高三数学直线方程

1、第二节直线的方程第二节直线的方程考纲点击考纲点击1.掌握确定直线位置的几何要素掌握确定直线位置的几何要素.2.掌握直线方程的几种形式掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点斜式、两点式及一般式点式及一般式)，了解斜截式与一次函数，了解斜截式与一次函数的关系的关系.热点提示热点提示1.直线的方程是必考内容，是基础知识直线的方程是必考内容，是基础知识之一之一.2.在高考中多与其他曲线结合考查，三在高考中多与其他曲线结合考查，三种题型均可出现，属于中低档题种题型均可出现，属于中低档题.直线方程的几种形式直线方程的几种形式名称名称方程的形式方程的形式已知条件已知条件局限性局限性点斜点斜式式(x1，y1)为

2、直线上一为直线上一定点，定点，k为斜率为斜率不包括垂直于不包括垂直于x轴的直轴的直线线斜截斜截式式 k为斜率，为斜率，b是直线是直线在在y轴上的截距轴上的截距 两点两点式式(x1x2且且y1y2)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点是直线上两定点不包括垂直于不包括垂直于x轴和轴和y轴的直线轴的直线截距截距式式a是直线在是直线在x轴上的轴上的非零截距，非零截距，b是直是直线在线在y轴上的非零轴上的非零截距截距 一般一般式式 (A2B20)A，B，C为系数为系数无限制，可表示任何无限制，可表示任何位置的直线位置的直线yy1k(xx1)ykxbAxByC0不包括垂直于不包括垂直于x轴的直线轴

3、的直线不包括垂直于不包括垂直于x轴和轴和y轴轴 或过原点的直线或过原点的直线1下列四个命题中，假命题是()A经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程yy0k(xx0)表示B经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)来表示C与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程 1表示D经过点Q(0，b)的直线都可以表示为ykxb【解析解析】A不能表示垂直于x轴的直线，故正确；B正确；C不能表示过原点的直线即截距为0的直线，故也正确；D不能表示斜率不存在的直线，不正确【答案答案】D2如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不通

4、过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析解析】由题意知ABC0.直线方程变为y x ，AC0，BC0，AB0，其斜率k 0，在y轴上的截距b 0.直线过第一、二、四象限【答案答案】C3如果直线ax2y20与直线3xy20平行，则a()A3 B6C D.【解析解析】由题意得 3，a6.【答案答案】B4过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_【解析解析】由题意可设直线方程为1， ，解得ab3或a4，b2.【答案答案】xy30或x2y405在直角三角形ABC中，直角顶点为A(4,1)，点C(1,2)，斜边上的高所在直线的方程为yx3，则点B的坐标为_【解析解析

5、】设B(x，y)，由题意可知kAC ，斜边上的高所在直线的斜率为 ，则kBC2，kAB5， ，解得 .【答案答案】求直线的方程求直线的方程求过点P(2，1)，在x轴和y轴上的截距分别为a、b，且满足a3b的直线方程【自主探究自主探究】当a3b0时，设所求直线方程为1，即1.又直线过点P(2，1)， 1，解得b .当a3b0时，则所求直线过原点，可设方程为ykx(k0)又直线过点P(2，1)，则12k，k .所求直线方程为y x.综上所述，所求直线方程为x3y10或y x.【方法点评方法点评】求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程要注意若不能断定直线

6、具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论1ABC的三个顶点为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上的中线AD所在直线的方程；(3)BC边上的垂直平分线DE的方程【解析解析】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得直线BC的方程为 ，即x2y40.(2)设线段BC中点D的坐标为(x，y)，则x 0，y 2.BC边上的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得中线AD所在直线方程为 ，即2x3y60.(3)BC边所在直线的斜率k1 ，则边BC的垂直平分线D

7、E的斜率k22，由斜截式得直线DE的方程为y2x2.化成一般式即2xy20.两直线的平行与垂直两直线的平行与垂直已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210，(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值【思路点拨思路点拨】可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按l2的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论【自主探究自主探究】(1)方法一：由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，故当a1时，l1l2，否则l1与l2不平行方法二方法二：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2

8、；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为综上可知，a1时，l1l2，否则l1与l2不平行(2)方法一方法一：由A1A2B1B20得a2(a1)0a .方法二：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立【方法点评方法点评】已知直线l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20，则(1)l1l2A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)或记为： (A2、B2、C2不为0)(2)l1l2A1A2B1B20.(3)l1与l2重合A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)或记为 (A2、B

9、2、C2不为0)(4)l1与l2相交A1B2A2B10或记为(A2、B2不为0)2已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a、b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等【解析解析】(1)由已知可得l2的斜率k必存在，k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过(3，1)，3ab40，即b3a4(不合题意)此种情况不存在，即k20.若k20，即k1，k2都存在，k21a，k1 ，l1l2，k1k21，即 (1a)1又l1过点(3，1)，3ab40由联立，解得a2，b2.

10、(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即 1a又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1l2，l1、l2在y轴上的截距互为相反数如图，过点P(2,1)作直线l，分别交x，y轴正半轴于A、B两点(1)当AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|PA|PB|取最小值时，求直线l的方程【思路点拨思路点拨】求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式由于本题中给出了一点，且直线与x、y轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路：(1)点斜式：设l的方程为y1k(x2) ，分别求出A、B的坐标，根据题目要求建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件；(2)截距式：设l的方程为

11、1，将点(2,1)代入得出a与b的关系，建立目标函数，求最小值及最值成立的条件(3)根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决【自主探究自主探究】(1)方法一：设l的方程为y1k(x2)(k0)，k1.l的方程是xy30.【方法点评方法点评】利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式3已知直线l过点(3,2)且与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，求直线l在两坐标轴上截距之和的最

12、小值及此时l的方程【答案】D【解析解析】方法一：如图，直线l的方程为y=3x，绕原点逆时针旋转90后得l1，则直线l1的斜率直线l1过(0,0)，向右平移1个单位后则过点(1,0)，l2的方程为方法二：由方法一得直线l1的方程为y= x，把它看作关于x的一次函数，向右平移1个单位后得直线l2：，即【答案答案】A3(2008年江苏高考)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)；点P(0，p)为线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p为非零常数设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、F.某同学已正确求得直线OE的方程： ，请你完成直线OF的方程；(_)x y0.1求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程的方法；(2)待定系数法：设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程的方法2截距与距离的区别截距可为一切实数，纵截距是指直线与y轴