机械优化设计第二章

1、第二章 优化设计的数学 模型和基本概念 2.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素 2.3 优化设计的分类优化设计的分类 2.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件 2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件主要内容教学目标1、掌握优化设计的数学模型和三大要素；、掌握优化设计的数学模型和三大要素；2、熟悉优化设计的不同分类方法及解决实际问题的步骤；、熟悉优化设计的不同分类方法及解决实际问题的步骤；3、了解等值面、梯度、了解等值面、梯

2、度、Hesse矩阵、函数的凸性等概念及矩阵、函数的凸性等概念及其性质其性质4、掌握、掌握优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件5、掌握数值迭代法及其收敛条件、掌握数值迭代法及其收敛条件教学目标教学目标:2.1 2.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型1. 分析分析实际问题，实际问题，建立建立优化设计的数学模型；优化设计的数学模型； 分析： 设计的要求（目标目标、准则）； 设计的限制（约束约束）条件； 设计的参数，确定设计变量变量。 建立：优化设计方法相应的数学模型数学模型。 2. 分析数学模型的类型，选择合适的求解方法（分析数学模型的类型，选择合适的求解方法（

3、优化算法优化算法）。）。 3. 编程上机求数学模型的最优解，并对计算的结果进行评价分析编程上机求数学模型的最优解，并对计算的结果进行评价分析 最终确定是否选用此次计算的解。最终确定是否选用此次计算的解。一一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤机械优化设计方法解决实际问题的步骤2.1 2.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型已知：轴的一端作用载荷 P=1000N，扭矩 M=100Nm；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力 w=120MPa，许用扭剪应力 = 80MPa，许用挠度 f = 0.01cm；密度 = 7.8t /m，弹性模量E=2105MPa。 分析：设计目标是轴的质量最轻 Q

4、 =1 /4 d2 l min. ；要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。 设计限制条件有5个： 弯曲强度：max w 扭转强度： 刚度： f f 结构尺寸： l 8 d 0 设计参数中的未定变量：d、l2举例：举例： 圆形等截面销轴的优化设计的数学模型圆形等截面销轴的优化设计的数学模型具体化：目标函数 Q = 1 /4 d2 l min. 约束函数 max = Pl / ( 0.1d3 ) w = M / ( 0.2d3 ) f = Pl3 / ( 3EJ ) f l 8 d 0代人数据整理得数学模型：设：X =x1, x2 T = d ,l T XR2 min. f (x

5、) = x12x2 s.t. g1(x)= 83.3 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 02.1 2.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型2举例：举例： 圆形等截面销轴的优化设计的数学模型圆形等截面销轴的优化设计的数学模型 三三. . 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 根据例子中的数学模型： X =x1, x2 T = d ,l T XR2 min. f (x) = x12x2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25

6、 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 0机械优化设计数学模型的一般形式： 设 X =x1, x2 , ,xnT min. f (x) = f ( x1, x2 , ,xn ) XRn s.t. gu(x) 0 u = 1,2,m hv (x) = 0 v = 1,2, p 设计变量 目标函数 约束函数（性能约束） 约束函数（性能约束） 约束函数（性能约束） 约束函数（几何约束） 约束函数（几何约束）（不等式约束）（等式约束）属于2维欧氏空间2.1 2.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型2.2 2.2 优化

7、设计的三大要素优化设计的三大要素一一. .设计变量：设计变量： 设计变量设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的量。 给定参数给定参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。 可以是几何参数： 例，尺寸、形状、位置 运动学参数：例，位移、速度、加速度 动力学参数：例，力、力矩、应力 其它物理量：例，质量、转动惯量、频率、挠度 非物理量： 例，效率、寿命、成本设计变量设计变量：优化设计问题有N个设计变量 x1, x2 , ,x n， 用 x i ( i = 1,2,n) 表示，是设计向量设计向量 X 的 n 个分量设计向量设计向量：用 X =x1, x2 , ,x nT 表示， 是定义在

8、 n 维欧氏空间中的一个向量 一一. .设计变量（续）设计变量（续）设计点设计点 x(k)（ x1(k), x2 (k), ,x n(k) ）： 是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。设计空间设计空间R n ： 以x1, x2 , ,x n 为坐标轴，构成 n 维欧氏实空间R n。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。X1X3X20X(1)X(2)X（1）例：右图三维空间中第1设计点 ：X(1) = x1(1), x2(1) ,x3(1) T第2设计点 ：X(2) = x1(2), x2(2) ,x3(2) T增量：

9、 X(1) = x1(1), x2(1) , x3(1) T其中： X(2) = X(1) + X(1) 即 x1(2) = x1(1) + x1(1) x2(2) = x2(1) + x2(1) x3(2) = x3(1) + x3(1)2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素 二二. .约束函数约束函数设计约束设计约束：设计变量的选择不仅要使目标函数达到最优值， 同时还必须受一定的条件限制，这些制约条件称设计约束。约束函数：约束函数：设计约束是设计变量的函数，称为约束函数。 不等式约束函数： g u(x) 0 u = 1,2,m 等式约束函数： h v(x) = 0 v = 1

10、,2, pn 问题：不等式约束能否表达成问题：不等式约束能否表达成 g u(x) 0 ？ p 为什么必须小于为什么必须小于 n ?例：有三个不等式约束 g1(x) = - x1 0 g2(x) = - x2 0 g3(x) = x12 + x22 - 1 0 再加一个等式约束 h (x) = x1 - x2 = 00X1X2g3 (x) = 0g2 (x) = 0g1 (x) = 0h(x)=0D D2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素 二二. .约束函数约束函数 （续（续1 1）约束（曲）面：约束（曲）面： 对于某一个不等式约束 g u(x) 0 中，满足 g u(x) =

11、0的 x 点的集合构成一个曲面，称为约束（曲）面。 它将设计空间分成两部分：满足约束条件 g u(x) 0 的部分和不满足约束条件 g u(x) 0 的部分。设计可行域（简称为可行域）设计可行域（简称为可行域） D D 对于一个优化问题，所有不等式约束的约束面将组成一个复合的约束曲面，包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域，称为设计可行域 。记作 D D = g u(x) 0 u = 1,2,mh v (x) = 0 v = 1,2, px2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素二二. .约束函数约束函数 （续（续2 2）可行设计点（内点）：可行设计点（内点）： 在可行域内任意一

12、点称为可行设计点，代表一个可行方案。极限设计点（边界点）：极限设计点（边界点）： 在约束面上的点称为极限设计点。 若讨论的设计点 x (k) 点使得 g u(x (k) ) = 0 ，则 g u(x (k) ) 0 称为适时约束适时约束或或起作用约束。作用约束。 非可行设计点（外点）：非可行设计点（外点）： 在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素三三. .目标函数目标函数 优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组最优解的过程。需要一个准则来评价当前设计点（解）的最优性。 这个准则包含各个设计变量，作为评价函数，一般称为目标函

13、数，也称为评价函数、准则函数、价值函数。由于评价准则的非唯一性，目标函数可以是一个单目标函数，也可以是多个称为多目标函数。单目标函数的表达式为： f (x) = f ( x1, x2 , ,x n )多目标函数的表达式为： f (x) = 1f 1(x) +2f 2(x) + +q f q (x) = 其中： f 1(x)，f 2(x)， f q (x) 代表 q 个分设计目标； 1，2， ，q 代表 q 个加权系数。)(1xfjqjj目标函数：目标函数：多目标函数：多目标函数：2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素三三. .目标函数目标函数( (续）续） 说明：说明： f (x

14、) 必须是 x 的函数， 应随设计点的变化f (x) 的值上升、下降； f (x) 应该是实函数，是可计算的。但不一定通过数学公式，还可以用其它数值计算方法计算。 f (x) 可以是有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。 例如，销轴的质量： Q=1 /4 d2 l ， 1 /4 是常数， 目标函数可简化为 f (x) = d2 l = x12x2问题：问题： f (x) 是否一定应包含所有的设计变量是否一定应包含所有的设计变量 ？ f (x) 若是越大越好，则应如何处理？若是越大越好，则应如何处理？ 分目标函数分目标函数f 1(x)，f 2(x)， f q(x) ，有些是越小越好，有些是越

15、小越好，有些是越大越好，则又应如何处理？有些是越大越好，则又应如何处理？2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素2.3 2.3 优化设计的分类优化设计的分类一一. 按模型性质分：按模型性质分： 确定型优化问题： 静态优化问题（与时间无关或忽略时间因素） 动态优化问题（随时间变化，系统响应变化） 不确定型优化问题（随机优化问题）二二. 按设计变量性质分按设计变量性质分 连续变量 离散变量 随机变量三三. 按约束情况分按约束情况分1. 按有无约束分： 无约束优化问题 约束优化问题 2. 按约束性质分： 区域约束（几何约束、边界约束） 性能约束（功能约束、性态约束）2.3 2.3 优化设

16、计的分类（续）优化设计的分类（续）四四. 按目标函数和约束函数的特性分：按目标函数和约束函数的特性分： 线性规划问题 非线性规划问题 二次规划问题 几何规划问题五五. 按目标函数的个数分：按目标函数的个数分： 单目标优化问题 双目标优化问题 多目标优化问题小小 结结n优化设计的三大要素n优化设计的数学模型n优化设计的步骤n数学模型的分类n机械优化设计问题分类 优化设计的数学模型优化设计的数学模型优化设计数学模型的一般形式： 设 x =x1, x2 , , xnT x Rn min f (x) = f ( x1, x2 , , xn ) s.t. gu(x) 0 u = 1,2,m hv (x)

17、 = 0 v = 1,2, pn（不等式约束）（等式约束） 在满足一定的约束条件下，选取设计变量，使目标函数值达到最小（或最大）。优化设计的三大要素设计变量设计变量 x （给定参数、设计空间、设计点、设计向量、离散型设计变量、连续型设计变量）目标函数目标函数 f (x) (评价函数、单目标设计、多目标设计）约束函数约束函数 gu(x)、hv(x) （区域约束、性能约束、约束面、可行域与非可行域、内点、外点、边界点、适时约束）优化设计过程框图机械优化设计设计问题：设计要求；设计参数；设计条件最优设计方案f(x*)x*按设计要求进行方案评价是否最优?建立数学模型：设计变量x目标函数f(x)约束函数

18、 gu(x) 0 (u=1,2,m) hv(x) = 0 (v=1,2,p)选用优化算法确定优选设计参数 xi(i=1,2,n)设计方案得出的实际值f(x)用满足设计条件的一组x1,x2,xn值确定设计方案否是 优化设计优化设计解决实际问题的步骤解决实际问题的步骤1. 分析实际问题，建立优化设计的数学模型； 分析： 设计的要求（目标、准则）； 设计的限制（约束）条件； 设计的参数，确定设计变量。 2. 分析数学模型的类型，选择合适的优化方法； 5. 对计算的结果进行评价分析。 3. 确定必要的数据和设计初始点； 4. 编写计算机程序，通过计算机求解并输出计算结果；目标函数和约束函数都是设计变量

19、的线性函数。 分类原则分类原则数学模型的类型数学模型的类型说明说明按数学模型中设计按数学模型中设计变量和参数的性质变量和参数的性质分分确定型模型确定型模型1设计变量和参数的取值为确定时所建立的数学模型设计变量和参数的取值为确定时所建立的数学模型2根据设计参数和系统行为（设计特性）与时间的依赖关系，可分为静态根据设计参数和系统行为（设计特性）与时间的依赖关系，可分为静态模型（常规模型）和动态模型（参数模型）。模型（常规模型）和动态模型（参数模型）。3当设计变量可取任意实数时，属于连续变量优化设计模型；当某些或全当设计变量可取任意实数时，属于连续变量优化设计模型；当某些或全部设计变量限于取整数或离

20、散值时，属于离散变量优化设计模型。部设计变量限于取整数或离散值时，属于离散变量优化设计模型。随机型模型随机型模型某些设计变量或参数具有随机性或必须考虑它们的概率分布性质所建立的某些设计变量或参数具有随机性或必须考虑它们的概率分布性质所建立的数学模型。数学模型。按目标函数和约束按目标函数和约束函数的性质分函数的性质分线性规划问题线性规划问题目标函数、约束函数都是线性函数目标函数、约束函数都是线性函数 非线性规划问题非线性规划问题目标函数、约束函数中有一个或多个是非线性函数。多数机械优化设计问目标函数、约束函数中有一个或多个是非线性函数。多数机械优化设计问题的数学模型属于非线性规划问题。又根据非线

21、性目标函数和约束函数表题的数学模型属于非线性规划问题。又根据非线性目标函数和约束函数表达式的特性不同，可将其分为：一般非线性问题、二次规划问题、可分离达式的特性不同，可将其分为：一般非线性问题、二次规划问题、可分离规划问题、几何规划问题等。这些问题在数学规划中都有其特殊的解法。规划问题、几何规划问题等。这些问题在数学规划中都有其特殊的解法。按模型中极小化的按模型中极小化的目标函数个数分目标函数个数分单目标优化问题单目标优化问题只有一个目标函数只有一个目标函数多目标优化问题多目标优化问题多个函数（多个函数（f1(x),f2(x),fq(x)） Rq按模型中约束条件按模型中约束条件数量分数量分无约

22、束优化设计问题无约束优化设计问题模型中不包含约束条件，即模型中不包含约束条件，即m=p=0时。时。虽然在工程设计问题中，不受任何约束条件限制的问题并不多见，但在约虽然在工程设计问题中，不受任何约束条件限制的问题并不多见，但在约束优化问题的解法中有一类是将约束优化问题转化为序列无约束优化问题束优化问题的解法中有一类是将约束优化问题转化为序列无约束优化问题来求解的。来求解的。约束优化问题约束优化问题模型中包含约束条件。模型中包含约束条件。优化设计数学模型的分类优化设计数学模型的分类机械优化设计的分类机械优化设计的分类分类分类示例示例参数优化参数优化设计设计方案参数优化设计方案参数优化设计支承负荷的

23、框架式底座结构方案设计支承负荷的框架式底座结构方案设计系统参数优化设计系统参数优化设计凸轮从动系统的动力学优化设计凸轮从动系统的动力学优化设计工艺参数优化设计工艺参数优化设计单工序加工时，单件生产率的优化单工序加工时，单件生产率的优化机构和机械零部件参机构和机械零部件参数优化设计数优化设计平面连杆机构参数的优化设计平面连杆机构参数的优化设计机械结构机械结构优化设计优化设计结构尺寸优化设计结构尺寸优化设计销轴结构优化设计销轴结构优化设计结构形状优化设计结构形状优化设计机床主轴结构的优化设计机床主轴结构的优化设计结构桁架拓扑优化设结构桁架拓扑优化设计计实例练习1设有一个螺旋压缩弹簧，已知载荷为F，

24、弹簧材料的剪切弹性模量为G，许用剪切应力为,许用弹簧刚度为K,弹簧的非工作圈数为n2,轴向变形量为。试设计这个弹簧使其体积最小。33211),(),(RxxxnDdTTx数学模型:dnnDxf)(41)(min212 38dDkFxmas.t.8134KnDGDKbDHb如图所示的偏置曲柄滑块机构要求机构在其工作范围 ，内实现函数:实例练习2002852252bebbebSSSSa2a3Sxya12.4 2.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础一一. 等值（线）面：等值（线）面： 对于可计算的函数 f (x)，给定一个设计点 x(k) =(x1(k), x2 (k), ,x n(k) )

25、， f (x)总有一个定值 c 与之对应；而当 f (x) 取定值 c 时，则有无限多个设计点x(i) =(x1(i), x2 (i), ,x n(i) ) （i=1,2, ）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面等值面(或等值超曲面或等值超曲面)。 当 c 取c1,c2, 等值时，就获得一族曲面族，称为等等值面族值面族。 当f (x)是二维时，获得一族等值线族等值线族； 当f (x)是三维时，获得一族等值面族等值面族； 当f (x)大于三维时，获得一族超等值面族超等值面族。)(kxc1.概念概念一一. . 等值（线）面等值（线）面 （续（续1 1）等值线的等值线的“心心” 一个一个“心心

26、”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。 多个多个“心心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。 没有没有“心心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极值点在无穷远处。2.性质性质2.4 2.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础一一. . 等值（线）面等值（线）面 （续（续2 2）等值线的形状：等值线的形状： 同心圆族、椭圆族，近似椭圆族；等值线的疏密：等值线的疏密： 沿等值线密的方向，函数值变化快； 沿等值线疏的方向，函数值变化慢。 等值线的疏密定性反应函数值变化率。 严重非线性

27、函数病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。2.4 2.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二. . 梯度梯度方向导数：方向导数： 二维问题中，f (x1,x2 ) 在 X(0) 点沿s方向的方向导数为：22)0(11)0()0(cos)(cos)()(xxfxxfsxfSfSxfSxfT,cos)()()0()0(其中：Txxfxxfxf2)0(1)0()0()(,)()(是 X(0) 点的梯度。S 为 s方向的单位向量， 。 为 S 的方向角,21,21cos,cos方向导数sff1coscos2212S为方向余弦。为梯度在方向 s 上的投影。)()0(xfSx

28、f)()0(2.4 2.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二. . 梯度（续）梯度（续）梯度的性质：梯度的性质： 梯度是 x(0)点处最大的方向导数； 梯度的方向是过该点的等值线的法线方向； 梯度是x(0) 点处的局部性质； 梯度指向函数变化率最大的方向； 正梯度方向是函数值最速上升的方向， 负梯度方向是函数值最速下降的方向。梯度：梯度： 对于 n 维问题Tnxxfxxfxxfxf )(,)(,)()()0(2)0(1)0()0(2)0(22)0(21)0()0()()()()(nxxfxxfxxfxf )()0(xf2.4 2.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础三三. Hess

29、e. Hesse 矩阵与正定矩阵与正定 njinjijikiniikkxRxxxxxfxxxfxfxfk.)(! 21)()(1,)(21)()()()()()()()()()()(! 21)()()(kkTkkTkkxxHxxxfxfxf台劳展开式台劳展开式:n n 维函数维函数 f(x) 在 x (k) 点的台劳展开式台劳展开式:二阶近似式二阶近似式：其中：增量 X (k) =x1 (k) , x2 (k) , xn (k) TTnkkkkxxfxxfxxfxf)(,.,)(,)()()(2)(1)()(2222122222212212212212)(2)()(nnnnnkkxfxxfxx

30、fxxfxfxxfxxfxxfxfxfxH梯度 Hesse 矩阵2.4 2.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础 三三. Hesse. Hesse 矩阵与正定（续）矩阵与正定（续）Hesse 矩阵的特性：矩阵的特性： 2222122222212212212212)(2)()(nnnnnkkxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxfxH是实对称矩阵。矩阵正定的充要条件：矩阵正定的充要条件：主子式 det(ait)0当主子式 det(ait) 0 时，矩阵半正定 det(ait) 0时，矩阵负定 det(ait) 0时，矩阵半负定Hesse 矩阵的正定性：矩阵的正定性：H( x* )

31、正定， 是 x* 为全局极小值点的充分条件；H( x* )半正定, 是 x* 为局部极小值点的充分条件；H( x* )负定， 是 x* 为全局极大值点的充分条件；H( x* )半负定, 是 x* 为局部极大值点的充分条件。正定的二次函数：曲面为椭圆抛物面； 等值线族为椭圆曲线族，椭圆中心为极小值点。2.4 2.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础 四四. . 函数的凸性函数的凸性凸集：凸集： 设 D 为欧氏空间 Rn 中X的集合，即 D Rn, X D，若D域内任意两个点x (1)，x (2)的连线上的各点都属于 D 域，则的集合 D 称为 Rn 内的一个凸集。否则，为非凸集。 凸函数：凸

32、函数： f (x)是定义在 n维欧氏空间中，凸集上的函数，同时x (1)D，x (2)D，0,1，当下式成立时，则称 f(x) 为定义在凸集D上的凸函数。当上式中的为时， f(x)是严格凸函数。f x(1) +(1-)x(2) f(x(1) +(1-) f( x(2) )2.4 2.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础四四. . 函数的凸性函数的凸性( (续）续）判别函数为凸函数的凸性条件：判别函数为凸函数的凸性条件： 按梯度判断凸性：设 f(x) 是定义在凸集 D上具有连续一阶导数的函数，则 f(x) 在 D上为凸函数的充要条件是：对于任意的 x (1) , x (2) D 都有 成立。

33、 按二阶偏导数判断凸性：设 f(x) 是定义在凸集D上具有连续二阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：f(x)的Hesse矩阵处处半正定。若Hesse矩阵处处正定，则f(x)为严格凸函数。凸函数的基本性质：凸函数的基本性质： 若f(x)是定义在凸集D上的严格凸函数，则f(x)在D上的一个极小点，也就是全局最小点。 凸函数的线性组合仍然为凸函数。 设x (1) , x (2)为凸函数 f(x) 上的两个最小点，则其连线上的任意点也都是最小点。)()()()1()2()1()1()2(xxxfxfxfT2.4 2.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础2.5 2.5 优化设计的最优

34、解及获得优化设计的最优解及获得 最优解的条件最优解的条件一一. 优化设计最优解优化设计最优解无约束优化设计问题最优解：无约束优化设计问题最优解：约束优化设计问题最优解约束优化设计问题最优解： 不受约束条件限制，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即最优点 x*=x1*,x2*,x n* 和最优值 f (x*)构成无约束问题最优解。 满足约束条件，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即最优点 x*=x1*,x2*,x n* 和最优值 f (x*)构成约束问题最优解。2.5 2.5 优化设计的最优解及获得优化设计的最优解及获得 最优解的条件最优解的条件二二. 有约束问题最优点的几种情况：有约束问题

35、最优点的几种情况：1. 无适时约束：无适时约束：目标函数是凸函数，可行域是凸集，则最优点是内点。相当于无约束问题的最优点。x (k)为最优点 x*的条件：必要条件：充分条件： Hesse矩阵H(x (k) )是正定矩阵2. 有适时约束，有适时约束，目标函数是凸函数，可行域是凸集，则目标函数等值线与适时约束曲面的切点为最优点，而且是全局最优点。0)()(kxf2.5 2.5 优化设计的最优解及获得优化设计的最优解及获得 最优解的条件最优解的条件3. 有适时约束有适时约束，但目标函数是非凸函数（图 a），或可行域是非凸集（图 b）：二二. 有约束问题最优点的几种情况：有约束问题最优点的几种情况：

36、则目标函数等值线与适时约束曲面可能存在多个切点，是相对的极值点，其中只有一个点是全局最优点。 从数学上定义，当从 x (k)点出发不存在一个 S 方向能同时满足： 和 时，即在x (k)点， , 则获得最优解：x (k) 为最优点 x*，f (x (k) )为最优值 f (x*)。2.5 2.5 优化设计的最优解及获得优化设计的最优解及获得 最优解的条件（续最优解的条件（续3 3）0)()(kTxgS三三. K-T (Kuhn-Tucker 库恩库恩-塔克塔克) 条件条件1. 有一个适时约束时：有一个适时约束时： 从几何上看，当从 x (k)点出发不存在一个 S 方向能同时满足： 与x(k)点

37、目标函数的负梯度方向成锐角，即沿 S 方向目标函数值下降； 与x(k)点约束函数的梯度方向成钝角，即保证 S方向上各点在可行域内。 此时，获得最优解 x (k) 为最优点 x*，f (x (k) )为最优值 f (x*)。0)()(kTxfS0),()()()(kkxgxf有适时约束时获得最优解的条件有适时约束时获得最优解的条件 相反，从 x (k)点出发，若存在一个 S 方向能同时满足： 和 ，即 时，则 x (k) 不是最优点。2.5 2.5 优化设计的最优解及获得优化设计的最优解及获得 最优解的条件最优解的条件0)()(kTxfS0)()(kTxgS 从几何上看，当从 x (k)点出发存

38、在一个 S 方向能同时满足： 与x(k)点目标函数的负梯度方向成锐角，即沿 S 方向目标函数值下降； 与x(k)点约束函数的梯度方向成钝角，即保证 S方向上各点在可行域内。 此时， x (k) 不是最优点 x*。0),()()()(kkxgxf三三. K-T (Kuhn-Tucker 库恩库恩-塔克塔克) 条件条件有适时约束时获得最优解的条件有适时约束时获得最优解的条件2.5 2.5 优化设计的最优解及获得优化设计的最优解及获得 最优解的条件最优解的条件0)()(kTxfS)()()()(22)(11)(kkkxgxgxf0, 021三三. K-T (Kuhn-Tucker 库恩库恩-塔克塔克

39、) 条件条件2. 有二个适时约束时：有二个适时约束时： x(k)成为约束最优点 x* 的必要条件为:, 0)()(1kTxgS0)()(2kTxgS)()(kxf)()(1kxg)()(2kxg 几何上 位于 和所张的扇形子空间内。即必须同时满足：有适时约束时获得最优解的条件2.5 2.5 优化设计的最优解及获得优化设计的最优解及获得 最优解的条件最优解的条件相反，不符合以上条件：0)()(kTxfS0)()(1kTxgS0)()(2kTxgS则 x (k) 点不是最优点。几何上 不位于 和所张的扇形子空间内。)()(2kxg)()(kxf)()(1kxg)()(kxf不能表达成 和的线性组合。)()(1kxg)()(2kxg三三. K-T (Kuhn-Tucker 库恩库恩-塔克塔克) 条件条件有适时约束时获得最优解的条件 设某个设计点 x (k)，其适时约束集合 ，且 为线性独立，若目标函