高等数学第四节 无穷小量比较ppt课件

1、定义定义1设设 ( x ) 和和 b ( x ) 为为( x x0 或或 x ) 两个无穷小量两个无穷小量. 假设它们的比有非零极限，假设它们的比有非零极限，cxx )()(lim ， )0( c 假设假设 c = 1，那，那么称么称 ( x ) 和和 b (x ) 为等价无穷小量，为等价无穷小量，那么称那么称 (x ) 和和 b (x ) 为同阶无穷为同阶无穷小小. 并记为并记为 ( x ) b ( x )，( x x0 或或 x ) .即即例如，在例如，在 x 0 时时 sin x 和和 5 x 都是无穷小量，都是无穷小量，且且.515sinlim0 xxx所以当所以当 x 0 时，时，s

2、in x 和和 5 x 是同阶无穷小量是同阶无穷小量.又如，由于在又如，由于在 x 0 时，时， x ，sin x，tan x， 1 - cos x，ln(1 + x) 等都是无穷小量等都是无穷小量., 1sinlim0 xxx, 1tanlim0 xxx, 121cos1lim20 xxx. 1)1ln(lim0 xxx所以，当所以，当 x 0 时，时， x 与与 sin x， x 与与 tan x，都是等价无穷小量，都是等价无穷小量，),cos1(212xx 与与x sin x，x tan x，ln(1 + x) x.,2cos12xx 即即x 与与 ln(1 + x )并且并且定义定义2

3、设设 ( x ) 和和 b (x ) 为为 x x0 (或或 x ) 时的无穷小量，时的无穷小量，0)()(lim xx 那么称当那么称当 x x0 (或或 x )时，时， ( x ) 是是 b ( x ) 的高阶无穷小量，的高阶无穷小量，例如，例如， x2, sin x 都是都是 x 0 时的无穷小量时的无穷小量, 且且， 0sinlim20 xxx所以，当所以，当 x 0 时，时， x2 是是 sin x 的高阶无穷小量，的高阶无穷小量，即即 x2 = o(sin x). 或称或称 b ( x ) 是是 ( x ) 的低阶无穷的低阶无穷小量，记为小量，记为 ( x ) = o (b ( x

4、 ) .假设它们的比的极限为零，即假设它们的比的极限为零，即 xxxxxx1sinlim1sinlim00 留意留意 不是一切无穷小量都可以比较的不是一切无穷小量都可以比较的. 比如，当比如，当 x 0 时，时，都是无穷小量，都是无穷小量，和和xxx1sin但是因为但是因为不存在不存在. 所以这两个无穷小量是不可比较的，即它所以这两个无穷小量是不可比较的，即它们之间不存在同阶或高阶的关系们之间不存在同阶或高阶的关系. 定理定理 1设设 ( x ) 1( x )，b ( x ) b1( x )，)()(lim)()(lim11xxxx . )()(lim xx 或或)()(lim11xx 且且存

5、在存在(或无穷大量或无穷大量)，)()(lim xx 那么那么也存在或也存在或(无穷大量无穷大量)， 并且并且，和和1)()(lim 1)()(lim11 xxxx 证证 由定理条件可知由定理条件可知因此有因此有 )()()()()()(lim)()(lim1111xxxxxxxx )()(lim)()(lim)()(lim1111xxxxxx .)()(lim11xx ，那那么么考考虑虑若若0)()(lim )()(lim1111 xxxx 即可仿上面的证法即可仿上面的证法 .1e)1ln(lim0 xxx计计算算例例 1 1解由于解由于 x 0 时，时，ln (1 + x) x，ex -

6、1 x，所以所以.1lim1e)1ln(lim00 xxxxxx.35tanlim0 xxx计算计算例例 2 2解由于解由于 x 0 时，时，tan 5x 5x，所以所以.3535lim35tanlim00 xxxxxx留意作等价无穷小交换时，在分子或分母为留意作等价无穷小交换时，在分子或分母为和式时，通常不能将和式中的某一项或假设干和式时，通常不能将和式中的某一项或假设干项以其等价无穷小交换，而应将分子或分母整项以其等价无穷小交换，而应将分子或分母整个地加以交换；个地加以交换； 假设分子或分母为几个因子之积，那么可假设分子或分母为几个因子之积，那么可将其中的某个或某些因子以其等价无穷小交换；

7、将其中的某个或某些因子以其等价无穷小交换； 简言之，乘积因子方可作等价无穷小量交简言之，乘积因子方可作等价无穷小量交换。换。.sincos1lim0 xxxx 计算计算例例 3 3解由于解由于 x 0 时，时，所以所以.2121limsincos1lim200 xxxxxxxx,sin,21cos12xxxx .sinsintanlim 30 xxxx 计算计算例例 4 4解解.sincoscos1sinlimsinsintanlim3030 xxxxxxxxx xxxxx200sincos1limcos1lim .2121lim1220 xxx假设直接用假设直接用 x 替代替代 tanx 及及 sinx，. 0limsinsintanlim3030 xxxx