：第五十一页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章.xxx 2 22 21 11 1l i ml i m1 1求求.xxx 2 22 21 11 1 l l i i m m1 1由由定定理理知知以后，遇到类似例以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果的题目，可直接写出结果.例例6,xxx 2 22 21 11

21、1 l l i i m m0 01 1由由于于解解( )xf xx 1 11 1例例7 7考察考察 当当 时，时， 为无穷大量；为无穷大量；( )xf xx 1 11 11x 当当 时，时， 为无穷小量；为无穷小量； ( )xf xx 1 11 11 11x第五十二页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章定理定理1 设设 ,则则 (f xg xA B 2 2) ) l l i i m m ( ( ) ) ( ( ) ) ; ;(3)0B 若若，.f xAg xB ( ( ) )l l i i m m( ( ) )1.3.1 1.3.1 极限的运算法则极限的运算法则下面的定理，仅就函数极限的情

22、形给出，所得的结论对数下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论对数列极限也成立列极限也成立.1.3 1.3 极限的运算极限的运算(1)( )( )f xg xAB l l i i m mlimlimf xAg xB ( ( ) ), , ( ( ) )其中自变量其中自变量x的趋势可以是的趋势可以是 等各种情形等各种情形.0,xxx 第五十三页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章定理定理1中的中的(1)和和(2)可以推广到有限个函数的代数和及可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况乘积的极限情况.结论结论(2)还有如下常用的推论还有如下常用的推论.推论推论1 设设limf(x)存在

23、，则对于常数存在，则对于常数c，有，有lim( )lim( ).cf xcf x 推论推论2 设设limf(x)存在，则对于正整数存在，则对于正整数k，有，有lim ( )lim( ) .kkf xf x 321lim(232).xxx求求极极限限例例132132111lim(2)lim(3)lilim(23m22)xxxxxxxx 解解. 12131223 第五十四页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章一般地，设有多项式一般地，设有多项式(有理整函数有理整函数)( ),nnnnf xa xa xaxa 1 10 01 11 1lim( )lim()nnnnxxxxf xa xa xaxa

24、 00001 1011011 则有则有limlimlimnnnnxxxxxxaxaxaxa 0 00 00 01 10 01 11 1().nnnna xa xaxaf x 1 10 00 01 10 01 10 00 0lim( )()xxf xf x 0 00 0即即第五十五页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章lim.xxxx 2 22 24 42 21 1求求极极限限例例2lim.xxxx 2 22 22 24 42 22 24 46 62 21 12 2 2 21 15 5解解),()()(000 xFxQxP 0000lim( )( )lim( )lim( )lim( )xxx

25、xxxxxP xP xF xQ xQ x lim( )()xxF xF x 0 00 0有有时时当当都都是是多多项项式式与与其其中中,0)(,)()(0 xQxQxP( )( ),( )P xF xQ x 设有理分式函数设有理分式函数第五十六页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章式式(1)与式与式(2)说明对于有理函数求关于说明对于有理函数求关于 的的极限时，如果有理函数在点极限时，如果有理函数在点 有定义，其极限值就是有定义，其极限值就是在在 点处的函数值，以后可以当做公式使用点处的函数值，以后可以当做公式使用.0 xx 0 x0 xlim ().xx 1 11 12 2lim.xxx

26、2 2 1 11 11 1求求例例3()()limlimxxxxxxx 2 2 1 1 1 11 11 11 11 11 1解解第五十七页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章lim().xxx 3 31 11 13 31 11 1求求. 11112112lim221 xxxx )1)(1()2)(1(lim21 xxxxxx 例例4lim()limxxxxxxx 2 23 33 31 11 11 13 31 13 31 11 11 1解lim.xxxx 2 22 221212 2求求例例5limlim.xxxxxxxx 2 22 22 22 211112 221212 22 22 21 1

27、解解第五十八页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章.21lim32 xxxx求求. 021111lim21lim32332 xxxxxxxxx例例6，然后再求极限，得，然后再求极限，得分母同时除以分母同时除以分子分子, ,3x解解一般地一般地, ,对于有理分式有对于有理分式有: : mnmnbamnbxbxbaxaxamnmmmmnnnnx当当当当当当0lim011011其中其中n, ,m为正整数为正整数第五十九页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限重要极限重要极限1 sinlim.xxx 0 0 1 1其中的两个等号只在其中的两个等号只

28、在x=0时成立时成立.|,|sin| | |tan|, 2xxxx 证证设圆心角设圆心角 过点过点A作圆的切线与作圆的切线与OB的的延长线交于点延长线交于点C，又作，又作,OABD , xAOB 则则sin x =BD，tan x=AC，BODACx当当 时时首先证明不等式首先证明不等式第六十页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章|sin| | |tan|.xxx 当当 时有时有即当即当 时时,OABOABOACSSS 扇扇形形D DD Dsintan .xxx 即即sin()tan(),xxx sintan .xxx 即即sintan ,xxx 1 11 11 12 22 22 2BOD

29、ACxx0 0 2 2，p p而当而当 时有时有 ,从而从而x 0 02 2p px 0 02 2p p即当即当 时有时有|x 0 02 2p p|sin| | |tan|.xxx 这就证明了不等式这就证明了不等式 .x 0 0|sin| | |tan|xxx 第六十一页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章|sin|x用用除除不不等等式式的的各各端端，得得tan| |,sinsinxxxx 1 1,sincosxxx1 1 1 1即即sincos1. xxx 从而有从而有|sin| | |tan|.xxx cossin(),xxxx 2 22 22 2 1 12 21 12 21 12 2

30、2 2注注意意sin.xxx 2 2 1 11 12 2于于是是有有lim(),lim,xxx 2 20 00 0 1 11 1 1 11 12 2因因由夹逼准则，即得由夹逼准则，即得1sinlim0 xxx第六十二页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章. 1tanlim0 xxx求例例7)cos1sin(limtanlim 00 xxxxxxx解解. 1cos1limsinlim00 xxxxx1coslim0此题中用到此题中用到xx20cos.xxx求求1 1l l i i m m220)2(2sin2lim21xxx.211212例例8220202sin2limcos1limxxxx

31、xx解解xxx55sinlim50.515 .5sinlim0 xxx求例例9xxxxxx55sin5lim5sinlim 00解解第六十三页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章. e)1 (lim 0110zzzzxxz，从而有时，则当在上式中，令这是重要极限这是重要极限2常用的另一种形式常用的另一种形式.()xxex1 1l i m 1l i m 1重要极限重要极限2ttxxtx63)11 (lim)21 (lim().xxx 3 32 2l i m 1l i m 1求求.)11(lim66ettt 例例10解解 令令 ,则当则当 时时, ,因此因此xt 2 2，x t 第六十四页，共

32、88页。前页前页结束结束后页后页章章.1)11(lim1exxx .)1(limxxxx求例例1111xxxxxxx)11 (1lim)1(lim解解例例12 12 设有本金设有本金10001000元，若用连续复利计算，年利元，若用连续复利计算，年利 率为率为8%8%，问，问5 5年末可得本利和为多少？年末可得本利和为多少？解解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为设复利一年计算一次，则一年末本利和为),08. 01 (000 1若复利一年计算若复利一年计算n次，则次，则x年末本利和为年末本利和为.)08. 01 (000 1 nxn x年末本利和为年末本利和为所以所以1000(10.08)x

33、 第六十五页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章1.3.3 无穷小的比较无穷小的比较两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子.,2 ,sin,32都是无穷小时当xxxxxx.,sin,2;0 322均不是无穷小是无穷小时即xxxxxxxxx , 1sinlim , 22lim , 0lim0020 xxxxxxxxx,lim320不存在xxx这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于0的速度有的速度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋

34、于快有慢，为了比较不同的无穷小趋于0的速度，的速度，我们引入无穷小量阶的概念我们引入无穷小量阶的概念. .第六十六页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章此时也称此时也称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小.(3)如果如果 ,则称则称 是比是比 阶的无穷小阶的无穷小.记作记作lim 0 0b ba ab ba a(2)如果如果 ,则称则称 与与 是等价无穷小是等价无穷小,记作记作lim 1 1b ba ab ba a.b ba a.o ( ( ) )b ba a(1)如果如果 是常数是常数),则称则称 是同阶无穷小是同阶无穷小.lim(0c c 与与定义定义 设设 时为无穷小时为无穷小(且且

35、 ).( )x( )x，0()xxx在在或或0 第六十七页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章所以当所以当 时时, 与与x是等价无穷小是等价无穷小,即即所以当所以当 时时, 是比是比x高阶的无穷小高阶的无穷小,即即1,sinlim0sinlim00 xxxxx，且例例13.x x x s si i n n ( (0 0) )0limxxx 1 1- -c co os s 0 0, ,又又 因因cos( )().xo xx 1 1 0 02122sin21limcos1lim2020 xxxxxx例例14 因为因为同理可知同理可知,当当 时时,x 0 0tan.xx所以当所以当 时时, 是同

36、阶无穷小是同阶无穷小. x 0 0cosx 1 1x 0 0sin xx 0 0cos xx 2 21 1与与第六十八页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理.)lim( lim 由假设，有证证limlimlim.lim存在，则有，无穷小，且时都是或在及，设lim)( 0 xxx定理定理2limlim. b bb ba aa a第六十九页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若此根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来代

37、替极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来代替，如果选择适当，可简化运算，如果选择适当，可简化运算.用定理用定理2求极限，需要预先知道一些等价无穷小求极限，需要预先知道一些等价无穷小. 一些常一些常用的等价无穷小如下：用的等价无穷小如下：sin,tan,ln() ,cos.xxxxxxxxxxx 2 20 0 e e1 1 1 1 1 12 2当当 时时第七十页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章.2sin3tanlim0 xxx求例例15，所以，时，当xxxxx22sin33tan0解解.2323lim2sin 3tan lim 00 xxxxxx.2tanlim230 xxxxx求

38、例例16，所以，时，当)2(2tan023xxxxxxx解解.212lim2tan lim0230 xxxxxxxx第七十一页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章.sintanlim30 xxxx求2tan1cos2xxxx ，3030)cos1( tanlim tanlim xxxxxxxx sin .212lim320 xxxx例例17时，时，当当0 ), cos(1 tan sin tan xxxxx解解第七十二页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章注意：注意： 相乘相乘(除除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但是的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但是相加相加(减减)的无穷

39、小的项不能作等价代换，例如的无穷小的项不能作等价代换，例如.tansinxxxxxxxx 3 33 30 00 0l l i i m ml l i i m m0 0是完全错误的是完全错误的第七十三页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章x1.4.1 1.4.1 函数连续性的概念函数连续性的概念xxxxxx 00相应的函数的改变量（增量）相应的函数的改变量（增量）:函数的函数的终值终值 与初值与初值 之差之差 称为自称为自变量的改变量，记为变量的改变量，记为)()()()(0000 xfxxfxfxfyyy 1.1.改变量（增量）：改变量（增量）：1.4 1.4 函数的连续性函数的连续性yx0

40、 xxx0)(xfy )(0 xfxy0当自变量由初值当自变量由初值 变化到终值变化到终值 时，终值与初值之差时，终值与初值之差 称为自变量的改变量，记为称为自变量的改变量，记为0 x0 xx )(xf)(0 xf)()(0 xfxf 第七十四页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章 定义定义1 1： 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，当自变量在点当自变量在点 处有增量处有增量 时，相应的函数有增量时，相应的函数有增量 , ,如果当自变量的增量如果当自变量的增量 趋于零时趋于零时，函数的增量，函数的增量 也趋于零，即也趋于零，即则称函数则称函数 在点在点 处连续，点

41、处连续，点 称为函数的连续称为函数的连续点点0 x)(xfy )()(00 xfxxfy )(xfy limlim ()()xxyf xxf x 0 00 00 00 0D DD DD DD D0 x0 x0 x2.2.连续连续x x y 若记若记 ，则，则 ，且当，且当 时，时，xxx 0)()(0 xfxfy 0 xx 故定义故定义1 1又可叙述为又可叙述为第七十五页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章注：注：)()(lim0lim000 xfxfyxxx 定义定义2 2：设函数设函数y = = f ( (x) )在点在点 的某邻域内有定义，若有的某邻域内有定义，若有 , ,则称函数则

42、称函数 在点在点 处连续处连续. . lim( )()xxf xf x 0 00 0 x0 0（1）定义）定义1与定义与定义2是等价的是等价的, 即即由左右极限定义可定义左右连续定义由左右极限定义可定义左右连续定义（2）由定义）由定义2可知若函数可知若函数 在点在点 处连续，则函数处连续，则函数 在点在点 处的极限一定存在，反之不一定连续处的极限一定存在，反之不一定连续x0 0)(xf)(xfx0 0（3）当函数）当函数 在点在点 处连续时，求处连续时，求 时，只需求出时，只需求出 即可即可)(xf0 xlim( )xxf x0 0)(0 xf( )yf x 第七十六页，共88页。前页前页结束

43、结束后页后页章章定义定义3 3：若函数：若函数 满足满足 ，则称，则称函函 数数 在点处左连续。在点处左连续。 同理可以定义右连续同理可以定义右连续3 3、左右连续、左右连续)()(lim00 xfxfxx4 4、区间连续、区间连续定义定义4 4：若函数：若函数 在（在（a , b）内每一点都连续）内每一点都连续 ，则称，则称函数函数 在（在（a , b）内连续。）内连续。)()()()()(00limlimlim000 xfxfxfxfxfxxxxxx 由定理由定理3 3可知：函数可知：函数 在点在点 处连续既左连续又右连续处连续既左连续又右连续即即)(xf)(xf)(xf)(xf)(xf0

44、 x第七十七页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章证明证明 y = sin sin x在在 内连续内连续例例1 12) 2cos(20 xx证证 ），（ 对任意对任意),(0 x有有2sin)2cos(2sin)sin(000 xxxxxxy 因为因为所以所以0lim0 yx故故 在在 内连续内连续),(xysin 定义定义5 5 若函数若函数y = f(x)在（在（a , b）内每一点都连续，且在）内每一点都连续，且在左端点左端点a 处右连续，在右端点处右连续，在右端点b处左连续，则称处左连续，则称函数函数y = f (x)在在a , b上连续。上连续。第七十八页，共88页。前页前页结束

45、结束后页后页章章1.4.2 1.4.2 函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类连连续续在在0)(xxf处处有有意意义义。在在0)()1(xxf则一定满足以下条件则一定满足以下条件存存在在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 如果如果f(x)在点不能满足以上任何一个条件，则点在点不能满足以上任何一个条件，则点 是函是函数数 的间断点。的间断点。)(xf1.1.可去间断点：可去间断点：)()(lim00 xfAxfxx如果函数在点如果函数在点 的极限存在，但不等于的极限存在，但不等于 ，即，即0 x)(0 xf则称则称 为为 的可去间断点。的可去间断点。0 x)(x

46、f0 x第七十九页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章 ) 1(3) 1()(112xxxfxx例例2 2 )1(2)1()()(xxxfx 解解)1 (2lim)(lim11112fxfxxxx所以所以x =1=1为可去间断点为可去间断点重新定义新的函数：重新定义新的函数：则则x=1=1成为函数的连续点成为函数的连续点第八十页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章)(lim)(lim00 xfxfxxxx2.2.跳跃间断点：跳跃间断点：例例3 3)21(1)10()(xxxxxf所以所以 x =1=1为跳跃间断点为跳跃间断点左右极限存在不相等左右极限存在不相等第八十一页，共88页。前页前页结束结束后页后页章章 当当 时，函数值不断地在两点之间跳时，函数值不断地在两点之间跳动，左右极限均不存在动，左右极限均不存在3.3.无穷间断点无穷间断点0 xx f( (x) )在点在点 的左、右极限至少有一个是无穷的左、右极限至少有一个是无穷大，则称大，则称 为为f( (x) )的无穷间断点的无穷间断点 0 x