复变函数 第一章 华科大

1、 通知通知一一 以班为单位买练习册（每册五元）以班为单位买练习册（每册五元） 时间地点：本周周一周六（上午，下午，晚上）；时间地点：本周周一周六（上午，下午，晚上）； 科技大楼南楼科技大楼南楼609；二二 每周一次答疑每周一次答疑 时间地点：周二晚上时间地点：周二晚上7:009:30； 科技大楼科技大楼南楼南楼813；三三 结业成绩分配结业成绩分配 平时成绩（作业）平时成绩（作业）20%；期末考试（闭卷）成绩；期末考试（闭卷）成绩80%引引 言言 在十六世纪中叶，在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次在研究一元二次方程方程 时引进了复数时引进了复数。他发现

2、这个方程没有根，并他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为把这个方程的两个根形式地表为 。在当时在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的被认为是没有意义的，不能接受的“虚数虚数”。直到十七与十八世纪。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大

3、家所熟知的的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式公式 揭示了复指数函数与三角函数之揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到间的关系。然而一直到C.Wessel ( (挪威挪威. .1745-1818) )和和R.Argand( (法国法国. .1768-1822）将复数用平面向量或点来表示将复数用平面向量或点来表示，以及，以及K.F.Gauss (德国德国1777-1855)与与W.R.Hamilton (爱尔兰爱尔兰1805-1865)定义复数定义复数 为一对有序实数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，的长久疑虑，

4、“复变函数复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。发展。1040 xx515515与cossinieiaib本堂课的思考与要点：本堂课的思考与要点： 1.复数与实数的本质区别；复数与实数的本质区别； 2.两复数相等的充要条件；两复数相等的充要条件； 3.复数辐角与辐角主值的定义；复数辐角与辐角主值的定义； 4.习惯用模与辐角进行基本运算。习惯用模与辐角进行基本运算。 复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中是解决诸如流体力

5、学，电磁学，热学弹性理论中平平面问题面问题的有力工具的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展推广和发展 。第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.11.1复数及其表示法复数及其表示法 一对有序实数一对有序实数（ ）构成一个构成一个复数复数，记为，记为 .iyxzyx, 自变量为复数的函数就是复变函数自变量为复数的函数就是复变函数, , 它是本课程的研究对象它是本课程的研究对象. .由由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算, ,本章将在原有的本章将在原

6、有的基础上作简要的复习和补充基础上作简要的复习和补充; ; 然后再介绍复平面上的区域以及复变然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念函数的极限与连续性的概念, , 为进一步研究解析函数理论和方法奠为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础定必要的基础. .x, y 分别称为分别称为 Z 的的实部实部和和虚部虚部, , 记作记作x=Re(Z), y=Im(Z), .1i zxiy称为称为 Z 的共轭复数的共轭复数。与实数不同与实数不同, , 两个复数相等两个复数相等他们的实部和虚部都相等他们的实部和虚部都相等特别地，特别地，00yxiyxz1.代数形式代数形式 :iyxz复数的

7、表示法复数的表示法1)点表示点表示zxiy复复数数yz(x,y)xx0y复平面复平面实轴实轴虚轴虚轴z(x,y)XOY上点上点复平面复平面一般说来一般说来, , 任意两个复数不能比较大小任意两个复数不能比较大小. .2) 向量表示向量表示-复数复数z的的辐角辐角(argument) 记作记作Arg z= .任何一个复数任何一个复数z 0有无穷多个幅角有无穷多个幅角, ,将满足将满足 p p 0 p p 的的 0 称为称为Arg z的的主值主值, 记作0=arg z .则则Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数为任意整数)复复数数z=x+iy矢z=x+iy矢径径z z0

8、xyxyz=x+iyz22zzrxy-复数复数z的的模模|,| |,| | |,| |22zzz zyxzzyzxzrz与与x轴正向的夹角轴正向的夹角在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanargpp当当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定而幅角不确定. arctan22yxpp其中说明：当说明：当 z 在第二象限时在第二象限时，arg022zpppptan()tan()tanyxpparctanyxparctan.yxparg z与与x和和y的关系的关系:2.2.指数形式与三角形式指数形式与三角形式),(zArgzr)

9、sin(cosirzirez 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin, 可以将可以将z表示成表示成三角表示式三角表示式: :利用欧拉公式利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得得指数表示式指数表示式: :例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式. .1)122 ;2)sincos.55zizipp 解解 1)|1244.rzz在第三象限在第三象限, , 因此因此235arctanarctan.3612ppp 因此因此56554cos()sin()466iziepppiyxz2) 2

10、) 显然显然, r = | z | = 1, 又又3sincoscos,525103cossinsin.52510pppppppp因此因此31033cossin1010izieppp练习：练习：写出写出 的辐角和它的指数形式。的辐角和它的指数形式。132iz解：解：3 22argarctanarctan3,1 233zppppp 2arg22,3ArgzzkkkZppp1,rz23.izep1.21.2复数的运算复数的运算222111,iyxziyxz设设)0()()()(22222211222222121211221212121212121zyxyxyxiyxyyxxzzyxyxiyyxxz

11、zyyixxzzz1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .复数运算满足交换律复数运算满足交换律, ,结合律和分配律结合律和分配律: :1 1 . . 四则运算四则运算加减法与平行四边形加减法与平行四边形法则的几何意义法则的几何意义: :乘、除法的几何意义乘、除法的几何意义: :111izr e222izr e12()121 2iz zrr e,121 2121212rgz zr rzzArgz zAzArgz,1z2z12zz21zz,定理定理1 1 两个复数

12、乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, , 两个两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和复数乘积的幅角等于它们幅角的和. . 等式等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两边都的意思是等式的两边都是无限集合是无限集合, , 两边的集合相等两边的集合相等, , 即每给定等式左边的即每给定等式左边的一个数一个数, , 就有等式右边的一个数与之对应就有等式右边的一个数与之对应, , 反之亦然反之亦然.几何上几何上 z1z2 相相当于将当于将 z2 的的模扩大模扩大 |z1| 倍倍并旋转一个角并旋转一个角度度Arg z1 .011z2z1 2z z1r2

13、r1 2rr12112 xy1iz12z211212121zzzzrrrr例例2 2：设：设121,.zzi 求求：1 2;1 2.z zArgz z21 2;iz ziep 12,Argznpp22,2Argzmpp解：解：1 21222,Argz zArgzArgzkk m nZpp 若取若取1,k 则1,1,;nmnm 若取若取0,mn则1.k 22112211122110zzzzzzzzzzArgzArgArgzz21()2211izrezr22112211zzzzzArgArgzArgzz;按照乘积的定义按照乘积的定义, , 当当z10时时, , 有有定理定理2 2 两个复数的商的模

14、等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商, , 两个复两个复数数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差. .2 2 . . 乘方与开方运乘方与开方运算算1 1）乘方乘方cossinnninnzr erninDe Moivre 公式：cossincossinninin2 ）开方开方: 若满足，若满足，则称则称w为为z的的n次方根次方根，nwz记为记为 .nwzziArgwinArgnezew于是于是2(0,1,2,1)nwzargzkArgwnknp推得推得2122cossin(0,1,1)arg zkinnnnwzzeargzkargzkrinnkn

15、ppp从而从而几何解释几何解释：z1/n的的n个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆为半径的圆 的内接正的内接正n边形的边形的n个顶点个顶点。例例2 2 求求41. i 解解 因为因为12 cossin,44iipp 所以所以84224412 cossin,(0,1,2,3)44kkiikpppp 即即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwipppppppp四个根是内接于中心在原点半径为四个根是内接于中心在原点半径为2 21/81/8的圆的正方形的四个顶点

16、的圆的正方形的四个顶点. .2821+iw0w1w2w3Oxy练习练习 求复数求复数 的模与辐角。的模与辐角。311 ii2211ii1.31.3复数形式的代数方程与平面几何图形复数形式的代数方程与平面几何图形 很多平面图形能用复数形式的方程很多平面图形能用复数形式的方程( (或不等式或不等式) )来来表示表示; ; 也可以由给定的复数形式的方程也可以由给定的复数形式的方程( (或不等式或不等式) )来来确定它所表示的平面图形确定它所表示的平面图形. .例例3 将通过两点将通过两点z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的直线用复数形式的的直线用复数形式的方程来表示方程来表示. . 解解 通过

17、点通过点(x1,y1)与与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为的直线可用参数方程表示为121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此因此, , 它的复数形式的参数方程为它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1). (- tM平面上以平面上以 z0为中心为中心, d d ( (任意的正数任意的正数) )为半径的圆为半径的圆: : |z z0|d d 内部的点的集合称为内部的点的集合称为z0的的邻域邻域, 而称由不等式而称由不等式 0|z z0|M （ M0 ）无穷远点的邻域无穷远点的邻域M|z|+ 无穷远点的去心邻域无穷远点的去心邻域无穷远点的邻域无穷远点的邻域oxyNM

18、 设设G为一平面点集为一平面点集, , z z0 0为为G中任意一点中任意一点. . 如果存在如果存在z z0 0的的一个邻域一个邻域, , 该邻域内的所有点都属于该邻域内的所有点都属于G, , 则称则称z z0 0为为G的的内内点点. . 平面点集平面点集D称为一个称为一个区域区域, , 如果它满足下列两个条件如果它满足下列两个条件: : 设设D为复平面内的一个区域为复平面内的一个区域, , 如果点如果点P不属于不属于D, , 但在但在P的任意小的邻域内总包含有的任意小的邻域内总包含有D中的点中的点, , 这样的点这样的点P称为称为D的的边界点边界点. . D的所有边界点组成的所有边界点组成

19、D的的边界边界. . 区域的区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. .如果如果G内的每个点都是它的内点内的每个点都是它的内点, , 则称则称G为为开集开集.1) 1) D是一个是一个开集开集; ;2) 2) D是是连通连通的。就是说的。就是说D中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于 D 的一条折线连接起来的一条折线连接起来. . 区域区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域与它的边界一起构成闭区域或闭域, , 记作记作 D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在

20、正数即存在正数 M, 使区域使区域 D的每个点的每个点z都满足都满足 |z|M, 则称则称 D为为有界有界的的, , 否则称为否则称为无界无界的的. .2. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域 没有重点的连续曲线没有重点的连续曲线 C, 称为称为简单曲线简单曲线. 如果简单曲如果简单曲线线 C的起点与终点闭合的起点与终点闭合, , 则曲线则曲线 C 称为称为简单闭曲线简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b) 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集

21、个互不相交的点集, , 其中除去其中除去 C 外外, , 一个是有界区域一个是有界区域, , 称为称为 C 的的内部内部, , 另一个是无界区域另一个是无界区域, , 称为称为 C 的的外部外部, C 为它们的公共边界为它们的公共边界. . 简单闭曲线的这一性质简单闭曲线的这一性质, , 其几何直其几何直观意义是很清楚的观意义是很清楚的. .内部内部外部外部C定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 D, 如果在其中如果在其中任作任作一条简单一条简单闭曲线闭曲线, , 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于D, 就称为就称为单连通域单连通域, , 一个一个区域如果不是单连通域区域如果不是单

22、连通域, , 就称为就称为多连通域多连通域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD1.5 复变函数复变函数1. 1. 复变函数的定义复变函数的定义定义定义 设设 D 是复平面中的一个点集是复平面中的一个点集, fDzw 数数复 wf z称为复变函数称为复变函数. .其确定了自变量为其确定了自变量为x和和y的两个二元实变函数的两个二元实变函数 u ,v .因而函数因而函数 w = z2 对应于两个二元函数对应于两个二元函数: u = x2y2, v = 2xy,f xiyu x yiv x y例如例如, , 考察函数考察函数 w = z2.令令 z = x+iy, w = u+iv ,

23、则则 u+iv = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 在以后的讨论中在以后的讨论中, , D常常是一个平面区域常常是一个平面区域, , 称之为称之为定义域定义域 . . 如无特别声明如无特别声明, , 所讨论的函数均为所讨论的函数均为单值函数单值函数. .2. 2. 映射的概念映射的概念 函数函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把在几何上可以看做是把 z平面上的一个点平面上的一个点集集D(定义集合定义集合) )变到变到 w平面上的一个点集平面上的一个点集G ( (函数值集合函数值集合)的的映射映射( (或或变换变换). ). 如果如果 D 中的点中的点 z 被映射被映射 w=f

24、(z) 映射映射成成 G中的点中的点 w, 则则 w 称为称为 z 的的象象( (映象映象), ), 而而 z 称为称为 w 的的原象原象. .xuDGZzwW=f(z)vyW设函数设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 有有 u = x2y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz 1231341wwiw Im0Re01zyzxz22Im201wxywuv 如果函数如果函数( (映射映射) ) w=f (z) 与它的反函数与它的反函数( (逆映射逆映射) ) z =j j (w)都是单值的都是单值的, , 则称函数则称函数(

25、(映射映射) ) w =f (z)是一一是一一的的. . 此时此时, 我们也称集合我们也称集合D与集合与集合G是一一对应的是一一对应的.举例举例：求曲线在映射下的像求曲线在映射下的像 例题例题1 1 ?8:122zwyxC11zxiywuiv22vuivu2222,vuvyvuux81:22vu?:2bzwRzC例题例题2 2Rbwzbw2:2例题例题3 3?)2(:2zwtizC22)43()2(titiwuv34:例题例题4 4 ?: izwxyC)(ixxiwixx uv:1.6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性1.函数的极限函数的极限定义定义 设函数设函数 w = f (z

26、)定义在定义在 z0的去心邻域的去心邻域 0|z z0|0, 相应地必有正相应地必有正数数d d (e e) (0 d d r r), 使得当使得当 0 |z z0|d d 时时,有有| f (z) A |e e ,则则称称A为为f (z)当当 z趋向于趋向于z0时的时的极限极限, 记作记作Azfzz)(lim0或记作当或记作当 zz0 时时 , , f (z)A.几何意义几何意义: : xyOz0dzOuvAef(z)0lim ( )zzAf z意意味味着着：0( )zzf z当当 从从平平面面上上任任一一方方向向、沿沿任任何何路路径径、以以任任意意方方式式趋趋近近于于 时时，均均以以A为A为极极限限。等价定义：等价定义： 设设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则则0000000lim(,)lim().lim(,)xxyyzzxxyyuxyufzAv xyv运算性质：运算性质： )(lim)(lim)()(lim) 1 (000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzfzzzzzz0)(lim)(lim)(lim)()(lim) 3(0000zgzgzfzgzfzzzzzzzz当当 z0 时的极限不存在时的极限不存在例例1