电磁场与电磁波(静电场)1

1、第二章第二章 静电场与恒定电场静电场与恒定电场 2.1 电荷与电流的分布与表示法电荷与电流的分布与表示法2.2 静电场的基本方程静电场的基本方程2.3 泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 2.4 介质中的高斯定律介质中的高斯定律 电位移矢量电位移矢量2.5 介质分界面上的边界条件介质分界面上的边界条件2.6 导体系统的电容导体系统的电容2.7 电场的能量和能量密度电场的能量和能量密度2.8 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程2.9 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟2.1 电荷与电流的分布及表示法电荷与电流的分布及表示法一、电荷与电荷分布一、电荷与电荷分布 电荷可以连续地分

2、布在一个宏观的体积中，可以连续地分布在一个宏电荷可以连续地分布在一个宏观的体积中，可以连续地分布在一个宏观的面上，或连续地分布在一条宏观的线上。当然，电荷也可以集中在空观的面上，或连续地分布在一条宏观的线上。当然，电荷也可以集中在空间某点上。如图间某点上。如图2.1.1所示。所示。图2.1.1 电荷的体分布、面分布和线分布 电荷的分布用电荷密度来描述。当电荷在某空间体积内连续分布时，电电荷的分布用电荷密度来描述。当电荷在某空间体积内连续分布时，电荷体密度定义为空间某点单位体积的电荷量，即荷体密度定义为空间某点单位体积的电荷量，即qr0lim)(若在电荷分布的空间内任取一个微小体积若在电荷分布的

3、空间内任取一个微小体积 ，则该体积，则该体积元的电荷量元的电荷量为为注：某一体积内的电荷总量，可应用体积分的方法求得。注：某一体积内的电荷总量，可应用体积分的方法求得。drq)(定义面电荷密度为空间某点单位面积上的电荷量：定义面电荷密度为空间某点单位面积上的电荷量：定义线电荷密度为线上某点单位长度上的电荷量：定义线电荷密度为线上某点单位长度上的电荷量：sqrss0lim)(lqrll0lim)(点电荷密度点电荷密度 理论上，电荷理论上，电荷q可以被想象地集中在一个几何点上，该电荷称可以被想象地集中在一个几何点上，该电荷称为点电荷为点电荷,如图如图2.1.2所示。所示。 点电荷的电荷密度用点电荷

4、的电荷密度用 函数来描述。一个带电荷量为函数来描述。一个带电荷量为q的点电荷的点电荷位于位于 ，其电荷密度为，其电荷密度为r( )()rqrr而且而且图2.1.2 点电荷分布点不包含点包含0)()(rrqdrrqdr二、二、 电流与电流密度电流与电流密度 如果如果 时间内穿过时间内穿过S的电荷量为的电荷量为 ，则定义电荷穿过，则定义电荷穿过S的电流强度为：的电流强度为： t qdtdqtqtit0lim)( 导电媒质中的电流分布是随时间变化的，这样的电流称为时变电流；导电媒质中的电流分布是随时间变化的，这样的电流称为时变电流；若导电媒质中若导电媒质中电荷流动的速度不随时间改变电荷流动的速度不随

5、时间改变，则有，则有 Idtdqtqt0lim这样的电流称为这样的电流称为恒定电流恒定电流1、电流密度矢量、电流密度矢量体电流密度体电流密度 定义定义 ：导电媒质中某点的电流密度的方向为导电媒质中某点的电流密度的方向为该点正电荷运动的方向，数值等于在该点通过垂直于电荷该点正电荷运动的方向，数值等于在该点通过垂直于电荷运动方向的单位面积上的电流强度。运动方向的单位面积上的电流强度。J000limsIdIJJJSdS 图2.1.3 体电流示意图 J体电流体电流I在电流密度为在电流密度为 的电流场中任取一个矢量面元的电流场中任取一个矢量面元 ，穿过矢量面元，穿过矢量面元S的电流为的电流为 如图如图2

6、.1.4所示。若在电流场中任取一个曲面所示。若在电流场中任取一个曲面S，则穿过曲面的电流为则穿过曲面的电流为 ( )J rSdSdrJ )(sSdrJI)(图2.1.4 体电流密度 即电流是电流密度的通量电流是电流密度的通量2、面电流密度矢量及面电流面电流密度矢量及面电流 当电荷在很薄的导体片上流动时，可以将其抽象地视为在一数学面上当电荷在很薄的导体片上流动时，可以将其抽象地视为在一数学面上流动，并称为面电流。如图流动，并称为面电流。如图2.1.5所示。所示。过表面电流场中一点，取一线元过表面电流场中一点，取一线元 垂直于电荷运动的方向，如果穿过此线元垂直于电荷运动的方向，如果穿过此线元 的电

7、流为的电流为 ，定义该点表面电，定义该点表面电流密度的值为流密度的值为dldIlIJls0lim图2.1.5 面电流密度与面电流llI穿过线段穿过线段 的电流为的电流为lldrJIls)(3 3、线电流：、线电流： 电荷在一根很细的导线中流过电荷在一根很细的导线中流过,或电荷通过的横截或电荷通过的横截面积很小时，可将电流视为在一根无限细的线上流动，面积很小时，可将电流视为在一根无限细的线上流动，这样的电流称为线电流。用电流强度来描述这样的电流称为线电流。用电流强度来描述. 线电流线电流I与线电荷密度与线电荷密度 、电荷流动速度、电荷流动速度 的关系的关系为：为： lIvlv2.2 静电场的基本

8、方程静电场的基本方程 2.2.1库仑定律、电场强度库仑定律、电场强度 图2.2.1电荷与电荷的相互作用电荷间的相互作用规律由库仑定电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空中静止的电荷律描述。真空中静止的电荷 对对 的相互作用力的相互作用力 为为1q2q12FRRqqRRqqF321002210124141电荷间的相互作用规律由库仑定电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空中静止的电荷律描述。真空中静止的电荷 对对 的相互作用力的相互作用力 为为12F电荷间的相互作用规律由库仑定电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空中静止的电荷律描述。真空中静止的电荷 对对 的相互作用力的相互作用力 为为12

9、F电荷间的相互作用规律由库仑定电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空中静止的电荷律描述。真空中静止的电荷 对对 的相互作用力的相互作用力 为为12F电荷间的相互作用规律由库仑定电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空中静止的电荷律描述。真空中静止的电荷 对对 的相互作用力的相互作用力 为为12F若在电场强度为若在电场强度为 的空间某点放置点的空间某点放置点电荷电荷q ，则，则 q受到的静电力为受到的静电力为EEq图2.2.2 场源坐标的表示由库仑定律导出空间点电荷由库仑定律导出空间点电荷q 的电场强度为的电场强度为RRQRRQE300204141当空间有当空间有 n个点电荷时，场点个点电荷时

10、，场点 的电场强度可由各点电荷的电场强度可由各点电荷独立在该点激励的电场强度的矢量和来计算。独立在该点激励的电场强度的矢量和来计算。r 对于体密度分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，对于体密度分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出从而得出 点的电场强度为点的电场强度为 同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为 30)(41)(drrrrrrEV30)(41)(dsrrrrrrEss30)(41)(dlrrrrrrEllrCq21Cq32Cq43例1 如图如图1，直角坐标系中，在坐标为（，直角坐标系中，在坐标为（3，0，0）、（）、（0，

11、4，0）试求坐标原点的电场强度。试求坐标原点的电场强度。 （0，0，5）的三点上分别放置点电荷）的三点上分别放置点电荷E1单独作用：单独作用： 11201012/449xxqEaaVmR 22202013/4416yyqEaaVmR E2单独作用：单独作用： 33203014/4425zzqEaaVmR 12301234()/491625xyzEEEEaaaVm 5r500C50qC2r例例2 有一半径有一半径点电荷所受到的作用力。点电荷所受到的作用力。 米的圆盘上均匀分布米的圆盘上均匀分布 圆盘轴线上距圆盘圆盘轴线上距圆盘5米处放一点电荷米处放一点电荷的电荷，今在的电荷，今在（1）、求此点电

12、荷所受到的作用力。）、求此点电荷所受到的作用力。若圆盘半径变为若圆盘半径变为 米，盘上总电荷不变，再求此米，盘上总电荷不变，再求此 （2）、）、26/102 . 0mCSQs)5()5(412/3220zrsararrdrdEdmVarrdradEszsz/)221 (2)5(4502/32202050 r=2m时 ，421.25 10/sQC mS25223/2000055(1)/4(5 )229sszzrdrEdaaVmr=qE =25.27zFaN as例例3 有一个半径为有一个半径为的导体球，球面上均匀分布面电荷密度为的导体球，球面上均匀分布面电荷密度为的表面电荷，试求球内外的电场强度

13、。的表面电荷，试求球内外的电场强度。2220011coscossin44srsrdSdErd dRR 2220001cossin4srrsEdEdadR 222cos2RrarR222cos2arRra当当0,RraRra时时22222222000142r assrr aaaRraREddRRrRarr球面上球面上2204,4srQQaEr球内的点球内的点0,RarRra0rE 解：解：P点电场点电场静电场基本方程的积分形式静电场基本方程的积分形式 niisqSdE101cldE0静电场基本方程的微分形式静电场基本方程的微分形式 0E0 E2.2.2 真空中静电场的基本方程真空中静电场的基本方

14、程 空间某一面元空间某一面元 对一定点对一定点O所张的立体角所张的立体角 定义：以定义：以O为球为球心，以点心，以点O到面元到面元 的距离的距离R 为半径作一球面，如图为半径作一球面，如图2.2.8所示，则所示，则立体角立体角 为为 在球面上的投影在球面上的投影 与与 的比，即的比，即dSdSdS22cosrdS adSdRR图2.2.8 空间面元 对一定点O的立体角dSddraSd2R立体角的定义：立体角的定义：闭合面对定点闭合面对定点O的立体角一定等于球面对的立体角一定等于球面对O点的立体角点的立体角,即即 。如果如果O点在闭合面外，则该闭合面在球面上投影的代数和为零，点在闭合面外，则该闭

15、合面在球面上投影的代数和为零，如图如图2.2.9b所示，因此，该闭合面对定点所示，因此，该闭合面对定点O的立体角一定等于零。的立体角一定等于零。 图图2.2.9 闭合面对定点的立体角闭合面对定点的立体角4验证高斯定理验证高斯定理 先研究一个点电荷的情况先研究一个点电荷的情况:在点电荷在点电荷q的电场中任选一闭合面的电场中任选一闭合面S ，电场强度在，电场强度在S面上的通量为：面上的通量为：sssdqRSdRqSdE020044上式中上式中 是面元对点电荷是面元对点电荷q所张的立体角所张的立体角20RSdRq4若若 点在闭合面内，则该立体角为点在闭合面内，则该立体角为 0044qqSdEs若若q

16、点在闭合面外，则该立体角为点在闭合面外，则该立体角为 0 0sSdE若若S面内有面内有N个点电荷，则根据叠加原理个点电荷，则根据叠加原理：0101QqSdEniis式中式中Q为闭合面的总电荷。为闭合面的总电荷。若闭合面若闭合面S包围的体积包围的体积 内，电荷以体密度内，电荷以体密度 分布，则分布，则 内总内总电荷量为电荷量为 )(rdrQ)(drSdEs)(10根据根据高斯散度定理高斯散度定理有：有：则：则：drdE)(10因为闭合面是任取的，所包围的体积也是任意的，于是有因为闭合面是任取的，所包围的体积也是任意的，于是有0)(rE高斯定律的积分形式高斯定律的微分形式环流方程和旋度方程：环流方

17、程和旋度方程： BARRBABARdRqRl dRql dE2020044BARRRRqRqBA1141400图2.2.10 的计算cl dE当积分路径是闭合路径时，点当积分路径是闭合路径时，点A和点和点B重合，因此重合，因此0cldE利用利用斯托克斯定理斯托克斯定理，上式可写成：，上式可写成：scSdEl dE0静电场是一种无旋场，或者说是一种发散场。静电场是一种无旋场，或者说是一种发散场。从力场的角度来看，又可以把静电场说成是一种从力场的角度来看，又可以把静电场说成是一种保守场保守场。 l解：0rr=rrrrrrsssE dSE a a dSE dS 02lrlErl02lrEr a)(r

18、ar 23ArrErar 245rAaaEr例例5 在半径为在半径为的球中分布密度为的球中分布密度为中电场强度分布为：当中电场强度分布为：当时，；当；当时，时，的电荷，已知空间的电荷，已知空间，（其中，（其中A为已知常数）。试求空间各点为已知常数）。试求空间各点的电荷分布。的电荷分布。解：20021()rrEr Erar 时，200( )(54)rrErrAar 时，0( )0rrE题中电荷分布在题中电荷分布在 处不连续。处不连续。 ramr2mr4)/(3mC例例6圆柱坐标系中，在圆柱坐标系中，在与与均匀分布有电荷，其电荷密度为均匀分布有电荷，其电荷密度为定律求各区域中的电场强度定律求各区域

19、中的电场强度。 之间的体积内之间的体积内。利用高斯。利用高斯zrrrL解：电场分布也关于解：电场分布也关于轴对称，即电场强度在半径为轴对称，即电场强度在半径为一半径为一半径为长度为长度为的同轴圆柱面。的同轴圆柱面。 的同轴圆柱面的同轴圆柱面上，上， 其值相等，方向在其值相等，方向在mr 2002rLESdErS0rEmrm42)4(1220rLrLESdErS方向上。现作方向上。现作)4(220rrErmr4LrLESdErS0122rEr062.3 泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 2.3.1 电位函数电位函数0 A0A静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯静电场是无旋的矢

20、量场，它可以用一个标量函数的梯度度表示，此标量函数称为静电场的表示，此标量函数称为静电场的电位函数电位函数，简称，简称电位电位。静电场中，电位函数静电场中，电位函数 的定义为：的定义为：E在直角坐标系中：在直角坐标系中：dzadyadxal dzyxzayaxaEzyxddzzdyydxxl dE)(将上式在空间将上式在空间A、B两点间积分两点间积分,可得可得A、B两点的电位差两点的电位差:BAl dEBAAB)()()()(电场强度沿一路径从电场强度沿一路径从A点到点到B点的线积分等于电位从点的线积分等于电位从A点到点到B点点的下降的下降.由此可见：电场强度的线积分反应了空间两电位的差。由此

21、可见：电场强度的线积分反应了空间两电位的差。若在空间中任选若在空间中任选P点作为电位的参考点，即点作为电位的参考点，即 ，则，则A点的电位点的电位0)(PPAldEA)(PRRPARdRql dRRqR2002044)(CRqRRqP004114若选取无穷远点为参考点，则若选取无穷远点为参考点，则 ，于是，于是0CRqR04)(对于点电荷的电位对于点电荷的电位 体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为：Cdrrrr0)(41)(CdSrrrrss0)(41)(Cdlrrrrll0)(41)()1 (220ara0例例 1 真空中，电荷按体密度真空

22、中，电荷按体密度分布在半径为分布在半径为的球形区域内，其中的球形区域内，其中为常数。试计算球内、外的电场为常数。试计算球内、外的电场强度和电位函数。强度和电位函数。ar 02224QErSdES300242002158)(44)(adrarrdrrrQaa20302152raaErrardErr03022152)(ar )53(44)(1425300020121arrdrrrErSdErS)33(23001arraErar 020152aS)1032(2)(24220011arrardErarSll qpqlqqmC电偶极子的概念：一对等值异号的电荷相距一个小的距离称为电偶极子，用电偶极矩矢量

23、来描述，其大小等于方向由指向单位为,试求电偶极子的电场和电位。 电偶极子的位与场： rrq1140在球坐标系中， )cos(4111cos142020rqlrrlrq22112cosrrlrl2111coslrrr30204141rrprapr电偶极子的电位又可表为电偶极子的电位又可表为由于由于 rapqlcos电场强度为：电场强度为： 350)( 341)(rprrrprE30304sin4cos2rqlarqlaEr等位面方程为等位面方程为 cosCr 电偶极子的电场线和等位面 2.3.2 泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程E0 E02020022222222zyx拉普拉斯算符拉普

24、拉斯算符无源区域无源区域泊松方程拉普拉斯方程在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：ar br 0U例例4 同轴传输线的内导体半径同轴传输线的内导体半径，外导体内半径，外导体内半径已知内导体的电位为已知内导体的电位为试求同轴传输线内的电位和电场分布。试求同轴传输线内的电位和电场分布。，外导体接地，如图，外导体接地，如图2.3.3所示。所示。21()0rrrr0,;,0raUrb1Crr解：解：边界条件：边界条件： 12lnCrC1221,ln0,ln ,r bCb CCCb120,lnra CaCU0lnlnUrabb0lnrUEaarb 1、电介质极化、电

25、介质极化当介质被放入电场中时，介质在电场作用下会使介质表当介质被放入电场中时，介质在电场作用下会使介质表面或介质中出现某种电荷分布，这种现象称为面或介质中出现某种电荷分布，这种现象称为介质的极介质的极化化，这种因极化而产生的电荷称为，这种因极化而产生的电荷称为极化电荷或束缚电荷极化电荷或束缚电荷。无极分子有极分子有极分子无极分子Ea2.4 介质中的高斯定律介质中的高斯定律 电位移矢量电位移矢量 实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二

26、次电场，这种二次电场 Es 又又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。 介介 质质合成场合成场Ea+ Es极极 化化二次场二次场Es外加场外加场Ea极化实质 极化强度矢量极化强度矢量 ：在电场作用下，介质中某点单位体：在电场作用下，介质中某点单位体积内电偶极子电矩的矢量和，即积内电偶极子电矩的矢量和，即PVpPV0lim2/mC

27、显然，极化强度矢量等于分子的平均电矩显然，极化强度矢量等于分子的平均电矩 与分子与分子密度密度N的乘积的乘积ppppN2、极化强度矢量、极化强度矢量PPppN= 实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度时，其极化强度 与介质中的合成电场强度与介质中的合成电场强度 成正比成正比:即即对于常用的各向同性的线性均匀介质：对于常用的各向同性的线性均匀介质：EPe0式中式中e :极化率，是一个正实数。极化率，是一个正实数。 这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化强度极化强度 的某一

28、坐标分量仅决定于相应电场强度的坐标分的某一坐标分量仅决定于相应电场强度的坐标分量。极化率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。量。极化率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。PEPEPe0EPe0 有些介质并不是这样，其极化强度有些介质并不是这样，其极化强度 的某一坐标分的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度 与电与电场强度场强度 的关系可用下列矩阵表示的关系可用下列矩阵表示 :zyxzyxEEEPPP 33e32e31e23e22e21e1

29、3e12e11e0 这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为称为各向异性介质各向异性介质。 PEP3、极化电荷体密度、面密度与极化强度的关系、极化电荷体密度、面密度与极化强度的关系图2.4.1 极化介质的物理模型介质的分子密度为介质的分子密度为N，分子的平均电矩为分子的平均电矩为l qppNP在在dS为底、斜高为为底、斜高为 的一个小柱体积内的正电荷都将的一个小柱体积内的正电荷都将从从dS穿过，其电荷量为穿过，其电荷量为lSdPNqldScospQ

30、spSdPQ从闭合面从闭合面S上穿出的电荷总量上穿出的电荷总量 为为闭合面闭合面S内的极化电荷为内的极化电荷为：应用高斯散度定理应用高斯散度定理：因此极化体电荷密度为因此极化体电荷密度为：sppSdPQQdPSdPsspdPSdPQPp图2.4.2 面极化电荷密度SdSddSnPSdPnnPps在在S面上取一面元矢量面上取一面元矢量从面元矢量从面元矢量 穿出的电荷量为穿出的电荷量为 ：表面的单位法向矢量表面的单位法向矢量介质表面上的极化电荷密度为介质表面上的极化电荷密度为：4、介质中的高斯定律、介质中的高斯定律 电位移矢量电位移矢量0011()()pSsE dSQQQP dS源电荷分布激励电场

31、源电荷分布激励电场束缚电荷分布要激励电场束缚电荷分布要激励电场QSdPEs)(0介质中的高斯定律介质中的高斯定律电位移矢量电位移矢量DQSdDs D对以各向同性的均匀介质对以各向同性的均匀介质 EEEPEDre000)1 (DE 与 的关系称为介质的本构方程或组成关系 er10相对电容率介介 质质介介 质质空空 气气1.0石石 英英3.3油油2.3云云 母母6.0纸纸1.34.0陶陶 瓷瓷5.36.5有机玻璃有机玻璃2.63.5纯纯 水水81石石 腊腊2.1树树 脂脂3.3聚乙烯聚乙烯2.3聚苯乙烯聚苯乙烯2.6rr 各向异性介质的电位移矢量与电场强度的关系可以表示为各向异性介质的电位移矢量与

32、电场强度的关系可以表示为zyxzyxEEEDDD 333231232221131211 此式表明，各向异性介质中，电位移矢量的方向与此式表明，各向异性介质中，电位移矢量的方向与电场强度的方向不一定相同，电位移矢量某一分量可能电场强度的方向不一定相同，电位移矢量某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向有关。场强度的关系与外加电场的方向有关。5、介质中静电场的基本方程、介质中静电场的基本方程积分方程：积分方程：微分方程：微分方程：本构方程：本构方程：QSdDs D0 EEEDr00cE dl cmr11

33、cmr8 . 13cmr5 . 12014027cmkvEm/1201cmkvEm/1002U例例2 有一介质同轴传输线有一介质同轴传输线,内导体半径内导体半径外导体的内半径外导体的内半径两导体间充满两层均匀介质两导体间充满两层均匀介质,它们分界面的半径它们分界面的半径已知内、外两层介质的介电常数分别为已知内、外两层介质的介电常数分别为，击穿电场强度击穿电场强度分别是分别是；问：问：1.内、外导体间的电压内、外导体间的电压逐渐升高时，哪层介质被先击穿？逐渐升高时，哪层介质被先击穿？2.此传输线能耐的最高电压为多少伏？此传输线能耐的最高电压为多少伏？ Ullrra解：当内、外导体上加上电压解：当

34、内、外导体上加上电压则内外导体上将分布则内外导体上将分布。由于电场分布具有轴对称性，由于电场分布具有轴对称性，选同轴的柱面作为高斯面，根据高斯选同轴的柱面作为高斯面，根据高斯的电荷的电荷密度密度在与传输线同轴的半径为在与传输线同轴的半径为 的柱面上的柱面上场的大小相等，方向在场的大小相等，方向在方向。方向。定律可得定律可得:1rr 000rrDE21rrrrDlr21或 rrEllr0118232rrrrDlr22或 rrEllr022142两层介质中电场都在内表面上最强，且两层介质中电场都在内表面上最强，且在束缚电荷的缘故。在束缚电荷的缘故。在分界面上不连续，这是在分界面上存在分界面上不连续

35、，这是在分界面上存在介质在介质1中，中，1rr 处场强最大为处场强最大为 :1011182rrEllrm2rr 在介质在介质2中，中，处场强最大为处场强最大为 :20222142rrEllrm12rr rrEE12在两种介质中最大场强的差值为：在两种介质中最大场强的差值为： ) 147(141481220201021rrrrrEElllrmrm1r2r代入代入和的值得的值得: rmrmrmrmErrEEE212221625. 1) 147(cmV /k100cmV /k5 .162当介质当介质2内表面上达到内表面上达到介质介质1内表面已达到内表面已达到因此，介质因此，介质1在介质在介质2被击穿

36、前早已被击穿。被击穿前早已被击穿。的电场强度时，的电场强度时，的电场强度的电场强度,而当介质而当介质1内表面上达到击穿电场强度时内表面上达到击穿电场强度时cmVrrEllrm/k12082101111012042rl因此，介质因此，介质1和介质和介质2内的内的电场分布为电场分布为cmVrrrrEllr/k120821011cmVrrrrEllr/k712041421022故，传输线上的最大电压不能超过故，传输线上的最大电压不能超过 VrrrrrrdrrrdrrrdrEdrEUrrrrrrrrrrmk16.61ln7480ln12074801202311211121322132212.5 介质分

37、界面上的边界条件介质分界面上的边界条件边界条件边界条件 由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边界条边界条件件。 为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。即：分量和法向分量的变化规律。即： 在静电场中讨论电场强度在静电场中讨论电场强度 和电位移矢量和电位移矢量 在不在不同介质的分界面上遵循的变化规律。同介质的分界面上遵循的变化规律。DE图2.5.1 分界面上 的边界条件nDssnnSSDSDSdD21

38、snnDD21或sDDn)(21s为分界面上的自由电荷密度hSD1D2 2 1en当分界面上无自由电荷分布时：nnDD21即21DnDn由此可得由此可得 的法向分量在介质面两侧的关系的法向分量在介质面两侧的关系：（1）如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧 的法向分量连续的法向分量连续（2）如果介质分界面上分布电荷密度如果介质分界面上分布电荷密度 ， 的法向分量从介质的法向分量从介质1跨过分跨过分界面进入介质界面进入介质2时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度 。DDDss边界条件可用电位表示为：n

39、n2211snn2211021lElEl dEclnsl0)()(21lnsElnsE12()() 0s n Es n E 12n E n E 即ttEE21电场强度的切向分量在不同介质的分界面上总是连续。电场强度的切向分量在不同介质的分界面上总是连续。E1E21324lh 2 1Et由于电场的切向分量在分界面上总连由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量有限，故在分界面上电续，法向分量有限，故在分界面上电位函数连续，即：位函数连续，即：21对于没有电荷分布的介质分界面，若分界面两侧电对于没有电荷分布的介质分界面，若分界面两侧电场强度场强度 和和 与法线的夹角分别为与法线的夹角分别为 和和

40、 则：则： 1E2E122121tantan对于导体与空气的分界面，由于导体内无电场，故在空气侧对于导体与空气的分界面，由于导体内无电场，故在空气侧的导体表面上有：的导体表面上有：0tE0snE 5321zyxaaaEmV /2D12例例1在图在图2.5.3中的电介质分界附近，中的电介质分界附近，、角、角 且分界面上没有自由电荷分布，求且分界面上没有自由电荷分布，求:,电位移矢量连续。得：电位移矢量连续。得： 解：在解：在z=0的介质分界面上，的介质分界面上，x分量和分量和y分量是切向分量，分量是切向分量， z分量为法向分量为法向分量，根据不同介质分界面的边界条件，切向电场分量连续，法向分量，

41、根据不同介质分界面的边界条件，切向电场分量连续，法向电场与分界面的夹角可用下面关系求得：电场与分界面的夹角可用下面关系求得： 2123ttxxEEaa12011022,nnrnrnDDEE 12122/rnnrEEVm2222xyzxyzDa Da Da D022022022xyzrxryrzaEaEaE 000101510 xyzaaa0111| cos(90)xEaE0154.20222|cos(90)zEaE0229.02.7 电场能量与能量密度电场能量与能量密度 1、带电系统的静电能、带电系统的静电能 设每个带电体的最终电位为设每个带电体的最终电位为1、2、n，最终电荷为，最终电荷为q

42、1、 q2、qn。带电系统的能量与建立系统的过程无关，仅仅与系。带电系统的能量与建立系统的过程无关，仅仅与系统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带电体的电量均是各自终值的电体的电量均是各自终值的倍倍(1)，即带电量为，即带电量为qi，电位为，电位为i，经过一段时间，带电体，经过一段时间，带电体i的电量增量为的电量增量为d(qi)，外源对它所，外源对它所作的功为作的功为id(qi)。外源对。外源对n个带电体作功为个带电体作功为 niiiiniidqqd11)(因而，电场能量的增量为因而，电场能量的增量为 在整个过程中，电场

43、的储能为在整个过程中，电场的储能为 101112nneeiiiiiiWdWqadaq1( ) ( )2eWrr dniiiedqdW1dlrrWdSrrWlleSSe)()(21)()(21njjiijnienjjiijnieWqqpW11112121CqCUqUWe22121222 、能量密度、能量密度 图图 2 7.1 能量密度能量密度 dddWe1021将将 和和 代入上式，代入上式，有有 DE1()2eWDd1()2DD d sdDESdD2121dDDdDWe)(21)(21sdDESdD2121r121rD2rS 由于由于 ， ， 所以所以sSdD021故得到：故得到：对于对于各向

44、同性介质：各向同性介质：VedDEW21dwdEdEEWee22121凡是静电场不为零的空间中都储存着静电能。静电能是以电凡是静电场不为零的空间中都储存着静电能。静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的间中的。场中任一点的场中任一点的能量密度能量密度为：为：22121EEDweRQRr 例例2.7.1 半径为半径为的导体球上带电量为的导体球上带电量为时，对于导体球，球内无电场，球面为等位面。时，对于导体球，球内无电场，球面为等位面。 试计算空间中的电场分布试计算空间中的电场分布,电位分布和静电能量。电位分布和静电

45、能量。解：当解：当Rr 204rQErrQ041球面上的电位为球面上的电位为 RQR041此导电球储存的静电能为此导电球储存的静电能为 RQQWRe208121而空间任一点的能量密度为而空间任一点的能量密度为 JrQEwe4022203221静电场储存的静电能为静电场储存的静电能为 JRQdrwrWRRee022842.8 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程1、恒定电流的基本特征、恒定电流的基本特征 根据电荷守恒定律，单位时间内由面流出的电流等于根据电荷守恒定律，单位时间内由面流出的电流等于单位时间内面内电荷的减少量单位时间内面内电荷的减少量 ：dtdJtqSdJsdq（应用散度定理）（应用