向量的数量积与向量积shuliangjihexiangliangjippt课件

1、8-3.向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积1.数量积数量积2.向量积向量积一、向量的数量积一、向量的数量积引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 F作用下作用下,沿与力夹角为的直线移动,位移为 s ,则力F 所做的功为WcossF1MF2Ms1.向量的投影的概念向量的投影的概念设设a 、b0，将其始点移至同一点，将其始点移至同一点O，BabAO 为向量为向量a 与与b之间的夹角，之间的夹角， 记作记作a ,b),或（或（ b，a且且0两非零向量的夹角：两非零向量的夹角：,0时当a上的投影为在ab记作,0,时当同理bbaj rPba上的投影为在baabcosbcosPrbaj a2.数量

2、积的定义数量积的定义记为记为ab，两个向量两个向量a与与b的数量积等于的数量积等于又称数积、内积、点积，其值为一个数量。又称数积、内积、点积，其值为一个数量。及其夹角及其夹角余弦的乘积，余弦的乘积，即即ab= |a| |b|cos =两个向量的模两个向量的模|a|、|b|0 其中其中baaj rPPr jbba性质 （为什么？）aa) 1 (2aab= |a| |b|cos 为两个非零向量, 则有ba,)2(0baba , 1ii jjkk 0jikjik （为什么？）规定：零向量垂直于任何向量规定：零向量垂直于任何向量运算律运算律(1) 交换律 (2) 结合律),(为实数abbaba)()(

3、 ba)(ba)()(ba)(ba)(ba (3) 分配律cbcacba练习：P207习题8-3第1题ABCabc例例1. 证明余弦定理证明余弦定理cos2222abbac证证:那么cos2222abbac如图 . 设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,3. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设那么zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx, 1ii jjkk

4、0jikjik baba baba,4.两向量的夹角公式 , 得相关例题：见课本203页注意：0baba ba 0 x xyyz za ba ba b考虑：求一个向量需要知道几个条件？(101)MB ， ，(1)MA ，1，0 BM例例2. 已知三点已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:那么AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故解：解： 因因0cbacba,所以所以323)()()( accbbacabaccbba232()cos3a bb cc a cba构成一个等边三角形且构成一个等边三角形且1abc且且acc

5、bba求求cba,例例3. 设设 是单位向量，是单位向量，0cba且且 为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例4. 设均匀流速为设均匀流速为与该平面域的单位垂直向量,A解解:单位时间内流过的体积APAA的夹角为且的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,vvncosvcosvnv vnn为单位向量二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设设O 为杠杆为杠杆L 的支点的支点 ,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 1.

6、定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM注意： ab是一个向量；而且其特征为方向与是一个向量；而且其特征为方向与a与与b都垂直，模等于以都垂直，模等于以a,b为邻边的平行四边形的为邻边的平行四边形的面积。即：面积。即：abcab考虑考虑: 三角形面积三角形面积abSba212. 性质性质为非零向量, 那么aa) 1 (0ba,)2(0baba3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律abcba )(a c b c 右乘分配律）ba )()( ba)(baba) 1 (i

7、jk(3),ijk jki kij(4)0,0,0iijjkkcabc ac b 左乘分配律)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设那么,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazz向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbaba

8、zxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx向量向量a与与b平行平行aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0zzyyxxbababa上式说明：两非零向量平行上式说明：两非零向量平行对应坐标成比例；对应坐标成比例；上式中，若有分母为零，则对应的分子也为零。上式中，若有分母为零，则对应的分子也为零。相关例题：课本206页例14例17n请练习：710补充例补充例1.已知三点已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 解解: 如下图如下图,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6

9、(42114sin21AB AC21ACAB求三机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,