证券投资-第5章

1、第五章第五章 因素模型因素模型(Factor Model)和套利定价理论（和套利定价理论（APT）寻隐者不遇寻隐者不遇 只在此山中， 云深不知处梦游天姥吟留别梦游天姥吟留别 海客谈瀛洲， 烟涛微茫信难求。Because You LivenStaring out at the rain with a heavy heart Its the end of the world in my mind Then your voice calls me back like a wake up call Ive been looking for the answer Somewhere I couldnt

2、see that it was right there But now I know what I really know 因为你的存在因为你的存在n带着一颗沉重的心注视着雨 我想着这就是世界尽头了不久，你的声音唤回了我，就像晨钟一样把我唤醒 我一直在寻找答案 某个地方我不能看清它是否就在那 但是我知道，我真的知道 例子：市场模型n假如市场上存在三种股票，具有以下的期望回报率和对市场因素的敏感度：n n股票115%0.9n股票221%3.0n股票312%1.8n何得到因素敏感度n如何度量风险n是否存在套利机会，如果存在，哪些量会变化，怎样变化n如果只有其中的两种证券，是否存在套利机会主要内容n

3、风险n系统风险与非系统风险n因素模型n单因素模型n多因素模型n（几乎）套利机会n套利定价n因素模型的应用1. 系统风险与非系统风险n什么是风险n不能预测的就是风险这里 =在给定的时间区间，证券 i 的回报率 =在同一时间区间，市场指标 I 的回报率 =截矩项 =斜率项 =公司特有风险，满足iIIiIiIirrirIriIiIiI0iIE0,IiIrCov0,jIiIrCov例子：市场模型例如：市场指标 I 为上证指数n万科A = 0.0182+ 0.8815 + n山东黄金r万科IrI万科 = 0.0124 + 0.684 + r山东黄金IrI山东黄金回报率的期望部分与非期望部分n市场模型可以

4、表示为回报率的期望部分与非期望部分iIIIiIIiIiIirrrriIIIiIirrr什么是风险n回报率的期望部分n风险：回报率的非期望部分iIIIiIrrir什么是风险n期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者所了解的影响回报率的全部因素。n回报率的非期望部分才是投资的真正风险信息和新闻n信息 = 期望部分 +非期望部分 nThe expected part of any information is part of the information the market uses to form the expectation of t

5、he return on the stock.nThe surprise is the news that influences the unanticipated return on the stock. n当我们说到新闻，我们指信息的非期望部分，而信息的期望部分已在回报率里得到体现新闻和风险n新闻如果是与整个系统有关，导致系统风险n经济系统中的某些共同因素影响几乎所有的公司n商业周期、利率、GDP增长率、技术进步、劳动和原材料的成本、通货膨胀率n这些变量不可预期的变化（新闻）将导致整个证券市场回报率的不可预期变化n新闻如果是与单个证券有关，导致非系统风险系统风险与非系统风险n因此，资产回报

6、率风险能分解成两个根源:nA small number of common factors which proxy for economic events that affect almost all assets.nchanges in interest rates, inflation, and productivity.nThese represent systematic risk, which cannot be diversified away.nA risk component that is unique to the asset.nnew product innovation

7、s, changes in management, lawsuits, labor strikes, etc.nThese are Non-systematic idiosyncratic, or firm-specific risk, which typically is diversifiable.因素模型n我们称这些把资产回报分解成两部份的模型为因素模型（factor models）.n这里n表示实际月回报率n 表示期望回报率n 表示回报率的非期望部分URRRRU例子：万科公司股票的下一个月回报率n回报率的非期望部分由下一个月内显示的新闻导致，例如n国家新的房地产调控政策n银监会新的银行

8、监管政策n国家新的经济刺激计划n万科获得新的黄金地段的土地审批n王石？n例子：万科公司股票的下一个月回报率n这里n 由于系统原因导致的回报率的非期望部分n 由于非系统原因导致的回报率的非期望部分mRURRm 0mE 0E例子：万科公司股票的下一个月回报率系统风险与非系统风险n风险=没有预期到原因导致的非期望部分n= systematic risk + non-systematic riskn= non-diversifiable risk + diversifiable riskn= market risk + unique or firm-specific risk因素模型n定义定义1：因素

9、模型：因素模型（或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因素或者指标的运动有关的经济模型。n由于在实际中，证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响，所以，在估计证券的期望回报率、方差以及协方差的准确度方面，多因素模型比市场模型更有效。因素模型n 作为一种回报率产生过程，因素模型具有以下几个特点。n第一，因素模型中的因素应该是系统影响所有证券价格的经济因素。n第二，在构造因素模型中，我们假设两个证券的回报率相关一起运动仅仅是因为它们对因素运动的共同反应导致的。n第三，证券回报率中不能由因素解释的部分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关，也与因素的运动无关。因素模型n因素模型

10、在证券组合管理中的应用n在证券组合选择过程中，减少估计量和计算量n刻画证券组合对因素的敏感度因素模型n如果假设证券回报率满足因素模型，那么证券分析的基本目标就是，辨别这些因素以及证券回报率对这些因素的敏感度。因素模型n注意：市场模型与SML的区别n市场模型是统计模型， SML是理论结果n市场模型描述实现回报率， SML描述期望回报率2.单因素模型n把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的。n例如，国内生产总值GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素。 n如果GDP增长率是因素，股票的回报率与GDP增长率之间的关系

11、可以表示如下n n这里n =股票的回报率,n =GDP的增长率,n =股票回报率的特有部分,n =A对GDP的增长率的敏感度,n =有关GDP的零因素。rabGDPerGDPeba例子：国内生产总值GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素n一旦因素确定，如何确定参数例子：国内生产总值GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素n表表1 因素模型数据因素模型数据n年份 GDP增长率 Haier股票回报率n1 5.7% 14.3%n2 6.4 19.2n3 7.9 23.4n4 7.0 15.6n5 5.1 9.2n6 2.9 13.0n4%trtGDP%0 .136r%2 . 36e%9 . 26G

12、DPn图1中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示证券Haier的回报率。图上的每一点表示表1中，在给定的年份， Haier的回报率与GDP增长率的关系。通过线性回归分析，我们得到一条符合这些点的直线。这条直线的斜率为2，说明Haier的回报率与GDP增长率有正的关系。GDP增长率越大， Haier的回报率越高。n写成方程的形式， Haier的回报率与GDP增长率之间的关系可以表示如下n n这里n = Haier在 t 时的回报率,n =GDP在 t 时的增长率,n = Haier在 t 时的回报率的特有部分,n = Haier对GDP的增长率的敏感度,n =有关GDP的零因素。tttebGDPa

13、rtrtGDPteba例子：国内生产总值GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素n 在图1中，零因素是4%，这是GDP的增长率为零时， Haier的回报率。 Haier的回报率对GDP增长率的敏感度为2，这是图中直线的斜率。这个值表明，高的GDP的增长率一定伴随着高的Haier的回报率。如果GDP的增长率是5%，则A的回报率为14%。如果GDP的增长率增加1%为6%时，则Haier的回报率增加2%，或者为16%。例子：国内生产总值GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素n在这个例子里，第六年的GDP的增长率为2.9%， Haier的实际回报率是13%。因此， Haier的回报率的特有部分（由

14、给出）为3.2%。给定GNP的增长率为2.9%，从Haier的实际回报率13%中减去9.8%，就得到Haier的回报率的特有部分3.2%。te例子：国内生产总值GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素n从这个例子可以看出， Haier在任何一期的回报率包含了三种成份：n1在任何一期都相同的部分（ ）n2依赖于GDP的增长率，每一期都不相同的部分n（ ）n3属于特定一期的特殊部分（ ）。atbGDPte例子：国内生产总值GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素n单因素模型n n n这里n1任意证券 i 的随机项 与因素不相关;n2任意证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关。iiiieFbar

15、ieieje单因素模型单因素模型n假设1说明，因素具体取什么值对随机项没有影响。而假设2说明，一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于因素对它们的共同影响导致的。如果任何假设不成立，则单因素模型不准确，应该考虑不同的因素模型。n 对于证券 i 而言，其回报率的均值n这时n iiirab Fiiiirrb FFe单因素模型n 对于证券 i 而言，其回报率的方差为n n例子2222eiFiib单因素模型n定义定义2： 我们称(5)式中的 为因素风因素风险险； 为非因素风险非因素风险。n对于证券 i 和 j 而言，它们之间的协方差为n 22Fib2ei2Fj

16、iijbb单因素模型n单因素模型具有两个重要的性质。n第一个性质，单因素模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量。n第二个性质与风险的分散化有关。n 分散化导致因素风险的平均化。n 分散化缩小非因素风险。2222ePFPPbNiiiPbb1NieiieP1222单因素模型nKey assumption: the residuals are uncorrelated across assets.nThis means that they are truly firm-specific or unique risks, and hence are diversifiable.nRea

17、listically, however, arent there other sources of risk that affect a group of assets, which are not picked up by an assets sensitivity to the market?nex: interest rate changes.单因素模型nChanges in interest rates affect the return on Haier, as well as almost all assets in the economy.nSome of these effec

18、ts will be accounted for by the market factor, but not all.nThus, the remaining effects show up in the residual of Haier.nBut, because interest rate changes are not “firm specific, and cannot be diversified away, we can no longer view the residuals as diversifiable risk.nSo, how can we account for t

19、his common factor?单因素模型n单因素模型的通常表达形式：对时间t 的任何证券 i 有n n ittiiiteFbar单因素模型n这里， 是因素在时间 t 的值，对在时间 t 的所有的证券而言，它是相同的。 是证券 i 对因素 的敏感度，对证券 i 而言， 不随时间的变化而变化。 是证券 i 在时间 t 的回报率的特有部分。这是一个均值为0，标准差为 ，且与因素 无关的随机变量，我们以后简称为随随机项机项。tFibtFibiteeitF3 多因素模型多因素模型n经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景，因此，对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响。但是，经济并不

20、是一个简单的单一体，用单一的因素来刻画整个经济显然是不准确的。多因素模型n一般来说，下面的几种因素会对整个经济产生普遍的影响。n1GDP的增长率n2短期国库券的利率水平n3 长短期国债的收益率之差n4. 公司债与国债的收益率之差n5. 通货膨胀率n6. 石油价格n7. 技术进步n两因素模型，即，回报率生成过程包括两个因素。n在 t 时的两因素模型方程为：n n这里 和 是影响证券回报率的主要因素， 和 是证券 i 对两因素的敏感度。 是随机项，而 是零因素回报率。ittitiiieFbFbar2211tF1tF21ib2ibiteia3.1 两因素模型n例子例子n表表2 因素模型数据因素模型数

21、据n年份 GDP增长率 通货膨胀率 A股票回报率n1 5.7% 1.1% 14.3%n2 6.4 4.4 19.2n3 7.9 4.4 23.4n4 7.0 4.6 15.6n5 5.1 6.1 9.2n6 2.9 3.1 13.0trtGDPtINF%9 . 2tGDP%1 . 3tINF%8 . 5a%136r%0 . 36en证券B的回报率受GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响。图中的每一点描述了在特定的一年，证券B的回报率、GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系。通过线性回归，可以确定一个平面，使得图中的点符合这个平面。这个平面的方程为tttteINFbGDPbar21n平面在GDP增

22、长率方向的斜率（=2.2）表示证券B的回报率对GDP增长率变化的敏感度。n平面在通货膨胀率方向的斜率（=0.7）表示证券B的回报率对通货膨胀率变化的敏感度。n敏感度符号说明，当预期GDP增长率或者通货膨胀率增加时，证券B的回报率相应地增加或者减少。n平面的截距表示B的零因素回报率为5.8%。nB的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部分。例如，B在第六年的随机项为3%。n两因素模型如下：n n这里假设：n1证券的随机项与因素不相关，n2证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关。iiiiieFbFbar2211ieje两因素模型两因素模型n期望回报率n方差n协方差n回报率表示成期望部分

23、和非期望部分iiiiieFFbFFbrr222111两因素模型n两因素模型具有单因素模型的重要性质。n1有关证券组合前沿的估计量和计算量大大减少。n2分散化导致因素风险的平均化。n3分散化缩小非因素风险。多因素模型n多因素模型n通常形式n不同形式n其中n例子itktiktitiiieFbFbFbar2211itktiktitiiieFDbFDbFDbrr2211itititFFFDn何谓套利机会？最简单的说法是，不花钱就能挣到钱。具体地说，有两种类型的套利机会。n如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付（不管是正的还是负的），我们称这种投资为第一类的套利机会第一类的套利机会。n

24、如果一种投资有非正的成本，但在将来，获得正的收益的概率为正，而获得负的收益（或者说正的支出）的概率为零，我们称这种投资为第二类的套利第二类的套利机会机会。4 套利机会n任何一个均衡的市场，都不会存在这两种套利机会。如果存在这样的套利机会，人人都会利用，从而与市场均衡矛盾。所以我们假设市场假设市场上不存在任何套利机会上不存在任何套利机会。n套利活动是现代有效证券市场的一个关键原因。n每个投资者都会充分利用套利机会n只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会套利机会n近似的套利机会（almost arbitrage)：风险性质类似的证券组合，其价格、回报率也应该接近。在因素模型这一框架中，因素敏感

25、度相等时，在非因素风险可以忽略不记时，价格、回报率行为应该一致，否则存在近似套利机会。近似套利机会n假设假设1：市场是完全竞争的、无摩擦的。n假设假设2：投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时，他们会构造套利证券组合来增加自己的财富。n假设假设3：所有投资者有相同的预期：任何证券 i 的回报率满足因素模型：5 套利定价理论(APT)n n这里，n =证券 i 的随机回报率，n =证券 i 对第 j 个因素的敏感度，n =均值为零的第 j 个因素，n =证券 i 的随机项。 ikikiiiieFbFbFbrEr2211irijbjFie5 套利定价理论(APT) n假设假设4： ， 与所有因素

26、不相关且 n假设假设5：市场上的证券的种类远远大于因素的数目 k 。0ieEie0,jieeCov套利定价理论(APT)n因素模型说明，所有具有等因素敏感度的证券或者证券组合，除非因素风险外，其行为是一致的。因此，所有具有等因素敏感度的证券或者证券组合的期望回报率（或者说价格）是一样的。否则，就存在几乎的套利机会，投资者就会利用它们，直到消除这些套利机会。这就是APT的实质。套利定价理论(APT)n定义：定义：如果一个证券组合满足下列三个条件：n1初始成本为零；n2对因素的敏感度为零：n3期望回报率为正。n我们称这种证券组合为套利证券组合套利证券组合。套利定价理论(APT)n 注：注：严格的说

27、，套利证券组合应该具有零的非因素风险。但是，APT假设通过分散化，这种风险非常小，以至可以忽略。套利定价理论(APT)n假如市场上存在三种股票，每个投资者都认为它们满足因素模型，且具有以下的期望回报率和敏感度：n i n股票115%0.9n股票221%3.0n股票312%1.8irib例子：单因素模型n假设某投资者投资在每种股票上的财富为4000元，投资者现在总的投资财富为12000元。例子：n首先，我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合。显然，一个套利证券组合 是下面三个方程的解：n初始成本为零：n对因素的敏感度为零：n期望回报率为正：321,032321012.02

28、1.015.0321例子：例子：n满足这三个条件的解有无穷多个。例如，=(0.1,0.075,0.175)就是一个套利证券组合。n这时候，投资者如何调整自己的初始财富12000元例子：n对于任何只关心更高回报率而忽略非因素风险的投资者而言，这种套利证券组合是相当具有吸引力的。它不需要成本，没有因素风险，却具有正的期望回报率。例子：n套利证券组合如何影响投资者的头寸n 在上面的例子，因为(0.1,0.075,0.175)是一个套利证券组合，所以，每个投资者都会利用它。从而，每个投资者都会购买证券1和2，而卖空证券3。由于每个投资者都采用这样的策略，必将影响证券的价格，相应地，也将影响证券的回报率

29、。特别地，由于购买压力的增加，证券1和2的价格将上升，而这又导致证券1和2的回报率下降。相反，由于销售压力的增加，证券3的价格将下降，这又使得证券3的回报率上升。例子：n这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止。此时，证券市场处于一个均衡状态。在这时的证券市场里，不需要成本、没有因素风险的证券组合，其期望回报率必为零。n无套利时，三种证券的期望回报率 和因素敏感度 满足，对任意组合 ，如果03210332211bbbirib321,例子：n则必有n n无套利时，必存在常数 和 ，使得下面的式子成立0332211rrr01iibr10例子：n 刻画均衡状态的常数一组可能值为 =

30、8%， =4%。这将导致证券1、2、3的均衡回报率为11.6%, 20.0%, 15.2%.01例子：n下图说明了套利定价关系。在市场无套利时，所有的证券都落在套利定价线上。常数 的一个自然解释是，它表示市场无套利时因素的风险酬金。而 表示无风险利率。1001iribBrSrBSn如何求1例子：n假如市场上存在四种股票，每个投资者都认为它们满足因素模型，且具有以下的期望回报率和敏感度：n i n股票115%0.92.0n股票221%3.01.5n股票312%1.80.7n股票48%2.03.2ir1ib2ib例子：二因素模型n假设某投资者投资在每种股票上的财富为5000元，投资者现在总的投资财

31、富为20000元。例子：二因素模型n首先，我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合。 显然，一个套利证券组合 是下面四个方程的解：n初始成本为零：n对因素的敏感度为零：n n期望回报率为正：4321,043210432108.012.021.015.0432102.37.05.124321例子：二因素模型n满足这四个条件的解有无穷多个。例如，=(0.1, 0.088, 0.108, -0.08)就是一个套利证券组合。n这时候，投资者如何调整自己的初始财富20000元例子：二因素模型n因为，(0.1, 0.088, 0.108, -0.08)是一个套利证券组合，所以，每个投资

32、者都会利用它。从而，每个投资者都会购买证券1和2，而卖空证券3和4。由于每个投资者都采用这样的策略，必将影响证券的价格，相应地，也将影响证券的回报率。特别地，由于购买压力的增加，证券1和2的价格将上升，而这又导致证券1和2的回报率下降。相反，由于销售压力的增加，证券3和4的价格将下降，这又使得证券3和4的回报率上升。例子：二因素模型n这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止。此时，证券市场处于一个均衡状态。在这时的证券市场里，不需要成本、没有因素风险的证券组合，其期望回报率必为零。n无套利时，四种证券的期望回报率 和因素敏感度 ，对任意组合 ， 如果0432104413312

33、21111bbbbir21,iibb4321,0442332222112bbbb例子：二因素模型n则必有n n n无套利时，必存在常数 ， ， ，使得下面的式子成立044332211rrrr0122110iiibbr2例子：二因素模型n 刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%， =4%， =-2% 。这将导致证券1、2、3、4的均衡回报率为7.6%, 17%, 13.8%, 9.6%.012例子：二因素模型n如何求 ，12例子：二因素模型n选择证券组合 ，使其成本为0n回报率为ikikiiiiiiipFbFbrr1101niiniiie1Tn,1一般情形n为了得到无风险的证券组合，我们必须消除

34、因素风险和非因素风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：n1）所选的每个权充分小；n2）所包括的证券种类尽量多；n3）对每个因素而言，证券组合的因素敏感度为零。一般情形n 用数学式子表示，这些条件是n n 是一个很大的数 n对每个因素而言， n n ni1n0iikib一般情形n因为随机项是独立的，由大数定律，当 越来越大时，随机项的加权和趋向于零。换言之，通过分散化，不需要花任何成本就能消去非因素风险。因此，我们得到n nikikiiiiiiipFbFbrr11一般情形n在形式上看起来，这是一个随机量。但是，由(6.26)式，证券组合的每个因素敏感度为零，所以，所有的因素风险为零。由于

35、我们选择的权消除了所有的风险，最后，证券组合的回报率变成了一个常数。(6.27)式变成了n iiiprr一般情形n在我们构造的证券组合的过程中，投资者既不需要成本，也不承担风险，如果构造的证券组合的回报率不为零，它就是一个套利证券组合，当市场达到均衡时，这是不可能的。因此，满足条件(6.24)-(6.26)的证券组合，其回报率一定为零，即，n (6.29)0iiiprr一般情形n证券市场无套利时，证券的期望回报率和因素敏感度满足下列性质：n对任何向量 ，n如果它既垂直于单位常向量，n又垂直于每个因素敏感度向量，n则它一定垂直于期望回报率向量，n由Farkas引理，期望回报率向量一定可以表示成单

36、位常向量和因素敏感度向量的线性组合，即，存在个 k+1 常数，使得n n (6.30)Tn,1ikkiibbr110一般情形6 因素模型在投资组合策略中的应用n投资组合构建的决策n因素模型对系统风险进行了细分，使得投资者容易接受，而且又能够测量每项资产对各种系统因素的敏感系数，因而可以使得投资组合的选择更准确，对实际的组合策略更具有指导意义。n投资组合的构建策略，首要的是选择一个自己最愿意接受的风险水平，其次是通过恰当的交易，使得组合达到预定的位置。 例子n假设影响证券收益的系统因素是通货膨胀的意外发生和工业生产率的意外发生。IPAUB117. Comments on APTnStrength

37、 and weaknesses of APTnThe model gives a reasonable description of return and risk.nFactors seem plausiblenNo need to measure market portfolio correctlynModel itself does not say what the right factors arenFactors can change over timenEstimating muti-factor models requires more data.nAPT与CAPM的区别nAPT

38、 is based on the factor model or returns and the approximate arbitrage argumentnCAPM is based on investors portfolio demand and equilibrium arguments.nDifference between APT and Arbitrage free pricingnAPT uses “approximate arbitrage” to approximately price (almost) all assetnArbitrage free pricing u

39、ses strict arbitrage to price assets that can be replicated exactly. (e.g. option pricing)nAll factor models are based on the assumption that securities with similar exposures to specific factors will exhibit similar investment behavior. The factor-model builder must translate this basic concept int

40、o practice. The process of constructing factor models is far from an exact science. Although certain statistical tests can be applied to gauge the explanatory power of a particular factor model, the model builder retains wide latitude to include or exclude potential factors.8 APT 的应用nThe implementat

41、ion of APT involves three steps:nIdentify the factornEstimate factor loadings of assetsnEstimates factor premia8.1 因素的识别因素的识别n要利用APT来定价，首先必须辨别市场中重要的因素的类别。因为理论本身并没有告诉我们因素是什么，所以我们需要通过经验来构造因素。因素的识别因素的识别n指导原则n因素个数应该比较小n应该解释任何风险充分分散证券组合的回报率风险n应该能够解释整个超额回报因素的识别因素的识别n一般利用宏观经济变量。经验证明，这些因素应该具有以下特征：n（1）它们应该包含表明总的经济行为的指标；n（2）它们应该包含通货膨胀；n（3）它们应该包含某种利率。n直观上来说，因为股票的价格应视为将来红利的折现值，而将来的红