4-1向量组及其线性组合ppt课件

1、第四章第四章向量组的线性相关性向量组的线性相关性1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义：定义：n 个有次序的数个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为所组成的数组称为n 维维向向量，这量，这 n 个数称为该向量的个数称为该向量的 n 个分量，第个分量，第 i 个数个数 ai 称为第称为第 i 个分量个分量分量全为实数的向量称为实向量分量全为实数的向量称为实向量分量全为复数的向量称为复向量分量全为复数的向量称为复向量备注：备注：一般只讨论实向量特别说明的除外）一般只讨论实向量特别说明的除外） 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量行向量和列向量总被看作是两个不同的向量所

2、讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量向量列向量用黑色小写字母列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示表示只有一行的矩阵只有一行的矩阵 称为行矩阵称为行矩阵(或行向量或行向量) .只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为列矩阵称为列矩阵(或列向量或列向量) .12(,)nAa aa 12naaBa 二、特殊的矩阵n 维向量的运算维向量的运算1、向量相等维数相同且对应元素相等）),2 , 1(,niiiTT 当当且且仅仅当当),(2211nnTT ),(21n

3、Tkkkk 向量加法和数乘运算统称为向量的线性运算向量加法和数乘运算统称为向量的线性运算2、向量相加维数相同，对应元素相加）、向量相加维数相同，对应元素相加）3、向量的数乘数乘以向量的每一个分量）、向量的数乘数乘以向量的每一个分量）n 维向量的运算律维向量的运算律 kkkkllk )(. 7)()(. 61. 50)(. 40. 3)(. 2. 1定义：若干个同维数的列向量行向量所组成的集合称为定义：若干个同维数的列向量行向量所组成的集合称为向量组向量组11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa 1234, 123TTT 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵

4、一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应有限向量组有限向量组当当R(A) n 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的全体解组成的向量组含有无穷多个同维数的向量的向量组含有无穷多个同维数的向量定义：给定向量组定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式，表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组称为向量组 A 的一个线性组合的一个线性组合k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数称为这个线性组合的系数定义：给定向量组定义：给定向量组 A：a1, a2, , am

5、 和向量和向量 b，如果存在一，如果存在一组组实数实数 l1, l2, , lm ，使得，使得b = l1a1 + l2a2 + + lmam则向量则向量 b 是向量组是向量组 A 的线性组合，这时称向量的线性组合，这时称向量 b 能由向量组能由向量组 A 的线性表示线性方程组的线性表示线性方程组 Ax = b 有解有解例：设例：设 123100,010001Ee e e1002 03 17 0001 123237eee 237b 那么那么线性组合的系数线性组合的系数e1, e2, e3的的线性线性组组合合一般地，对于任意的一般地，对于任意的 n 维向量维向量b ，必有，必有123100001

6、0000100001nbbbb 123nbbbbb n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 1000010000100001nE 回忆：线性方程组的表达式回忆：线性方程组的表达式n一般形式n 向量方程的形式n增广矩阵的形式n向量组线性组合的形式12312334521xxxxxx 34151121 12334151121xxx 12334151121xxx 方程组有解？方程组有解？向量向量 是否能用是否能用 线性表示？线性表示？341,112 51 结论：含有限个向量的有序向量

7、组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 1111211221222211221212,mmmmmmnnnmmxaaaxxaaaxx ax ax aa aaxaaax 1122mmbaaa 11121121222212mmnnnmmaaaaaabaaa ( )( , )R AR A b 向量向量b b 能由能由向量组向量组 A A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b Ax = b 有解有解结论：结论：定义：设有向量组定义：设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 假设假设向量组向量组 B 中的每个向量都能由向量组中的每个

8、向量都能由向量组 A 线性表示，则称向线性表示，则称向量组量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量能互相线性表示，则称这两个向量组等价组等价 设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量若向量组组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即11211121122112212222mlmlmmlmlmbk ak akabk ak akabk ak ak a 1112221122121212,mmmmllmlllkkkkkkb bba aakkk

9、线性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量若向量组组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即对于对于 b1 ，存在一组实数，存在一组实数 k11, k21, , km1 ，使得，使得b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ；对于对于 b2 ，存在一组实数，存在一组实数 k12, k22, , km2 ，使得，使得b2 = k12a1 + k22 a2 + + km2 am ；对于对于 bl ，存在一组实数，存在一组实数 k1l , k2l , , kml ，使得，使

10、得bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am假设假设 Cmn = Aml Bln ，即，即那么那么 1112121222121212,nnnllllnbbbbbbc cca aabbb 结论：矩阵结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 假设假设 Cmn = Aml Bln ，即，即111211112111

11、121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 那么那么1112111212222212TTlTTlTTmmmlmlaaarbaaarbaaarb 结论：矩阵结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵口诀：左行右列口诀：左行右列定理：设定理：设A是一个是一个 mn 矩阵，矩阵，对对 A 施行一次初等行变换，相当于在施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；

12、阶初等矩阵；对对 A 施行一次初等列变换，相当于在施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵.结论：假设结论：假设 C = AB ，那么，那么矩阵矩阵 C 的行向量组能由矩阵的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，A为这为这一线性表示的系数矩阵（一线性表示的系数矩阵（A 在左边）在左边）矩阵矩阵 C 的列向量组能由矩阵的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，B为这为这一线性表示的系数矩阵（一线性表示的系数矩阵（B 在右边）在右边）cABA 经过有限次初等列变换变成经过有限次初等列变换变成 B存在有

13、限个初等矩阵存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl ，使，使 AP1 P2 , Pl = B存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P，使得，使得 AP = B矩阵矩阵 B 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价的列向量组等价rAB矩阵矩阵 B 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价的行向量组等价 同理可得同理可得 口诀：左行右列口诀：左行右列.把把 P 看成看成是是线性表示线性表示的的系数矩阵系数矩阵向量组向量组 B：b1, b2, , bl 能由向量组能由向量组 A：a1, a2, , am 线性线性表示表示存在矩阵存在矩阵 K，使得，使得 AK = B 矩阵方

14、程矩阵方程 AX = B 有解有解 R(A) = R(A, B)R(B) R(A)推论：向量组推论：向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl 等价的等价的充分充分必要条件是必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)证明：向量组证明：向量组 A 和和 B 等价等价 向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示 向量组向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示从而有从而有R(A) = R(B) = R(A, B) 因为因为 R(B) R(A, B) R(B) R(A, B) R(A) = R(A, B)R(B) = R(A,

15、B)例：设例：设证明向量证明向量 b 能由向量组能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示线性表示，并求出表示式式12311111210, , , 21432301aaab 解：向量解：向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) 1111103212100121( , )2143000023010000rA b 因为因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量所以向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表线性表示示1111103212100121( , )2143000023010000rA b 行最简形矩阵

16、对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为通解为通解为所以所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 13233221xxxx 3232212110cxccc n 阶单位矩阵的列向量叫做阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量设有设有nm 矩阵矩阵 A = (a1, a2, , am) ，试证：，试证：n 维单位坐标向维单位坐标向量组能由矩阵量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A) = n 分析：分析：n 维单位坐标向量组能由矩阵维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的列向量组线性表示R(A) = R(A, E) R(A) = n （注意到：（注意到：R(A, E) = n 一定成立）一定成立）小结小结( )( , )R AR A b 向量向量 b b 能由能由向量组向量组 A A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b Ax