第3章离散时间信号与系统的时域分析

1、 定定义义与与分分类类离离散散时时间间信信号号基基本本操操作作基基本本信信号号及及特特点点定定义义与与分分类类因因果果、线线性性、时时不不变变时时域域特特性性离离散散时时间间系系统统稳稳定定性性差差分分方方程程与与流流图图系系统统的的冲冲激激响响应应第三章第三章 离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析n n 3.1 数字信号数字信号n离散信号的表示离散信号的表示 一维信号一维信号 (序列序列) : 语音、心电图语音、心电图复序列：复序列： nxjnxnximre *nxjnxnximren序列的分类序列的分类实序列：实序列： x n自然产生的信号多为实序列，如语音等自然产生的

2、信号多为实序列，如语音等主要是人为构造的信号，如通信解调、双声道音频等主要是人为构造的信号，如通信解调、双声道音频等 21120000,x nnx nnNx nnNNN 双双边边序序列列：左左边边序序列列：右右边边序序列列：因因果果序序列列：的的右右边边序序列列反反因因果果序序列列：的的左左边边序序列列以时间原点为参照以时间原点为参照无限长序列：无限长序列：有限长序列：有限长序列： 12,x nNnN2 nx n 能量有限能量有限自然界是否存在能量有限的信号自然界是否存在能量有限的信号?绝对可加绝对可加(absolutely summable)序列序列有界序列有界序列(bounded sequ

3、ence)均方可均方可加加(absolutely summable)序列序列 xx nB nx n 1201NxnPx nN功率是单位时间内的能量，功率有限功率是单位时间内的能量，功率有限n信号的能量和功率信号的能量和功率非周期序列的平均功率非周期序列的平均功率能量能量周期序列的平均功率周期序列的平均功率2 xx n 21lim 21KxKnKPx nKn周期和非周期信号周期和非周期信号周期为周期为N7N x nx nkN周期周期(periodic sequence)非周期序列非周期序列(aperiodic sequence)白噪声、振荡衰减等白噪声、振荡衰减等./-nxnxnx ;/-nxn

4、xn x nxnxn x-n-xnxricantisymmetconjugate-nxn xsymmetricconjugatecacscacs22 : : *：列对称和共轭反对称两序任何复序列可分成共轭）共轭反对称序列（）共轭对称序列（n共轭对称共轭对称 2 2 eeooeoeoevenx nx -noddx n-x -n x nx n x n x nx nx -n/ x nx nx -n/实偶（）序列：实奇（）序列 ：任何实序列可分成奇偶两序列 ：* 01 Nperiodic conjugatesymmetric x nxnx N -nnNx nsymmetric sequenceperi

5、odic conjugateantisymmetric周期共轭对称（）序列：如为实数，也称为对称序列（）周期共轭反对称（）序列：* 01 2 Npcspcapcspca x nxnx N -nnNx nantisymmetric sequence x nxn xn xnx nx N -n/ xnx 如为实数，也称为反对称序列（）* 2 nx N -n/n信号的相关信号的相关如何衡量两个信号的相似度？如何衡量两个信号的相似度？ nlnynx2越小，越小，xn和和yn-l越相似越相似 nnnnlnynxlnynxlnynxlnynxl22222该项越大，该项越大，xn和和yn-l越相似越相似 nx

6、ylnynxlr互相关：互相关： nnnxylnynxlnynxlr22归一化互相关：归一化互相关：互相关越大，两信号越相似互相关越大，两信号越相似2 0 xxnxxxnxxxxrlx n x nlrx nrlrl ；自相关：自相关：自相关和互相关序列的性质自相关和互相关序列的性质yxyyxxxyrrlr00| |xxxxxrlr0| |当当l=0时，自相关序列具有最大的样本值时，自相关序列具有最大的样本值 lrlmymxlnxnylrxymnyx244121231nx321412ny-505-200204060Lag indexAmplitudenrxyxxr最大0 xxr应用：应用：基频分

7、量提取基频分量提取基音检测基音检测3.2 序列的基本运算序列的基本运算n相乘相乘 (product) nynxnw调制、加窗调制、加窗 x n y n nx n y n nn相加相加(addition) nynxnw x n y n nx ny n n背景噪声、乐器合奏背景噪声、乐器合奏n放大放大(multiplication) nAxnw x n n nAx nA调节音量调节音量n时移时移(time-shifting) Nnxnw快进、快退快进、快退1zz 1nx n 1nx nn时间反转时间反转(time-reversal) nxnw也称为折叠也称为折叠照镜子、时光倒流照镜子、时光倒流n基

8、本操作的结合基本操作的结合 3214321nxnxnxnxny x n1xn2x n1z1z1z3x n1234 y nFIR滤波器滤波器 212121210nynynxbnxbnxbny x n1x n2x n y n1yn2y n0b1b2b1a2a1z1z1z1zIIR滤波器滤波器 nMxnyngDownsampliotherwiseLLnLnxnxUpsamplingRDecimationRionInterpolatFFRFFuTTTT）：下采样（）：上采样（）：抽取（）：插值（采样转换比：，转换后的采样率为设原采样率为0,2, 0,/11上采样器（采样率扩展器）下采样器（采样率压缩器

9、） xnx ny n ux n图图2.8 基本采样率转换装置示意图 (a)上采样器 (b)下采样器LMn抽样率转换抽样率转换图图2.9 上采样过程图示图2.10 下采样过程图示3.3 典型序列典型序列?kn elsenn001n单位脉冲序列：单位脉冲序列：n时域上任何数字信号都能写成单时域上任何数字信号都能写成单位脉冲序列的线性组合位脉冲序列的线性组合22 1 1 0nxnxnxn-kkxnxkn频域上任何数字频谱都能写成单频域上任何数字频谱都能写成单位脉冲序列频谱的线性组合位脉冲序列频谱的线性组合1,0 0,nu n其他也称为开关序列也称为开关序列n单位阶跃序列：单位阶跃序列：阶跃函数与脉冲

10、函数之间的联系阶跃函数与脉冲函数之间的联系 0kknnu 1nnn cos()ox nAnn正弦序列正弦序列振幅振幅、角频率角频率、相位相位)8sin(3nnx正弦序列：离散与模拟正弦序列：离散与模拟 nnfffnxtxnxssanTtacos2cos10数字角频率：数字角频率：sff02无量纲无量纲 ?2cos0nxftftxsa问：频率采样以对0102121,3, 3,9, ?ssfHzfHzx nfHzfHzx nx nx n已知: 采样得到信号 采样得到信号问：频率：数字与模拟频率：数字与模拟x1(f)f1=1Hz采样采样Fs1 = 3Hzx1n1 =？2/3x2(f)f2=3Hz采样

11、采样fs2=9Hzx2n2=？2 /35 cos3x nn已知:问:数字频率与模拟频率？02ssfff必须已知 才行, 10205, ?31, ?3ff求求已知：已知：数字信号数字信号 ，采样频率，采样频率为为6kHz问：问：对应的模拟信号频率是多少？对应的模拟信号频率是多少？ nnxcos0002/0sffx1(f)f1=？采样采样fs1=6kHzx1n1=5 /3f1=5kHz cos(5 /3) = cos(5 /3-2 ) = cos(/3) f1=1kHz 02sff 05,6,kHzkHzf已知： 模拟信号频率为采样频率为问采样得到数字信号的角频率？恢复出的模拟信号频率 =？ nn

12、fffnxtxnxssanTtacos2cos10正弦序列是否都是周期序列？正弦序列是否都是周期序列？周期：周期：非周期：非周期：l正弦序列周期性的条件：正弦序列周期性的条件：采样频率和正弦频率有公倍数采样频率和正弦频率有公倍数 周期：数字周期与模拟周期周期：数字周期与模拟周期数字周期是模拟周期的数字周期是模拟周期的 倍倍 （T为正弦波的周期，为正弦波的周期，Ts为采样频率）为采样频率）sTT实指数序列实指数序列:nnAeAnx0，函数值递增，函数值递增0，函数值递减，函数值递减，=0，恒定，恒定n指数序列指数序列:cossincossincossinjj nj nejenjnenjn 复指数

13、序列复指数序列: j nx ne 010203040-1-0.500.51Time index nAmplitudeReal part010203040-1-0.500.51Time index nAmplitudeImaginary partnjenx)6121()6sin6(cos1216121)6121(njeeeenxnnjnnj实部：实部：njenx)4121(虚部：虚部：3.4 离散时间系统离散时间系统(Discrete-Time Systems) nyTnx nxTny将输入将输入序列序列映射成输出映射成输出序列序列的变换或算子的变换或算子n 累加器累加器(Accumulator

14、)nllxny三种不同的表示方式：三种不同的表示方式： 1nxnyny0, 10nlxynynl求和、积分求和、积分n N点滑动滤波器点滑动滤波器(N-point moving-average filter)101NkknxNny平滑数据中的随机变化平滑数据中的随机变化去噪去噪 ndnsnx 101MkknxMny线性系统线性系统 Linear Systems移不变系统移不变系统 Shift-Invariant Systems因果系统因果系统 Causal Systems稳定系统稳定系统 Stable Systems无源和无损系统无源和无损系统 Passive and Lossless Sys

15、temsn离散时间系统的分类离散时间系统的分类nxny21nynySystem线性系统线性系统 Linear System21nxnxLinear 1 12nxnxnxnynxny以下两个系统是线性系统吗？以下两个系统是线性系统吗？移不变系统移不变系统 Shift-Invariant Systemsnxny0nny若若n表示离散时间时，称为时不变系统表示离散时间时，称为时不变系统 Time-Invariant Systems0nnxShift-Invariant Systemssystem线性时不变系统线性时不变系统 Linear Time-Invariant SystemsLTI Syste

16、ms这类系统数学上容易分析和描述，这类系统数学上容易分析和描述，因此容易设计因此容易设计 NnnynyNnnxnx2121因果系统因果系统 Causal System因果系统的输入和输出需具有相同抽样率因果系统的输入和输出需具有相同抽样率输出与未来的输入无关输出与未来的输入无关 , 0, 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0, 0, 0 , 0 , 0 ,00/00/00/,32102321032102321001010101，设输入为例：上采样系统xxxxxxxxxxxxxxxxnyotherwiseLLnLnnxnnyotherwiseLLnnLnxotherwiseLLnLnxnyn

17、nxnx 因果非因果例：nxnxnxnynxnxnxny2211112121 1121112nxnxnxnyny非因果系统非因果系统输出延时输出延时因果系统因果系统输出只与过去和现在的输入有关输出只与过去和现在的输入有关输出与未来的输入有关输出与未来的输入有关稳定系统稳定系统 Stable System 如果输入有界，则输出有界如果输入有界，则输出有界（Bounded-Input，Bounded-Output，BIBO） yxBnyBnx101 Mky nx nkM例：稳定？1011 Mxxky nx nkMBBMM系统稳定系统稳定解：解：无源（无源（passive）和无损（和无损（lossl

18、ess）系统系统 nnnxny22 nnnxny22输出能量比输入能量小输出能量比输入能量小无源系统：无源系统：无损系统：无损系统：输出能量等于输入能量输出能量等于输入能量 吗？是无源系统或无损系统例：Nnxny nnnxny222为无损系统时为无源系统，当11nnh)(Tn冲激响应冲激响应系统对单位冲激信号的响应系统对单位冲激信号的响应)11(21nxnxnxny)1 1(21nnnnh例：例：求下面系统的单位冲激响应求下面系统的单位冲激响应3.5 LTI离散时间系统的时域特性离散时间系统的时域特性如何分析如何分析LTI系统的时域输入输出关系系统的时域输入输出关系？ x n y nnxT k

19、knkxnx信号分解形式：任何序列可分解成如下 kknkxTnxTny时不变 kknhkx线性 kknTkxLTI系统的时域输入输出关系系统的时域输入输出关系可以由其冲激响应完全确定可以由其冲激响应完全确定kkkhknxknhkxnhnxnyn线性卷积线性卷积n相关与线性卷积的关系相关与线性卷积的关系 () xynmmrmx n y nmx nm y nxmn y nxmy m ny nxnrxy nx nxnrxx nx nxnrxx cov( , )xynrmx n y nmx ny n互相关互相关线性卷积线性卷积 mmC nx m y nmx nm y mx ny n nxnxnxnxn

20、xnxnx3231321分配律： nxnxnxnxnxnx321321结合律： nxnxnxnx1221交换律：卷积的性质卷积的性质系统的串、并联系统的串、并联kknhkxny)( 线性卷积计算步骤：kxkvnyk kh ) 1 (khkh折叠：nzknh)()2( knhnkhnkh样本右移延时： )3(knhkx与相乘：相加 )4( 冲激响应的作用冲激响应的作用1 1、对于任意输入求系统的输出、对于任意输入求系统的输出nhnxny2、是线性离散时间系统的基本特性是线性离散时间系统的基本特性 可用于系统分析可用于系统分析语音、生物医学信号分析语音、生物医学信号分析 nhnhnh21 nhnh

21、nxnhnhnxny21212 h n12 * h nh n1hn2 h n1hnn简单的互联简单的互联 串联串联 级联（级联（Cascade Connection）逆系统逆系统 ( Inverse System)(1nh)(nx)(2nh)(nx )()()(21nxnhnhnx 21nnhnh通信系统通信系统 nhnhnxnhnxnhnxny21212 h n1 h n12 h nh n 并联并联（Parallel Connection） nhnhnh21nh2nh1nh4nh3 )(4321nhnhnhnhnh例：例：n系统稳定性与冲激响应的关系系统稳定性与冲激响应的关系 nBIBOSh

22、 n 系统为系统稳定系统稳定系统冲激响应绝对可和冲激响应绝对可和证明：(1) xkkxxkSBIBOx nx nBy nh k x nkh kx nkBh kB S 先证：系统为稳定(系统假设有界，则有(2) sgn( )0 0100 sgn( ) yykkSy nBhnifhnx nMifhnMyxk h kh k h kSB再证：系统为稳定系统假设，令其中，则有n系统因果性与冲激响应的关系系统因果性与冲激响应的关系 00h kk因果系统，冲激响应为因果序列冲激响应为因果序列 NnnynyNnnxnx2121因果系统定义：证明：证明：，则有，假设Nnnnxnx0211010010101kkk

23、knxkhknxkhknxkhny1020020202kkkknxkhknxkhknxkhny1021010201kkknxkhknxkhnyny，需要要使时成立，上式当且仅当00kkh= = 12210NNkknxkhnyNnandNnnhn有限冲激响应系统有限冲激响应系统(Finite Impulse Response，FIR)脉冲响应长度有限脉冲响应长度有限 3214321nxnxnxnxny x n1xn2x n1z1z1z3x n1234 y n流图流图？已知已知 1; 2; 3; 432143214321nxnxnxnxny求该系统的单位冲激响应求该系统的单位冲激响应响应长度有限响

24、应长度有限n无限冲激响应系统无限冲激响应系统（Infinite Impulse Response，IIR） kknhkxny冲激响应长度无限冲激响应长度无限 212121210nynynxbnxbnxbny x n1x n2x n y n1yn2y n0b1b2b1a2a1z1z1z1z流图流图？已知已知求该系统的单位冲激响应求该系统的单位冲激响应响应长度无限响应长度无限 4 . 05 . 012321212121021210bbbnynynxbnxbnxbny3.6 有限维有限维LTILTI离散时间系统离散时间系统LTILTI系统系统有几种表示方法有几种表示方法？ 差分方程差分方程 冲激响应

25、冲激响应 流图流图 传递函数传递函数差分方程差分方程反馈、反馈、预测预测 1010dlnydknxpnyNllMkkMkkNllknxplnyd00输入、输入、激励激励差分方程的参数：决定系统的特性差分方程的参数：决定系统的特性差分方程的阶数：差分方程的阶数：Max(N,M) 差分方程的系数差分方程的系数MkkNllknxplnyd00输出仅与输入有关，输出仅与输入有关，无反馈无反馈非递归系统非递归系统 ( (non-recursive) ) 321nxnxnxnxny特例一：特例一：N=0 NllMkklnydknxpny10 Mkkknxpny0差分方程的特例差分方程的特例(1)=0自反馈

26、自反馈 正正 负负 等等Nlllnydny1特例二：特例二：M0 NllMkklnydknxpny10由差分方程导出系统响应由差分方程导出系统响应取决于：输入、初始条件取决于：输入、初始条件u 迭代法迭代法 NllMkklnydknxpny10 nynynypc系统响应系统响应 = 零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应u分解法分解法（输入和初始条件的因素分开）（输入和初始条件的因素分开） NllMkklnydknxpny10l零输入：完全取决于初始状态零输入：完全取决于初始状态 l零状态：初始为零零状态：初始为零 完全取决于输入完全取决于输入=0齐次通解齐次通解)(nyc特解特解)(

27、nypLTI系统不同表示方法间的关系系统不同表示方法间的关系kknxkhny差分方程：差分方程：冲激响应冲激响应： NllMkklnydknxpny10无反馈无反馈 冲激响应有限冲激响应有限 差分差分=卷积卷积冲激响应冲激响应 FIRu 差分方程与冲激响应差分方程与冲激响应有反馈有反馈 冲激响应冲激响应无限无限 差分方程简单差分方程简单 IIR输入输入 反馈反馈 u 差分方程与流图差分方程与流图(1)z-1p1p0 xnz-1z-1p2p3z-1-d2-d1z-1-d3ynz-1延时器延时器?乘法器乘法器?加法器加法器? NllMkklnydknxpny10流图能不能简化？流图能不能简化？直接

28、直接I型型: 延时延时+ +相乘相乘 M+NM+NM+N+1流图流图？ NllNkklnydknxpny10假定：假定：M=N )(10knydknxpnxpkNkk nydnxpnSkk令令 NkknSnxpny10ACBACAB*)(*原理原理延时器延时器?乘法器乘法器?加法器加法器? N2N2N+1 2 2乘乘1 1加加 1 1乘乘1 1加加 合并是关键合并是关键u 差分方程与流图差分方程与流图(2)直接直接II型型 ; 10NkknSnxpny-d2-d1xn-d3p1p0p2p3ynz-1z-1z-1 nydnxpnSkku 两种流图的比较两种流图的比较( (M=N) ) 直接直接I型型 直接直接II型型加法器加法器 2N 2N乘法器乘法器 2