初中数学等边三角形练习题

1、初中数学等边三角形练习题 1. 如图，在ABC中，BAC=90，ABC=30，以AB，AC为边向外分别作等边ABD和等边ACE，若AC=2，则BE的长为（        ） A.6B. 27C.26D.5 2. 下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有（ ） A.B.C.D. 3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A.有两个内角是60的三角形B.有两边相等且是轴对称图形的三角形

2、C.三边都相等的三角形D.有一个角是60且是轴对称图形的三角形 4. 下列所叙述的三角形一定全等的是(   ) A.边长相等的两个正三角形B.腰相等的两个等腰三角形C.含有30角的两个直角三角形D.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形 5. 如图，在ABC中， B=30，BC的垂直平分线DE交AB于点E，垂足为点D.若ED=7，则CE的长为(        ) A.3.5B.7C.10D.14 6. 如图，在等边ABC中，D是AB的中点， DEAC于点E, EFBC于点F，已知AE=2

3、60;，则CF的长为(        ) A.3B.4C.5D.6 7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角PCA=BDQ=30当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(        ) A.64cmB.(542+10)cmC.(543+10)cmD.54cm 8. 如图，在ABC中， B=60，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC的长为（   &

4、#160;    ） A.8B.7C.6D.5 9. 如图所示，ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，则四个结论正确的是(        )点P在A的平分线上；AS=AR；QP/AR；BRPQSP A.全部正确B.仅和正确C.仅正确D.仅和正确 10. 如图，AD是等边三角形ABC的高，AE=AD，则EDC=(        ) A.30B.20C.25D.15 11. 如图，等边三角形ABC中，ADBC，垂足为

5、D，点E在线段AD上，EBC=45，则ACE等于(        ) A.15B.30C.45D.60 12. 如图，已知等边OA1B1，顶点A1在双曲线y=3x(x>0)上，点B1的坐标为(2,0)过B1作B1A2/OA1，交双曲线于点A2，过A2作A2B2/A1B1交x轴于B2，得到第二个等边B1A2B2；过B2作B2A3/B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3/A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边B2A3B3；以此类推，则点B2的坐标为_，Bn的坐标为_  13. 已知AOB=30，点P在OA上，且OP=2，点P关于

6、直线OB的对称点是Q，则PQ=_   14. 如图，ABC为等腰三角形，A=B=30，设AB=a，AC=b，AC边上的高为BD若用a，b表示BD，则表达式为_.  15. 如图，在直角坐标系中，直线y=3x+3分别与x轴，y轴交于M、N，点A、B分别在y轴、x轴上，且BAO=30, AO=2 将ABO绕O顺时针转动一周，当AB与直线MN垂直时，点A坐标为_.  16. 如图，在ABC中，点D是AB的中点，连接CD，CD=BD，tanCDB=247，在BC上取一点F，使BF=12AB，连接DF，过点D作DEDF交AC于点E，且AE=1，则BC的长为_ &#

7、160;17. 如图，在ABC 中，点D、点E分别在AB，AC上，CF/AB，交DE的延长线于点F，DE=EF,AB=8,CF=5，则 BD=_  18. 如图，在等边ABC中，D，E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于点F，CFBE 1求证：BE=AD； 2试求BFD的度数； 3求证：BF=2AF 19. 如图，点D是等边ABC中BC边的延长线上一点，且ACCD，以AB为直径作O，分别交边AC，BC于点E，F (1)求证：AD是O的切线； (2)连接OC，交O于点G，若AB8，求线段CE、CG与GE围成的阴影部分的面积S 20. 如图，B，C，

8、E三点在一条直线上， ABC和DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点 N (1)求证：AE=BD； (2)若把DEF绕点C任意旋转一个角度，(1)中的结论还成立吗？请说明理由. 21. 如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm，AD=43cm （1）判定AOB的形状； （2）计算BOC的面积 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(2,0)，点A关于原点的对称点为B. (1)若以AB为一边向上作一个等边三角形ABC，求点C的坐标； (2)求(1)中的三角形ABC的周长和面积. 23. 如图，在ABC中

9、，ABC与ACB的角平分线相交于点D，BD与ACB的外角平分线相交于点E （1）若A80，求BDC的度数； （2）试求A与E之间的数量关系； （3）在DCE中，存在一个内角等于另一内角的3倍，求A的度数 24. 如图现有以下3个论断：BD/EC；DC；AF （1）请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题，你能构造哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明 25. 已知在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(0,3)，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，ABAC，BAC90 （1）在图1中，求点C坐标； （2）在图2中，动点

10、P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴正方向运动，设点P的运动时间为t，PAC的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围 （3）在（2）问条件下，若PB+PC的值最小时，求P点坐标及t的值参考答案与试题解析初中数学等边三角形练习题一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ） 1.【答案】B【考点】等边三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接CD ABD和ACE都是等边三角形， AD=AB,AE=AC,DAB=CAE=60， DAB+BAC=CAE+BAC，即DAC=BAE, ABEADCSAS，  DC=BE.  

11、0;ABC=30,ABD=60， DBC=ABD+ABC=60+30=90.  ABD是等边三角形，AC=2,BAC=90,ABC=30， BC=4，BD=AB=23.在RtDBC中，DC=BC2+BD2=42+232=27, BE=DC=27.故选B2.【答案】D【考点】等边三角形的判定【解析】根据等边三角形的判定判断【解答】解：两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；这是等边三角形的判定2，故正确；三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；根据等边三角形三线合一性质，故正确所以都正确故选D3.【答案】B【考点】等边三角形的判定【解析】根据等边三

12、角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60且两边相等或有两个内角为60中任意一个条件的三角形都是等边三角形【解答】解：A、两个内角为60，根据三角形的内角和为180，可知另一个内角也为60，所以该三角形为等边三角形故不符合题意；B、两边相等说明是等腰三角形或等边三角形，而这两种三角形都满足“轴对称”的条件，所以不能确定该三角形是等边三角形故符合题意；C、三边都相等的三角形当然是等边三角形故不符合题意；D、“轴对称”说明该三角形有两边相等，且有一个角是60，有两边相等且一角为60的三角形是等边三角形故不符合题意；故选B4.【答案】A【考点】含30度角的直角三角形【解析】根据全等三角形的判定方法

13、，结合等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质分别分析即可【解答】解：A、边长相等的两个正三角形，利用SSS可得一定全等，选项符合题意；B、腰相等的两个等腰三角形，没有指明角相等，所以不一定全等，选项不符合题意；C、含有30角的两个直角三角形，因为没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；D、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，选项不符合题意；故选A5.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质含30度角的直角三角形【解析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE，故可得出B=DCE，再由直角三角形的性质即可得出结论【解答】解：在ABC中，B=30，BC的垂直平分线交AB于E

14、，ED=7，BE=CE,B=DCE=30.在RtCDE中，DCE=30，ED=7，CE=2DE=14.故选D6.【答案】A【考点】含30度角的直角三角形等边三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：在RtADE中，A=60， ADE=30，又AE=2， AD=2AE=4， D为AB的中点， AB=AC=8， CE=ACAE=82=6， EFBC， EFC=90，又C=60， 在RtEFC中，  CF=12EC=3.故选A.7.【答案】A【考点】含30度角的直角三角形【解析】过A作AECP于E，过B作BFDQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以

15、通过闸机的物体的最大宽度【解答】解：如图所示，过A作AECP于E，过B作BFDQ于F，则RtACE中，AE=12AC=12×54=27(cm)，同理可得，BF=27cm，又 点A与B之间的距离为10cm， 通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64(cm)，故选A.8.【答案】C【考点】含30度角的直角三角形等腰三角形的性质【解析】作出辅助线，利用特殊直角三角形求出BD，即可求出PD，再利用等腰三角形的性质即可求出.【解答】解：过点A作ADBC，B=60， 在RtADB中，BAD=30， BD=12AB=92.又BP=3， PD=32，又AP=AC，且ADBC， PD=CD=1

16、2PC=32， PC=3， BC=BP+PC=6.故选C.9.【答案】A【考点】等边三角形的判定方法等边三角形的判定【解析】因为ABC为等边三角形，根据已知条件可推出RtARPRtASP，则AR=AS，故(2)正确，BAP=CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故(1)正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ=PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ/AB，故(3)正确，又可推出BRPQSP，故(4)正确【解答】解：如图： PRAB于R，PSAC于S, ARP=ASP=90. PR=PS，AP=AP, RtAR

17、PRtASP. AR=AS，故正确，BAP=CAP, AP是等边三角形的顶角的平分线，故正确. AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点. AQ=PQ, 点Q是AC的中点. PQ是边AB所对的中位线, PQ/AB，故正确. CPQ是等边三角形， PQ=PC，PQS=C, B=C=PQS=60，BRP=CSP=90，BP=CP=QP. BRPQSP，故正确. 全部正确故选A10.【答案】D【考点】等边三角形的性质【解析】由AD是等边三角形ABC的中线，根据三线合一与等边三角形的性质，即可求得ADC与DAC的度数，又由AE=AD，根据等边对等角的性质，即可求得ADE的度数，继而求得EDC的度数

18、【解答】解： ABC是等边三角形， AB=AC，BAC=C=60. AD是ABC的高， ADC=90， DAC=180CADC=1809060=30. AE=AD， ADE=AED=180DAC2=180302=75， EDC=ADCADE=9075=15故选D11.【答案】A【考点】等边三角形的性质等腰三角形的判定与性质线段垂直平分线的性质【解析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出ECB=45，即可得出结论【解答】解： 等边三角形ABC中，ADBC， BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线. 点E在AD上， BE=CE， EBC=ECB. EBC=45， ECB=45. ABC是等边三

19、角形， ACB=60， ACE=ACBECB=15.故选A.二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 12.【答案】(22,0),(2n,0)【考点】等边三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，作A2Cx轴于点C，设B1C=a，则A2C=3a，OC=OB1+B1C=2+a，A2(2+a,3a) 点A2在双曲线y=3x(x>0)上， (2+a)3a=3，解得a=21，或a=21（舍去）， OB2=OB1+2B1C=2+222=22， 点B2的坐标为(22,0)；作A3Dx轴于点D，设B2D=b，则A3D=3b，OD=OB2+B2D=22+b，A3(22

20、+b,3b) 点A3在双曲线y=3x(x>0)上， (22+b)3b=3，解得b=2+3，或b=23（舍去）， OB3=OB2+2B2D=2222+23=23， 点B3的坐标为(23,0)；同理可得点B4的坐标为(24,0)即(4,0),， 点Bn的坐标为(2n,0)，故答案为：(22,0)，(2n,0)13.【答案】2【考点】等边三角形的性质与判定轴对称的性质【解析】连OQ，由点P关于直线OB的对称点是Q，根据轴对称的性质得到OB垂直平分PQ，则POB=QOB=30，OP=OQ，得到POQ为等边三角形，根据等边三角形的性质得PQ=PO=2【解答】解：如图，连接OQ. 点P关于直线OB的

21、对称点是Q， OB垂直平分PQ， POB=QOB=30，OP=OQ， POQ=60， POQ为等边三角形， PQ=OP=2故答案为：2 14.【答案】a+32b【考点】含30度角的直角三角形三角形的外角性质*平面向量【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CAD的度数，然后根据30角所对的直角边等于斜边的一半求解即可【解答】解：在ABC中，A=ABC=30， BCD=30+30=60，在RtBCD中，CBD=1809060=30， CD=12BC=12AC， BD=BA+AD， BD=BA+AC+CD=a+b+12b=a+32b.故答案为：a+32b.15.【答案

22、】1,3或1,3【考点】一次函数图象上点的坐标特点坐标与图形变化-旋转勾股定理含30度角的直角三角形【解析】计算出OM=3，ON=3，即可确定NMO=60，然后利用AB与直线MN垂直画出图形，直线AB交y轴交于点C，作ADx轴于D，则OCB=60，再解直角三角形求AD、OD，从而确定A点坐标【解答】解：当x=0时，y=3x+3=3，则N0,3，当y=0时，3x+3=0，解得x=3，则M3,0，在RtOMN中，由勾股定理得MN=ON2+OM2=23， NMO=60，在RtABO中， BAO=30，AO=2， OBA=60， OB=233， AB与直线MN垂直， 直线AB与x轴的夹角为30，如图1

23、，直线AB交y轴于点C，交MN于G，作ADx轴于D，GHx轴于H， MGH=30， BGH=60 OCB=60， OBA=60， OBC是等边三角形， BOC=60， AOC=30， AOD=60，在RtOAD中，OD=12OA=1，AD=3， A点坐标为1,3；如图2，直线AB交y轴于点C，作ADx轴于D，同理：OCB=60， ABO=60， COB=60， AOC=30， AOD=60，在RtOAD中，OD=12OA=1，AD=3， A点坐标为1,3.综上所述，A点坐标为1,3或1,3故答案为：1,3或1,316.【答案】125【考点】等边三角形的判定方法【解析】此题暂无解析【解答】解：点

24、D是AB的中点，且CD=BD，BF=12AB， AD=BD=CD=BF， ACB=90，如图，过点C作CHBD于点H， tanCDB=CHDH=247， 设CH=24x，则DH=7X， CD=AD=BD=BF=25x，BH=18x， BC=30x，AC=40x，过点D作DMBC'于点M，作DGAC于点G， DGE=DMF=GDM=90 GDF+FDM=90 EDF=90， EDF=90， EDG+GDF=90， EDG=FDM， DEGDFM， EGFM=DGDM=12BC12AC=15x20x=34， EG=152x， AGAD=AEAC+EG=1+152x， 152x+125x=4

25、5 ，解得：x=225， BC=30x=125故答案为：12517.【答案】3【考点】含30度角的直角三角形线段垂直平分线的性质【解析】          【解答】解：因为CF/AB,所以CFE=ADE,FCE=ADE，所以ADECFE，得到DEEF=ADCF，代入得，AD=5,BD=ABAD=85=3.故答案为：3.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ） 18.【答案】1证明： ABC是等边三角形， BAC=ACB=60，AB=AC， 在ABE和CAD中，AB=AC，BAE=ACD，AE=CD， ABE

26、CAD(SAS)， BE=AD；2解： ABECAD， ABE=CAD ABE+CBE=BAD+CAD=60BAD=CBE， BFD=BAF+ABF=CBE+ABF=ABC=60;3证明：过B作AD的垂线，垂足为K，如图， CFBE， BEC=90， FBK=30， FK=12BF， 在ABK和BCF中BAK=CBF，AKB=BFC，AB=BC， ABKBCF(AAS)， AK=BF，即AF+FK=BF， AF+12BF=BF， BF=2AF【考点】三角形的外角性质等边三角形的性质全等三角形的性质【解析】（1）根据等边三角形的性质得BAC=ACB=60，AB=AC，再根据“SAS”可判断ABE

27、CAD，所以BE=AD；【解答】1证明： ABC是等边三角形， BAC=ACB=60，AB=AC， 在ABE和CAD中，AB=AC，BAE=ACD，AE=CD， ABECAD(SAS)， BE=AD；2解： ABECAD， ABE=CAD ABE+CBE=BAD+CAD=60BAD=CBE， BFD=BAF+ABF=CBE+ABF=ABC=60;3证明：过B作AD的垂线，垂足为K，如图， CFBE， BEC=90， FBK=30， FK=12BF， 在ABK和BCF中BAK=CBF，AKB=BFC，AB=BC， ABKBCF(AAS)， AK=BF，即AF+FK=BF， AF+12BF=BF，

28、 BF=2AF19.【答案】(1)证明： ABC是等边三角形， BACACB60. CACD， DCAD. ACBD+CAD， CAD30， BAD60+3090， DABA， AD是O的切线(2)解：连接OE， OAOE，OAE60， OAE是等边三角形， AEAO=12AB=12AC， AEEC， SOECSAOE=34×4243， CACB，OAOB， COAB， AOC90， EOG30， S扇形OEG=30××42360=43， S阴影SOECS扇形OEG4343【考点】扇形面积的计算切线的判定与性质等边三角形的性质【解析】(1)欲证明AD是O的切线，只

29、要证明ADAB即可；(2)根据S阴SOECS扇形OEG，只要证明AEEC，推出SOECSAOE=344243即可解决问题；【解答】(1)证明： ABC是等边三角形， BACACB60. CACD， DCAD. ACBD+CAD， CAD30， BAD60+3090， DABA， AD是O的切线(2)解：连接OE， OAOE，OAE60， OAE是等边三角形， AEAO=12AB=12AC， AEEC， SOECSAOE=34×4243， CACB，OAOB， COAB， AOC90， EOG30， S扇形OEG=30××42360=43， S阴影SOECS扇形OE

30、G434320.【答案】解：(1) ABC，DCE均为等边三角形， BC=AC，CD=CE，BCA=DCE=60， BCA+ACD=DCE+ACD，即BCD=ACE， 在ACE和BCD中，AC=BC,BCD=ACE,CD=CE, ACEBCD(SAS)， AE=BD.(2)成立；如图： ABC，DCE均为等边三角形， BC=AC，CD=CE，BCA=DCE=60， BCA+ACD=DCE+ACD，即BCD=ACE， 在ACE和BCD中，AC=BC,BCD=ACE,CD=CE, ACEBCD(SAS)， AE=BD【考点】全等三角形的性质与判定等边三角形的性质【解析】（1）根据等边三角形边长相等

31、的性质和各内角为60的性质可求得BCDACE，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE=BD（2）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同【解答】解：(1) ABC，DCE均为等边三角形， BC=AC，CD=CE，BCA=DCE=60， BCA+ACD=DCE+ACD，即BCD=ACE， 在ACE和BCD中，AC=BC,BCD=ACE,CD=CE, ACEBCD(SAS)， AE=BD.(2)成立；如图： ABC，DCE均为等边三角形， BC=AC，CD=CE，BCA=DCE=60， BCA+ACD=DCE+ACD，即BCD=ACE， 在ACE和BCD中，AC=BC,BCD=ACE,CD=CE

32、, ACEBCD(SAS)， AE=BD21.【答案】解：（1）在RtABD中，BD=AB2+AD2=8 BO=AO=12BD=4=AB AOB为等边三角形；（2）SBOC=12SABC=14AB×BC=43【考点】等边三角形的判定【解析】（1）我们要活用勾股定理求出BD的长度，BD的长度求出后，即可推出AOB为等边三角形（2）因为SBOC=12SABC，即求出ABC的面积就可求出BOC的面积【解答】解：（1）在RtABD中，BD=AB2+AD2=8 BO=AO=12BD=4=AB AOB为等边三角形；（2）SBOC=12SABC=14AB×BC=4322.【答案】解：(1

33、) A，B关于原点对称， B(2,0). AB=22. ABC为等边三角形， OC=3OA=6， C(0,6).(2) AB=22， CABC=3AB=62. OC=6， SABC=12AB×OC=23.【考点】三角形的面积关于原点对称的点的坐标含30度角的直角三角形等边三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1) A，B关于原点对称， B(2,0). AB=22. ABC为等边三角形， OC=3OA=6， C(0,6).(2) AB=22， CABC=3AB=62. OC=6， SABC=12AB×OC=23.23.【答案】 A80， ABC+ACB100， ABC与ACB的角平分线相交于点D， DBCABCACB， DBC+DCB10050， BDC180(DBC+DCB)18050130； BE平分ABC，EC平分ACF， EBCABCACF， ACF是AB错的外角， AACFABC， ECF是BCE的外角， EECFEBCACF(ACFABC)； C