一可对角化的概念ppt课件

1、定义定义1：设：设 是是 维线性空间维线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，An假设存在假设存在V的一个基，使的一个基，使 在这组基下的矩阵为对在这组基下的矩阵为对A角矩阵，那么称线性变换可对角化角矩阵，那么称线性变换可对角化.A矩阵，那么称矩阵矩阵，那么称矩阵A可对角化可对角化.定义定义2：矩阵：矩阵A是数域是数域 上的一个上的一个 级方阵级方阵. 假设假设Pn存在一个存在一个 上的上的 级可逆矩阵级可逆矩阵 ，使，使 为对角为对角P1XAX Xn1. (定理定理7)设设 为为 维线性空间维线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，An那么那么 可对角化可对角化 有有 个线性无关的特征向

2、量个线性无关的特征向量.AAn证：设证：设 在基在基 下的矩阵为对角矩阵下的矩阵为对角矩阵 A12,n 12n 那么有那么有 ,1,2,.iiiin A12,n 就是就是 的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.A反之，假设反之，假设 有有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 An12,n 那么就取那么就取 为基，那么在这组基下为基，那么在这组基下 的矩阵的矩阵12,n A是对角矩阵是对角矩阵.2. (定理定理8)设设 为为n维线性空间维线性空间V的一个线性变换的一个线性变换,A假设假设 分别是分别是 的属于互不一样的特征值的属于互不一样的特征值12,k A的特征向量，那么的特征

3、向量，那么 线性无关线性无关.12,k 12,k 证：对证：对k作数学归纳法作数学归纳法.当当 时，时， 线性无关线性无关. 命题成立命题成立. 1k 110,假设对于假设对于 来说，结论成立来说，结论成立. 现设为现设为 1k 12,k 的互不一样的特征值，的互不一样的特征值， 是属于是属于 的特征向量，的特征向量，Ai i 即即1,2, ., iiiin A以以 乘式的两端，得乘式的两端，得 k 11220.kkkkkaaa 设设 1 1220,kkiaaaaP 又对式两端施行线性变换又对式两端施行线性变换 ，得，得 A11 12220.kkkaaa 式减式得式减式得 111222111(

4、)()()0kkkkkkaaa 由归纳假设，由归纳假设， 线性无关，所以线性无关，所以 121,k ()0,1,2,1.iikaik但但 互不一样，所以互不一样，所以12,k 1210.kaaa 将之代入，得将之代入，得0.kka 0,0kka 故故 线性无关线性无关. 12,k 特别地，特别地，(推论推论2) 在复数域在复数域C上的线性空间中，上的线性空间中，3. (推论推论1) 设为设为n 维线性空间维线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，A那么那么 可对角化可对角化.A假设线性变换假设线性变换 的特征多项式没有重根，那么的特征多项式没有重根，那么 可可AA假设假设 的特征多项式在数域

5、的特征多项式在数域 P 中有中有n个不同特征值，个不同特征值，A对角化对角化.特征值特征值 的线性无关的特征向量，的线性无关的特征向量，i 1,2, ,ik 那么向量那么向量 线性无关线性无关.11111,krkkr 4. (定理定理9) 设为线性空间设为线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，A 是是 的不同特征值，而的不同特征值，而 是属于是属于12,k 12,iiiirA证明：首先，证明：首先， 的属于同一特征值的属于同一特征值 的特征向量的特征向量Ai 的非零线性组合仍是的非零线性组合仍是 的属于特征值的属于特征值 的一个特征的一个特征Ai 向量向量.11111,.krkkraaaa

6、P 令令 11,1,2, .iiiiiiriraaik 由有，由有， 120.k 设设 1111 1111110,kkrrkkkrkraaaa 假设有某个假设有某个 那么那么 是是 的属于特征值的属于特征值 的的0,ii Ai 特征向量特征向量.而而 是互不一样的，由定理是互不一样的，由定理8，12,k 必有一切的必有一切的0,1,2, .iik 即即110.iiiiiriraa 而而 线性无关，所以有线性无关，所以有 1,iiir10,1,2, .iiiraaik 故故 线性无关线性无关.11111,krkkr 1dim,iiriVnV A为的特征子空间为的特征子空间. 5. 设为设为n维线

7、性空间维线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，A12,r 为为 全部不同的特征值，那么可对角化全部不同的特征值，那么可对角化AA6. 设为设为n维线性空间维线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，A假设假设 在某组基下的矩阵为对角矩阵在某组基下的矩阵为对角矩阵A12nD 那么那么 1 的特征多项式就是的特征多项式就是 A 12( )nfA2对角矩阵对角矩阵D主对角线上元素除陈列次序外是独一主对角线上元素除陈列次序外是独一确定的确定的,它们就是的全部特征根它们就是的全部特征根(重根按重数计算重根按重数计算).A 1 求出矩阵求出矩阵A的全部特征值的全部特征值 12,.k 2 对每一个特征值

8、对每一个特征值 ，求出齐次线性方程组，求出齐次线性方程组 i 0,1.2.iEA Xik 设设 为维线性空间为维线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，A12,n 为为V的一组基，在这组基下的矩阵为的一组基，在这组基下的矩阵为A. A步骤步骤:的一个根底解系此即的属于的一个根底解系此即的属于 的全部线性无关的全部线性无关i A的特征向量在基下的坐标的特征向量在基下的坐标. 12,n 3假设全部根底解系所含向量个数之和等于假设全部根底解系所含向量个数之和等于n ，那么，那么 或矩阵或矩阵A可对角化可对角化. 以这些解向量为列，作一个以这些解向量为列，作一个n阶方阵阶方阵T，那么，那么T可逆，可

9、逆， 是对角矩阵是对角矩阵. 而且而且1TAT 有有n个线性无关的特征向量从而个线性无关的特征向量从而 A12,n AT就是基到基的过渡矩阵就是基到基的过渡矩阵.12,n 12,n 下的矩阵为下的矩阵为 123, 0 0 10 1 01 0 0A 基变换的过渡矩阵基变换的过渡矩阵.问问 能否可对角化能否可对角化. 在可对角化的情况下，写出在可对角化的情况下，写出A例例1. 设复数域上线性空间设复数域上线性空间V的线性变换的线性变换 在某组在某组基基A解：解：A的特征多项式为的特征多项式为 20101 01110EA 得得A的特征值是的特征值是1、1、1.解齐次线性方程组解齐次线性方程组 得得

10、10,EA X13xx 故其根底解系为：故其根底解系为： (1,0,1),(0,1,0)所以，所以，11322, 是的属于特征值是的属于特征值1的两个线性无关的特征向量的两个线性无关的特征向量.A再解齐次线性方程组再解齐次线性方程组 得得 10,EA X 1320 xxx 故其根底解系为：故其根底解系为： (1,0, 1) 所以，所以，313 是是 的属于特征值的属于特征值1的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量.A线性无关，故线性无关，故 可对角化，且可对角化，且123, A1 0 00 10;0 01 在基在基 下的矩阵为对角矩阵下的矩阵为对角矩阵 123, A 1231231 0 1,

11、0 1 0.1 01 1 0 10 10,1 01T 即基即基 到的过渡矩阵为到的过渡矩阵为123, 123, 11 0 00 10.0 01TAT 例例2. 问问A能否可对角化？假设可，求可逆矩阵能否可对角化？假设可，求可逆矩阵T，使使321222361A 为以角矩阵为以角矩阵. 这里这里1TAT 321222361EA 23121624得得A的特征值是的特征值是2、2、-4 .解解: A的特征多项式为的特征多项式为 对于特征值对于特征值2，求出齐次线性方程组，求出齐次线性方程组 123121024203630 xxx 对于特征值对于特征值4，求出齐次方程组，求出齐次方程组 12372102

12、2203630 xxx 的一个根底解系的一个根底解系:2、1、0，1、0、1 的一个根底解系的一个根底解系: 12( ,1)33 12 132103011T 令令 那么那么 12 000 200 04TAT 所以所以A可对角化可对角化.是对角矩阵即是对角矩阵即D D不可对角化不可对角化. .项式项式. .并证明：并证明：D D在任何一组基下的矩阵都不能够在任何一组基下的矩阵都不能够练习：在练习：在 中中, 求微分变换求微分变换D的特征多的特征多 (1)nP xn 211,2!(1)!nxxxn 解：在解：在 中取一组基：中取一组基： nP x那么那么D D在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为010000100001