南邮信号与系统B第3章b

1、信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB南京邮电大学南京邮电大学通信与信息工程学院通信与信息工程学院 2011.8SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第三章 连续信号与系统的频域分析信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB第三章 连续信号与系统的频域分析连续信号与系统的频域分析概述3.1 周期信号分解为傅里叶级数3.2 周期信号的频谱3.3 非周期信号的频谱密度函数傅里叶变换3.4 傅里叶变换的性质及其应用3.5 希尔伯特变换及小波简介3.6 取样信号的频谱3.7 连续时间系统的频域分析3.8 信号的无失真传输和理想滤波器本章要点作业 返回信号

2、与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB连续信号与系统的频域分析概述实际的信号都可以表示为一系列不同频率的正弦信号之和 这一认识来源于对这一认识来源于对波形波形的观察，物理意义明确。的观察，物理意义明确。 正弦信号是最常见、最基本的信号。正弦信号是最常见、最基本的信号。 正弦信号便于产生、传输和处理。正弦信号便于产生、传输和处理。 线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应仍是同一频率的正弦信号。仍是同一频率的正弦信号。 三角函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数。三角函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角

3、函数。傅里叶变换 揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特性与频率特性之间的关系。本章的重点之一就是从物理意义上性与频率特性之间的关系。本章的重点之一就是从物理意义上理解傅里叶变换的性质。理解傅里叶变换的性质。频谱分析 直观、方便地从另一个角度来认识信号。直观、方便地从另一个角度来认识信号。频域分析法 求解系统在任意信号激励下的求解系统在任意信号激励下的零状态响应零状态响应。其它 频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.1.1 三角形式傅里叶级数

4、(1) 在一个周期内只有有限个不连续点；在一个周期内只有有限个不连续点；(2) 在一个周期内只有有限个极大值、极小值；在一个周期内只有有限个极大值、极小值；(3) 在一个周期内绝对可积，即在一个周期内绝对可积，即dttfTT22)()(tf 以以 为周期的周期信号为周期的周期信号 ，若满足狄里赫勒条件：，若满足狄里赫勒条件：T则可以展开为三角形式傅里叶级数：则可以展开为三角形式傅里叶级数：0001( )(cossin)nnnf taantbnt其中其中, 2 , 1sin)(20ntdtntfTbTn01( )Taf t dtT, 2 , 1cos)(20ntdtntfTaTn返回返回3.1

5、周期信号分解为傅里叶级数信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)cos(sincos000nnnntnAtnbtna因为所以三角形式傅里叶级数又可写成更为实用的形式：所以三角形式傅里叶级数又可写成更为实用的形式：100)cos()(nnntnAAtf次谐波初相次谐波振幅直流分量nabarctgnbaAaAnnnnnn)(2200其中其中对于三角形式傅里叶级数：对于三角形式傅里叶级数：0001( )(cossin)nnnf taantbnt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB信号波形的对称性与傅氏系数的关系1. 偶函数：偶函数： ，则，则 只含有常数项和余弦项。

6、只含有常数项和余弦项。f tft( )()200cos)(4TntdtntfTa0sin)(2220TTtdtntfTbn2002( )Taf t dtT. . . . .)(tft0奇函数在对称区间内奇函数在对称区间内积分为零。积分为零。偶函数在对称区间内偶函数在对称区间内积分为半区间积分的积分为半区间积分的两倍。两倍。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2. 奇函数：奇函数： ，则，则 只含正弦项。只含正弦项。f tft( )() )(tft00cos)(2220TTtdtntfTan200sin)(4TtdtntfTbn信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS

7、ZB3. 偶谐函数：偶谐函数： ，则，则 只含偶次谐波。只含偶次谐波。)2()(Ttftf周期本来就是周期本来就是T/2 。4T2TTt)(tf. . . . .04. 奇谐函数：奇谐函数： ，则，则 只含奇次谐波。只含奇次谐波。)2()(Ttftf2TT2T)(tft. . . . .0信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.1.2 指数形式傅里叶级数由欧拉公式由欧拉公式tjntjntjntjneetneejtn000021cos,21sin00代入三角形式傅里叶级数，有代入三角形式傅里叶级数，有f taajbeajbeFF eF ennnjntnnnjntnnjntnnj

8、nt( ) 011011220000是实数。而的共轭复数，变量是一对关于和式中000022AaFnFjbaFjbaFnnnnnnn返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB于是，考虑到000ntjnneFFtjnnntjnnntjnnntjnnneFeFFeFeFFtf0000110110)(f tF enjntn( ) 0这就是这就是指数形式傅里叶级数指数形式傅里叶级数，其系数，其系数为为,2, 1,0)(1220ndtetfTFTTtnjnFn一般情况下，一般情况下， 是关于是关于变量变量 的复函数，称为指数的复函数，称为指数形式傅里叶级数的形式傅里叶级数的复系数复系数

9、，可写成，可写成n0nnjnnjIReFFn信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB注意：注意：1. 1. 为直流分量，一般情况下要单独计算。为直流分量，一般情况下要单独计算。000AaF2.2.负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意义。负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意义。nntnjFntnjFntnjntnjnFtnFeeFeeFeFeFnn0cos200003.3.当当 是实周期信号时，是实周期信号时， 和和 互为共轭复数，有互为共轭复数，有)(tfnFnFnnnnnnnnIIRRFF,;,0n即傅里叶复系数即傅里叶复系数 的模和实部是的模和实部是 的偶函数

10、；的偶函数； 的相角和虚部是的相角和虚部是 的奇函数。的奇函数。nFnF0nf t ( )Fn4.4.当当 是实偶函数时，则是实偶函数时，则 是实偶函数；是实偶函数； 当当 是实奇函数时，则是实奇函数时，则 是虚奇函数。是虚奇函数。 （利用（利用 的计算公式可以证明）的计算公式可以证明）f t ( )FnFn信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB指数形式和三角形式傅里叶级数系数之间的关系)0(21)(21neAjbaeFFnnjnnnjnn)0()0(212100022 nAaFnabarctgbaAFnnnnnnnn；ntjnneFtf0)(220)(1TTdtetfTFtj

11、nn 物理意义：物理意义：周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐 波分量之和。波分量之和。返回返回注意：注意：指数形式和三角指数形式和三角形式傅里叶级数中，形式傅里叶级数中，n 的取值范围不同。的取值范围不同。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：试将图示周期矩形脉冲例：试将图示周期矩形脉冲信号信号 展开为展开为(1)三角形式三角形式和和(2)指数形式傅里叶级数。指数形式傅里叶级数。数项和余弦项。是偶函数，故只含有常解：)() 1 (tf22)(tftATT)(tfTAAdtTdttfTaTT222002)(1)2sin(2)2sin(

12、4cos4cos)(2000000222nnAnTnAtdtnATtdtntfTaTTn100cos)2sin(2)(ntnnnATAtf信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2202201)(1dtAeTdtetfTFtjntjnnTT(2) 指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数2)2sin()2sin(200000220nnTAnnTAjneTAtjn)(sinxSaxx令称为称为抽样函数抽样函数或或取样函数取样函数tjnntjnnnenSaTAeFtf00)2()(0信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB抽样函数Sa xxx( )sin1. 偶函数1sin

13、lim)0(. 20 xxSax。的规律衰减，并趋于零的振幅按增大，随着xxSax1)(. 3，过零点：32. 4dxxSa)(. 5)(xSax22 1信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.2 周期信号的频谱ntnjnntjnnnnnneFeFtnAAtf)(10000)cos()( 周期信号的傅里叶级数展开说明周期信号可以分解周期信号的傅里叶级数展开说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加，傅里叶系数为各次谐波分量的叠加，傅里叶系数 或或 反映了不同反映了不同谐波分量的幅度，谐波分量的幅度， 或或 反映了不同谐波分量的相位。反映了不同谐波分量的相位。nAnFnn 反映周

14、期信号的傅里叶展开的反映周期信号的傅里叶展开的频谱图频谱图可清晰地表征可清晰地表征周期信号的频域特性，从频域角度反映该周期信号携带周期信号的频域特性，从频域角度反映该周期信号携带的全部信息。的全部信息。返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.2.1 周期信号的频谱)00nnAnn单边相位频谱（单边幅度频谱（单边频谱)00nnFnn双边相位频谱（双边幅度频谱（双边频谱nnAtf,)(nFtf)( 2. 各（非零）分量的数目不同。各（非零）分量的数目不同。nAnFnn 3. 幅度幅度 （ ）不同，相位）不同，相位 （ ）不同。）不同。 不同的周期信号，其傅里叶级数的区别在于：

15、不同的周期信号，其傅里叶级数的区别在于： 1. 由于由于 不同，所以基波频率不同，所以基波频率 不同，谐波频不同，谐波频率率 也不同。也不同。TT200n返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例如：某周期信号的傅里叶级数为例如：某周期信号的傅里叶级数为tjtjtjtjeFeFFeFeFtAtAAtf000022101222021010)2cos()cos()(单边频谱：单边频谱：双边幅度频谱双边幅度频谱双边相位频谱双边相位频谱单边幅度频谱单边幅度频谱单边相位频谱单边相位频谱nA0n00022A1A0An0n0002210n00022F2F1F1FnF0F002n0n00

16、022121002双边频谱：双边频谱：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB画周期信号频谱图时注意：2. 按标准的实用三角型傅里叶级数展开式画，即相 同频率的谐波项合并、余弦函数的系数为正、频 率为正的谐波频率、相位取值在主值范围内；，即谐波处出现；谱线只在基波的整数倍；和双边谱图：；和单边谱图：0000. 1nnFnnAnnnn的奇函数；是谱的偶函数，双边相位频是频谱是实信号时，双边幅度当00)(. 3nnFtfnn信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：试画出以下周期信号的单边频谱和双边频谱。例：试画出以下周期信号的单边频谱和双边频谱。)309cos()6

17、06cos(2)9 .363cos(529sin219cos236cos6sin33sin33cos42)(ttttttttttfnA0n0369125309 .3660n0n0369tttttttf9sin219cos236cos6sin33sin33cos42)(解解: (1) 单边频谱单边频谱单边幅度频谱：单边幅度频谱：单边相位频谱：单边相位频谱：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBtjjtjjtjjtjjtjjtjjtjtjtjtjtjtjeeeeeeeeeeeeeeeeeettttf93066039 .3639 .36660930)309()309()606()60

18、6()9 .363()9 .363(5 . 05 . 225 . 25 . 0 5 . 0 5 . 22)309cos()606cos(2)9 .363cos(52)(双边幅度频谱：双边幅度频谱：双边相位频谱：双边相位频谱：nF0n0369125 . 25 . 215 . 05 . 0369309 .3660n0n03699 .363060369(2) 双边频谱双边频谱信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：已知某周期信号的单边频谱如图例：已知某周期信号的单边频谱如图所示，试写出该信号的时域表达式，所示，试写出该信号的时域表达式，并画出其双边频谱。并画出其双边频谱。)49co

19、s(4)26cos(8)43cos(1216)(ttttf解解:双边幅度频谱双边幅度频谱双边相位频谱双边相位频谱nA0n03691216n0n0369122n0n0369122236912nF0n03691216836912双边频谱双边频谱:信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.2.2 周期信号的频谱特点22)(tftATT下面以周期矩形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。下面以周期矩形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。)2(0nSaTAFntjnnneFtf0)()4(T设一张图表示：为实数时，频谱可以用当nFTAF0主峰高度：2z第一次过零点：z0有效带宽：nF0n2TA

20、424000202频谱特点:(1)离散性(2)谐波性(3)幅度收敛性信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB对于某个信号，从零频率开始到需要考虑的最高频率范围称为信号占有的频带宽度（frequency bandwidth），简称频宽。如果频谱包络线为取样函数，常常把从零频率开始到频谱包络线第一次过零点的那个频率之间的频带作为信号的频带宽度；如果频谱包络线第一次过零点的频率不易获得，就以从零频率开始到频谱振幅降为包络线最大值的1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度。 3.2.3 周期信号的频带宽度 因为谐波分量振幅具有收敛性，信号的能量主要集中在低因为谐波分量振幅具有收敛性，

21、信号的能量主要集中在低频分量中，所以只须考虑次数较低的一部分谐波分量。频分量中，所以只须考虑次数较低的一部分谐波分量。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB。谱线间隔谱线间隔；不变不变过零点过零点；主峰高度主峰高度(2)(2)TTAT22:0；过零点；不不变变谱谱线线间间隔隔主主峰峰高高度度( (1 1) )TTA22:0了了。频频谱谱也也只只显显示示直直流流分分量量直直流流信信号号周周期期信信号号时时当当)()2(:0nASanSaTAFTn变。变。但频谱包络线的形状不但频谱包络线的形状不，主峰高度主峰高度连续频谱；连续频谱；离散频谱离散频谱非周期信号；非周期信号；周期信号周

22、期信号时时当当0:T以周期脉冲信号为例，说明周期信号频谱的一般性质信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.2.4 周期信号的功率谱周期信号的平均功率周期信号的平均功率nnnnnnnnnFFFdtetfTFdteFtfTdttfTPTTtjnTTtjnTT2220220222)(1)(1)(11220122022)(1222nnnnAAFFdttfTPTT称为帕什瓦尔定理或功率等式。为帕什瓦尔定理或功率等式。 表明周期信号在时域中的平表明周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。简简称称功

23、功率率谱谱。的的功功率率频频谱谱，变变化化的的图图形形为为周周期期信信号号随随02nFn称返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：图示周期矩形脉冲，例：图示周期矩形脉冲， ，试画出其频谱，试画出其频谱和功率谱，并求出其在有效频带宽度和功率谱，并求出其在有效频带宽度 内的分量所具内的分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。解解:频谱频谱22)(tftATT1 . 0, 5 . 0, 1TA)20(420T)2 . 0(2 . 0)2(0nSanSaTAFn2nF0n200420404. 0nF0n20042042 . 0功

24、率谱功率谱2 . 015 . 01)(105. 005. 02222dtdttfTPTT在时域中求得信号的功率为在时域中求得信号的功率为在有效频带宽度在有效频带宽度 内的内的分量所具有的平均功率为分量所具有的平均功率为)20(1806. 0)2 . 0(22 . 02512251220nnnnSaFFP%3 .90%1002 . 01806. 0PP信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.3 非周期信号的频谱密度函数-傅里叶变换周期信号周期信号非周期信号非周期信号)()(limtftfTT3.3.1 3.3.1 非周期信号的频谱密度函数非周期信号的频谱密度函数)()(nTtf

25、tfTTTTt0t)(tf0ntjnneFtfT0)(220)(1,TTTdtetfTFtjnn其中返回nTF)(F信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB那么f(t)的傅里叶变换存在。这只是傅里叶变换存在的充分条件，并非必要条件。如果连续信号如果连续信号 f(t) 满足以下狄里赫勒条件：满足以下狄里赫勒条件：dttfdtetfFtj)()()(1) 在在 只有有限个不连续点；只有有限个不连续点；)(2) 在在 只有有限个极大值、极小值；只有有限个极大值、极小值；)(3) 在在 绝对可积，即绝对可积，即)(3.3.2 傅里叶变

26、换信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()()()()()()(相位频谱：幅度频谱：通常定义写作：是复信号，可的傅里叶变换一般情况下，FeFFFtf)()(, )()()()()(Im)(Re)()()()()()()()()() 1 (IIRRjIRFjFFFFFFFtf则表示为如果和，即为实信号时，当返回返回有如下特性：其傅里叶变换时，或有对称性为实信号当)()(Ftf信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB0cos)(2cos)(sin)(cos)()()()()()2(tdttftdttftdttfjtdttfdtetfFFttftj的实偶函数。为的实

27、偶函数时，为当0sin)(2sin)()()()() 3(tdttfjtdttfjFFttf的虚奇函数。为的实奇函数时，为当)()()()()()()()4(jItfRtftftftfoeoe，则对于任意的实信号信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1. 门函数（矩形脉冲）门函数（矩形脉冲）202)()(ttAtgAtf)2()(SaAF幅幅度度频频谱谱)(tft22A022limlim)(00SaAnSaTATTFFnTnT ()22440A)(F22440020)2(0)(SaSa相相位位频频谱谱返回返回返回3.3.3 常用信号的傅里叶变换信号与系统SIGNALS AND

28、SYSTEMS ZB三角形脉冲三角形脉冲教材用的性质求教材用的性质求*tttAtAtf01)()(2)(F即即幅幅度度频频谱谱A)(F22440相位频谱为零相位频谱为零)(tftA0)2()2(sin4222SaAA00cos)1 (2cos)(2)(tdttAtdttfF00cos2cos2tdttAtdtA0)(sin2sin2ttdAA信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3. 单边实指数脉冲单边实指数脉冲)()(tuAetftjAjAedteAdtetuAedtetfFtjtjtjttj0)(0)()()()()()022)(AF幅度频谱幅度频谱arctan)(相相位位

29、频频谱谱)(tftA0A)(F0 ()202信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4. 双边实指数脉冲双边实指数脉冲tAetf)()0jAjAdteeAFtjt)(dteeAdteeAtjttjt00222A)(F即即幅幅度度频频谱谱相位频谱为零相位频谱为零)(tftA0A2)(F0信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB5. 单位冲激函数单位冲激函数)(tt)(t) 1 (01)()(dtetFtj1)(F0)11( )()22jtf ted 求 （的反反变变换换(1)(F0t)(tf012（白噪声）（白噪声）及直流信号及直流信号所以有1( )2 信号与系统SI

30、GNALS AND SYSTEMS ZB6. 符号函数符号函数jjjF211lim)(02)(F幅度频谱幅度频谱010001)(ttttSgn)()(lim)(0tuetuetSgnttt)(tSgn110)sgn(2)(相相位位频频谱谱2)(F0 ()202信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB7. 虚指数信号虚指数信号)(2)(0)(00dtedteeFtjtjtjtje0)2()(F00)()()(21sin)()()(21cos0000000000jeejteettjtjtjtj叶叶变变换换正正弦弦、余余弦弦函函数数的的傅傅里里)()(F000)()()(jF000)(

31、信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换ntjnneFtfT0)(nnntjnnnFeFF)(2)(00FmmTttT)()(例例如如TdtetTFTTtjnn1)(1220)()(2)(000nnnFFt)(t) 1 (01)(0F0t)(tT) 1 (0TTnF000T1)(F000)(0信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB8. 单位阶跃信号单位阶跃信号jF1)()()sgn(2121)(ttu可以表示为t)(tu01t021t02121)sgn(21t)()(R1)(I)()(R01)(I011)(I01)(R)(

32、()202信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB*9. 高斯脉冲高斯脉冲(钟形脉冲钟形脉冲)()(2)(tAetft222)()()()(eAdteeAdtetfFtjtjt可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲，若可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲，若2)(11tetfA时时，222)()()(fefFeF，则则)(F0A)(tftA0信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.4 傅里叶变换的性质及其应用 对任意信号都可以在时域和频域中进行描述，联系对任意信号都可以在时域和频域中进行描述，联系这两种描述方法的纽带就是傅里叶变换。这两种描述方法的纽带就是傅里叶变

33、换。 傅里叶变换的性质揭示了信号的特性、运算在时域傅里叶变换的性质揭示了信号的特性、运算在时域和频域中的对应关系，当在某一个域中对信号进行分析和频域中的对应关系，当在某一个域中对信号进行分析和计算感到困难时，可以利用傅里叶变换的性质转换到和计算感到困难时，可以利用傅里叶变换的性质转换到另一个域中进行。另一个域中进行。 另外，根据定义求取傅里叶正、反变换时，不可避另外，根据定义求取傅里叶正、反变换时，不可避免地会遇到麻烦的积分或信号不满足绝对可积的条件等免地会遇到麻烦的积分或信号不满足绝对可积的条件等问题，而利用傅里叶变换的性质则可以简捷地求得信号问题，而利用傅里叶变换的性质则可以简捷地求得信号

34、的傅里叶正、反变换。的傅里叶正、反变换。返回返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1. 线性线性),()()()()()()()()(21212211为为常常数数则则若若babFaFtbftafFtfFtf例例2021)()(42tttgtf2)(21SaF)(2tft2102)(tft20221)(1tf1011t1011)()(21tttttf)()()(21tftftf24)(2SaF)2(42)()()()()()(22121SaSaFFFtftftf返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2. 对称性对称性)(2)()()(ftFFtf则

35、则若若deFtftj)(21)(证明：deFtftj)()(2dtetFfttj)()(2互相掉换，得和将上式中变量的符号)(2)()()()(ftFfftf，有有为为偶偶函函数数，则则若若返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅里叶变换利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅里叶变换或傅里叶反变换。或傅里叶反变换。)(2)(2)(21)()(1)()(ftFFttf里里叶叶变变换换。例例如如，求求直直流流信信号号的的傅傅 傅里叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中傅里叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中的重要概念。的重要概

36、念。 例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频谱必定是连续的、周期的。谱必定是连续的、周期的。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例： 试求取样函数试求取样函数 的频谱函数。的频谱函数。解：解：tttSasin)()()()(2)()()()(21)()()()(222ggftSatFtftgSaFtSatF则则设设)(212tgt05 . 011)(tSat10)(Sa10)(2g011信号与系统SIGNALS AND

37、SYSTEMS ZB3. 比例性（尺度变换）比例性（尺度变换）为为非非零零实实常常数数（则则若若aaFaatfFtf1)()()( aFaaxdexfdteatfatfaxajatxtj1)()()(, 0若证明：aFaatfaFaatfa1)(1)(0综综合合上上述述两两种种情情况况，得得，则则同同理理可可证证，若若返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB时）（特例：1)()(aFtf倍倍。）了了沿沿频频率率轴轴扩扩展展（或或压压缩缩则则表表示示而而倍倍，）了了沿沿时时间间轴轴压压缩缩（或或扩扩展展表表示示函函数数函函数数aFaFatfatf)()()(一一对对矛矛盾盾

38、。小小所所占占用用的的频频带带宽宽度度是是减减小小脉脉冲冲宽宽度度和和希希望望减减冲冲数数），度度（每每秒秒内内所所传传送送的的脉脉术术中中，为为了了提提高高通通信信速速是是一一个个常常数数。在在通通信信技技，即即脉脉宽宽与与带带宽宽的的乘乘积积宽宽为为，其其频频谱谱的的有有效效带带冲冲宽宽度度为为以以矩矩形形脉脉冲冲为为例例，设设脉脉2信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4. 时移性时移性 FettfFtftj0)()()(0则则若若)()()()()(0000)(00Fedxexfedxexfdtettfttftjxjtjtxjttxtj，有有定定义义根根据据傅傅里里叶叶

39、变变换换的的证明：00-*0tettj即频域附加线性相移，频域中虚指数加权说明：时域中右移也可以证明或根据傅里叶反变换的 定定义义返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB既有时移又有尺度变换的情况：既有时移又有尺度变换的情况：atjeaFaattaftatfataFtf01)()(0)()(000则，为实常数，且和，若。的频谱求图示三矩形脉冲信号例：)()(Ftf冲信号，则表示中间的单个矩形脉解：设)(0tf)()()()(000TtftfTtftf)2()()(00SaAFtf22)(tftATT)1)()()()(0TjTjeeFFFtf为为的的频频谱谱可可得得时时移

40、移性性，根根据据)cos21)(2(TSaA返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB5. 频移性（调制定理）频移性（调制定理）00)()()(FetfFtftj则则若若)()()()(0)(000Fdtetfdteetfetfjtjtjtj，有有定定义义根根据据傅傅里里叶叶变变换换的的证明：00*，频域中频谱右移时域中虚指数加权tje)()(21cos)(000FFttf)()(2sin)(000FFjttf调制定理调制定理返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB称称为为已已调调制制信信号号称称为为载载波波信信号号正正弦弦或或余余弦弦信信号号称称为为

41、调调制制信信号号信信号号：幅幅度度调调制制（振振幅幅调调制制）ttftytf0cos)()()(ft ( )t0cosy t ( )乘法器乘法器)(tftttf0cos)(t)(F0WAcos)(0ttfF0W22A0W20频分多路复用频分多路复用信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB6. 卷积定理卷积定理 )()()()()()()()(21212211FFtftfFtfFtf则则若若dtfftftf)()()()(2121证明：(1) 时域卷积定理时域卷积定理 dtedtfftftftj)()()()(2121Fddtetfftj)()(21deFfj)()(21defFj

42、)()(12)()(12FF返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例 )(1tgt212110)(2tt1101)(1tgt2121102)(1SatgF 222)()()()()(211112SaSaSatgtgtgtgtFFFF)()()()()()(HXYthtxtyzszs应会很方便：卷积定理求解零状态响系统分析时，利用时域信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2) 频域卷积定理频域卷积定理 )()(21)()()()()()(21212211FFtftfFtfFtf则若dtetftftftftj)()()()(2121F证明：dtetfde

43、Ftjtj)()(2121ddtetfFtj)(21)()(21dFF)()(2121)()(2121FF等等。，如如频频谱谱是是十十分分方方便便的的，用用频频域域卷卷积积定定理理求求取取谱谱为为冲冲激激函函数数时时，利利当当其其中中一一个个信信号号的的频频两两个个信信号号相相乘乘，ttfetftj0cos)()(0返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB7. 时域微分和积分时域微分和积分)()()()(FjdttdfFtf则则若若deFtftj)(21)(证明：(1) 时域微分性质时域微分性质 deFjdejFdttdftjtj)(21)(21)()()(Fjdttdf

44、即即)()()(Fjdttfdnnn推推广广返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2) 时域积分性质时域积分性质)(1)()0()()()(FjFdfFtft则则若若证明：tdfdtuftutf)()()()()()(1)()0(1)()(FjFjFdttfdtetfFFtj)()()() 0(00式式中中，)(1)(0)0(FjdfFt时时，则则有有当当返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(3) 利用时域微、积分性质计算傅里叶变换利用时域微、积分性质计算傅里叶变换可计算如下：易求时，但不易求得、为已知常数、其频谱当)()()()( )()(

45、limFGtgtfFtft)(1)()0(GjG频域中：即得证。代入上式，将)()()( )0(0ffdtetfGtj)()()( )(ftfdfdgtt时域中：证明：)()(2)(fF)()()()()(ffjGF微微分分冲冲激激法法返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：求符号函数的频谱。例：求符号函数的频谱。，代代入入公公式式，则则设设)(2)(2)()(sgn)( 1)(1)()sgn()(Gttgttfffttf)()()()()(ffjGF3.3.3( ) t节中求符号函数频谱的方法不是很妥当，如u就不能这样做，否则会漏掉其直流分量。jt2)sgn(得得j

46、GFff)()(0)()(时时，才才有有当当)()0()()()(0)(GjGFff为为常常数数时时，才才有有，当当信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例： 求图示信号的频谱。求图示信号的频谱。，代入公式，又则如图求导，得对解：0)(1)(2)()()( )( )(ffSaGtgtftftf)(2)(jSaF得)()( tgtft2210)(tft2210)()()()()(ffjGF信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例： 求图示信号的频谱。求图示信号的频谱。，代代入入公公式式又又则则如如图图，求求导导，得得对对解解：1)()(2sin2sin63

47、3)()2() 1(3) 1(3)2()()( )( )(22ffjjeeeeGtttttgtftftfjjjj )(2)2(4)(6)(22sin2sin6)(2)(SaSajGF得得)(tft30121112)()( tgtft012）（112）（1）（3）（3信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB8. 频域微分和积分频域微分和积分ddFtfjtFtf)()()()()(则则若若dtetfFtj)()(证明：(1) 频域微分性质频域微分性质 dtetfjtddFtj)()()(ddFtfjt)()()(ddFjttf)()(写写成成实实用用的的形形式式nnnndFdjtft

48、)()()(递递推推，得得返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例: 试证明下列傅里叶变换对成立：试证明下列傅里叶变换对成立：)()(!)()()(2)()(1)(nnnnnnnjjntutbjta)(2)(21)()()(21)()a()()(nnnnnjtjtFtf故，得，根据频域微分性质，由于解：)()(!)()(1)()()(1)()()(1nnnnnnnjjntutjddtujtjtub故得，根据频域微分性质，由于信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2) 频域积分性质频域积分性质dFjttftfFtf)()()()0()()(则则若若)(

49、)()(uFdF证明：)(1)(jtu)(2)(1utjt利用对称性，有dFFutftjt)()()(221)()(1得再利用频域卷积定理，dFjttftf)()()()0(即即信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：单边指数信号例：单边指数信号jF1)( )( )tf teu tdFdttf22)(21)(9.帕什瓦尔等式：帕什瓦尔等式：在时域中计算其能量：在时域中计算其能量：02221)(tdetdtfEtEFdd11120220( )在频域中计算其能量：在频域中计算其能量：2111022d所所以以，有有用于积分式计算用于积分式计算信号与系统SIGNALS AND SYS

50、TEMS ZB例例: 试证明下列试证明下列2个傅里叶变换对成立：个傅里叶变换对成立：)sgn(1)sgn(2)sgn(2)(22)()(2)sgn()(jtfjttFFjttf再利用线性由对称性由于：证明)(1) 1 (jSgnt傅里叶变换性质的应用信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB21)2(t221)sgn()sgn(11tjjtt即：可得再利用时域微分性质，)(11jSgnt）的结论，即证明：先利用（信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()(1ttftf法法一一：设设解解)1()1()1()1 ()1 (1tftfttft则则质，有根据尺度变换和时移

51、性jjeddFjeFtf)()()()1(11jeddFjtft)()1 ()1 (即即根据频域微分性，有根据频域微分性，有ddFjttftfF)()()()(11FF信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)1 ()1 ()1 ()1 (ttftftft：法法二二解解)()(Ftf)()1 (jeFddjttf又jeddFjtft)()1 ()1 (jjeFeddFj)()(jeFtftf)()1()1 (信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例 求图示信号的频谱。求图示信号的频谱。如如图图求求导导，得得对对解解：)( )(tftf)(tft02221)( t

52、ft0221) 1 (0)(1)(ff，又又22)(221)( jjeeSattgtf及时移性质，有根据典型傅里叶变换对)()(21)(2 jjeeSajF得得，根根据据时时域域微微积积分分的的性性质质)()()()()(ffjGF信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例 求单边正弦信号和单边余弦信号的傅里叶变换。求单边正弦信号和单边余弦信号的傅里叶变换。000000000220112112222costu(t )()()()j ()()j()j()j ()() 同理可得同理可得00002202jsintu(t ) ()() 信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS

53、ZB例例 已知信号已知信号 的频谱的频谱 如图所示，如图所示，试写出其时域表达式。试写出其时域表达式。)(tf解：解：(1) 利用对称性求解利用对称性求解如图所示如图所示设设)(0tF)()()(0000tFtFtF有有)()(000jjeetFF)(F0)(F001212111)(0tFt1011cos)(4Sa)(2)(ftF根据对称性根据对称性)(2)(2cos)(4011ffSa即即ttSatf011cos)(2)()(2)(110SatF则则信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2) 利用调制定理求解利用调制定理求解)()()(0000FFF有有cos)(200tt

54、fF11)(0F1如图所示如图所示设设)(0F)(2)(2)(2)(00110ffSatF则则)(1)(110tSatf即即ttSattftf01100cos)(2cos)(2)(3) 利用频域卷积定理求解利用频域卷积定理求解)()()()(000 FF)()()(2)(00101FFFtf21)(20011tjtjeetSattSa011cos)(2信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例21(t)deu(t )dt求求21)()(222)1(2jetueetuett解解：2)(222jjetueedtdt根据时域微分性)2(tejt例例：求求1)(t：法一法一解解2)2(

55、jet根据时移性根据时移性) 1(2)2(jjtete根据频移性根据频移性)2()2(2tetejjt：解法二) 1(2je信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例)()()()(jIRFtf的的傅傅里里叶叶变变换换信信号号已已知知如如图图所所示示。的傅里叶变换的傅里叶变换求信号求信号试试)()(11Ftf)2(21)2(21)()(00tftftftf则则如如图图所所示示，解解：设设)21()21()()(01tttftf)(tft102)(0tft21121)(1tft21121112cos)(2)()(02201FeeFFjj)()2(41)2(410FFF2cos)2

56、()2(21FF2cos)2()2()2()2(21jIRjIR信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()()(*FFtf为实函数，有因为)2()2()2()2()2()2(*IIRRFF，故即2cos)2(R2cos)2()2()2()2(21)(1jIRjIRF信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.6 取样信号的频谱 调制定理：调制定理：把信号搬移到不同的频段来实现把信号搬移到不同的频段来实现频分多路频分多路通信通信。（频分复用）（频分复用） 取样定理（抽样定理）：取样定理（抽样定理）：利用连续信号在等时间间隔利用连续信号在等时间间隔上的瞬时值（样本值

57、）来表示和恢复原信号，实现上的瞬时值（样本值）来表示和恢复原信号，实现时分复时分复用。用。也是连续信号与离散信号之间相互转换的理论依据。也是连续信号与离散信号之间相互转换的理论依据。)(2X02)(1X01x t ( )t01cost02cos)(1tx)(2tx)(X00201频分复用频分复用f t1( )t0ft2( )t0时分复用时分复用返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB连续信号可以用信号在等时间间隔上的瞬时值来表示的条件-取样定理取样的方法取样信号的频谱信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.6.1 时域取样取样后得到的离散信号称之为取样后得到

58、的离散信号称之为取样信号取样信号。 取样：取样：利用取样脉冲序列利用取样脉冲序列 从连续时间信号从连续时间信号 中抽中抽取一系列离散的样值的过程。取一系列离散的样值的过程。f t ( )s t ( )f t ( )(tfsK12tf t ( )0t)(tfs0sTt)(ts0sTsT2ftf ts tS( )( )( )取样脉冲序列也取样脉冲序列也称为开关函数称为开关函数信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1. 自然取样tf t ( )0t)(tfs0sT)()()(tstftfst)(ts0sTsT21)(Fm)0(FmntjnnseFts)()2(ssnnSaTF ssT

59、2其其中中nsnnFS)(2)()(Sss)()2()()()(21)(snssnsnsnFnSaTnFFSFF)(sFss1)(值值为为的的幅幅ts信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2. 理想取样tf t ( )0nsnTtts)()()(Fm)0(Fm)()(ttssTt)(tsT0sTsT2) 1 ()()()(ssnssnS)(SssnsssnFTF)(1)()(sFssnssnsTsnTtnTfnTttfttftfs)()()()()()()(t)(tfs0sT信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.6.2 时域取样定理 在在 频谱区间频谱区间(

60、 )以外为零的带限信号以外为零的带限信号 ，可以，可以唯一地由其均匀时间间隔唯一地由其均匀时间间隔 上的取样值上的取样值 确定。确定。f t ( )mm,f nTS()TTfSSm12)(Fm)0(Fm 可见，取样定理必须满足两个条件：可见，取样定理必须满足两个条件：1. 必须为必须为带限信号带限信号，即在，即在f t ( )m时，其频谱时，其频谱 F( ) 0)(sFss2. 取样频率不能过低取样频率不能过低，必须满足，必须满足 ffSm 2定义定义ffSmmin 2为奈奎斯特取样率为奈奎斯特取样率fS 当取样频率当取样频率 大于或等于信号带宽的两倍时，可以大于或等于信号带宽的两倍时，可以从