昆明理工大学材料力学第五章 轴向拉压杆的应力及变形

1、材材 料料 力力 学学第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形5-1 5-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念5-2 5-2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力5-4 5-4 拉压拉压强度条件及应用强度条件及应用5-5 5-5 轴向轴向拉压杆的变形拉压杆的变形5-6 5-6 简单拉压超静定问题简单拉压超静定问题5-3 5-3 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力5-1 5-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念工程结构及机械中常见的拉伸及压缩变形的构件：工程结构及机械中常见的拉伸及压缩变形的构件：起重机的吊缆起重机的吊缆AB图2-1-1桁架中的杆件桁架中的杆件连杆连杆

2、曲柄连杆机构曲柄连杆机构F特点：特点：连杆为直杆连杆为直杆外力大小相等外力大小相等 方向相反方向相反沿杆轴线沿杆轴线杆的变形为轴向伸长或缩短杆的变形为轴向伸长或缩短 以轴向伸长或轴向缩短为主要特征的变形形式称以轴向伸长或轴向缩短为主要特征的变形形式称为为轴向拉伸或轴向压缩。轴向拉伸或轴向压缩。拉（压）杆拉（压）杆:以轴向伸长或轴向缩短为主要变形的杆件。以轴向伸长或轴向缩短为主要变形的杆件。（1）受力特征）受力特征: 构件是直杆；作用于杆件上的外力或外力合力构件是直杆；作用于杆件上的外力或外力合力的作用线沿杆件的轴线。的作用线沿杆件的轴线。 （2）变形特点）变形特点: 杆件的杆件的主要变形主要变

3、形是沿轴线方向的伸长或缩短。是沿轴线方向的伸长或缩短。FFFF讨论讨论: 下列图中哪些是轴向拉伸杆下列图中哪些是轴向拉伸杆?F(a)F(b)FF(c)F(d)q5-2 5-2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力一、用截面法求内力一、用截面法求内力FFmn求求mn横截面上的内力横截面上的内力?截面法的步骤：截面法的步骤： 1. 1.切：切： 2. 2.取：取： 3. 3.代：代： 4. 4.平：平：mnFFN FN =FmnF x = 0FN F = 0FFN NF 从二力平衡公理可知：从二力平衡公理可知： FN、 通过轴线，所以叫通过轴线，所以叫轴力轴力， 用用FN表示。表示。NF FFkk求求

4、kk横截面上的内力横截面上的内力?kkFFNk FNk =F x = 0FFNk = 0比较两种受力后的内力及变形情况比较两种受力后的内力及变形情况?FFmnmnFFN FN =F x = 0FN F = 0杆件拉伸时，杆件拉伸时，FN 为正为正拉力（方向：离开横截面）拉力（方向：离开横截面）; ;轴力轴力FN 的正负规定的正负规定: :F F mmF FN mmF FN mm FN 为为杆件压缩时，杆件压缩时，FN 为负为负压力（方向：指向横截面压力（方向：指向横截面 ）。）。轴力轴力FN 的正负规定的正负规定:F F mmF FN mmF FN mm FN 为为用用“设正法设正法”求轴力求

5、轴力: : 先假设欲求轴力为正，解得为正是拉力，解得先假设欲求轴力为正，解得为正是拉力，解得为负是压力。为负是压力。F F mmFN F mm FN = F x = 0FN +F = 0（压力）（压力）多力杆多力杆:F5 F4 F3 F2 F1 11求求1-1横截面上的轴力。横截面上的轴力。11F3 F2 F1 FN1 x = 0FN1 + F2+ F3 F1 = 0 FN1= F1F2 F322问：问：2-2横截面上的轴力横截面上的轴力?结论：两力作用间各横截面的轴力相等。结论：两力作用间各横截面的轴力相等。二、由外力直接求内力二、由外力直接求内力任意横截面上的轴力等于截面一侧所有外力的代数

6、和。任意横截面上的轴力等于截面一侧所有外力的代数和。F5 F4 F3 F2 F1 11看左侧：看左侧：FN1= F1F2 F322FN2= F1F2看右侧：看右侧：FN1= F4+F5规定规定（对外力）：离开截面取（对外力）：离开截面取 ，指向截面取，指向截面取 。三、轴力图三、轴力图用坐标用坐标 （x，FN）来表示轴力沿杆件轴线的变化情况。来表示轴力沿杆件轴线的变化情况。 x 表示横截面的位置；表示横截面的位置； FN 表示轴力的大小。表示轴力的大小。FN图图FFN图图F F F F FxFNxFN例例1. 变截面直杆，求各段的轴力，并画出轴力图。变截面直杆，求各段的轴力，并画出轴力图。30

7、kN10kNCBAD轴力只与外力有关，轴力只与外力有关，而与杆件尺寸无关。而与杆件尺寸无关。解：解：（1 1）求各段轴力求各段轴力AB段段:11由由1-1右侧右侧FN1=30- -10=20kNBD段段:22由由2-2右侧右侧FN2= - -10kN（2 2）画轴力图画轴力图2010FN（kN）图图例例2. 等截面直杆，画轴力图。等截面直杆，画轴力图。分布载荷作用段的轴力图是斜直线。分布载荷作用段的轴力图是斜直线。AB段段:11FN1=2qaBC段段:22xFN2= qx轴力方程轴力方程解：解：（1 1）求各段轴力求各段轴力（2 2）画轴力图画轴力图2qaFN图图 ax20 F=2qa BCA

8、2aaq 例例3. 等截面直杆考虑自重，已知横截面面积为等截面直杆考虑自重，已知横截面面积为A，杆长为杆长为l，材料的容重为，材料的容重为，F=2/3Al，画轴力图。，画轴力图。 l AlF 32 解：解：（1 1）求自重沿轴求自重沿轴 线的分布力线的分布力q AlAllGq q（2 2）画轴力图画轴力图 Al32 Al31FN图图5-3 5-3 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力一、一、 横截面上的应力横截面上的应力问题：问题：1）横截面上各点处产生何种应力？）横截面上各点处产生何种应力？2）应力的分布规律？）应力的分布规律？3）应力的数值？）应力的数值？1、应力的分布规律、应力的分布规律实验

9、：实验：FFFF 各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线，但距离各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线，但距离增大了。增大了。 变形后原来的矩形网格仍为矩形。变形后原来的矩形网格仍为矩形。（1 1）变形现象：）变形现象：变形前的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。变形前的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。（2）平面截面假设：）平面截面假设：根据变形现象作假设根据变形现象作假设FFFF（3）推论）推论:无无切应变，因此横截面上没有切应力。切应变，因此横截面上没有切应力。 任意两个横截面之间各纵向纤维的伸长相同，任意两个横截面之间各纵向纤维的伸长相同，即各纵向纤维受力相等。即各纵向纤维受力相等。

10、（4）结论）结论: 横截面上只有正应力，并均匀分布，用横截面上只有正应力，并均匀分布，用s s 表示。表示。2、正应力计算公式、正应力计算公式AFN s s轴力与应力的关系：轴力与应力的关系：AAFAssdNs sFNF 注意注意: s s 的符号与的符号与FN一致，正一致，正称为拉应力，称为拉应力， 负负称为压应力。称为压应力。正应力计算公式：正应力计算公式：AFN s ss sFNF 公式的限制条件公式的限制条件: 上述计算正应力的公式对横截面的形式没有限制，但对上述计算正应力的公式对横截面的形式没有限制，但对于某些特殊形式的横截面，如果在轴向载荷作用时不能满于某些特殊形式的横截面，如果在

11、轴向载荷作用时不能满足平面假设，则公式将不再有效。足平面假设，则公式将不再有效。 试验和计算表明，该公式不能描述载荷作用点附近截面试验和计算表明，该公式不能描述载荷作用点附近截面上的应力情况，因为这些区域的应力变化比较复杂，截面上的应力情况，因为这些区域的应力变化比较复杂，截面变形较大。变形较大。该公式不能描述载荷作用点附近的应力情况。该公式不能描述载荷作用点附近的应力情况。 AFN s s公式的限制条件公式的限制条件:圣维南原理圣维南原理: 力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离不力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。

12、FFFF影响区影响区影响区影响区2F2F2F2F 例例1. 等截面直杆，已知横截面面积等截面直杆，已知横截面面积A=500mm2。(1)(1)画轴力图画轴力图; (2)(2)求各段横截面上的正应力。求各段横截面上的正应力。A 50kN 80kN 30kN B C D 解：解：（1 1）求各段轴力求各段轴力AB段段:FN1=80- -50+30 =60kNBC段段: 由由2-2右侧右侧FN2= 30- -50 =- -20kN1122由由1-1右侧右侧CD段段:33由由3-3右侧右侧FN2=30kN（2 2）画轴力图画轴力图FN（kN）图图602030横截面面积横截面面积A=500mm2。A 5

13、0kN 80kN 30kN B C D (3)(3)求各段横截面上的求各段横截面上的正应力。正应力。602030FN（kN）AFN s sAFN11 s s50010603 MPa120 AFN22 s s50010203 MPa40 AFN33 s s50010303 MPa60 二、二、 斜截面上的应力斜截面上的应力混凝土圆柱混凝土圆柱重物重物圆柱是怎样断裂的？圆柱是怎样断裂的？ 为什么圆柱会沿此斜为什么圆柱会沿此斜截面断裂？截面断裂？ 铝板的拉伸实验：铝板的拉伸实验：45o沿与轴线成沿与轴线成45o角左右的斜截面破坏。角左右的斜截面破坏。1、斜截面上应力的分布规律、斜截面上应力的分布规律

14、 变形现象变形现象: : 变形前平行的两条斜直线变形后仍变形前平行的两条斜直线变形后仍保持为直线并相互平行。保持为直线并相互平行。 推论推论: : 在相互平行的两个斜截面之间的各纵向在相互平行的两个斜截面之间的各纵向纤维的变形相同，说明斜截面上各点的应力也是均纤维的变形相同，说明斜截面上各点的应力也是均匀分布的。匀分布的。F F 实验：实验：2、斜截面上应力的计算、斜截面上应力的计算kka aF F Aa aA(1)(1) 斜截面定位：以横截面与斜截面的夹角斜截面定位：以横截面与斜截面的夹角a a 定位。定位。 (2)(2) a a 角的正负规定：从横截面转到斜截面，逆时角的正负规定：从横截面

15、转到斜截面，逆时 针转为正，顺时针转为负。针转为正，顺时针转为负。A横截面面积，横截面面积，Aa akk斜截面面积，斜截面面积，Aa a=A/cosa a 。其中其中 s s0 0 是横截面上的正应力。是横截面上的正应力。a aa aa aAFp a aa acosAFcos/AF a as scos0 F kkpa aa aFa a kkF a a斜截面上的内力（用截面法）：斜截面上的内力（用截面法）： Fa a=F 斜截面上各点应力均匀分布。斜截面上各点应力均匀分布。a as sa as sa aa a20coscosp a a a aa asinp a as s220sin a aa a

16、s ssincos0 结论：轴向拉（压）时斜截面上既有正应力，还有结论：轴向拉（压）时斜截面上既有正应力，还有 切应力。切应力。pa a kkF a as sa a a a pa a 是斜截面上任意点的全应力，通常将其分解为是斜截面上任意点的全应力，通常将其分解为正应力和切应力。正应力和切应力。 讨论讨论: （2）当当a a 00时，时， s s max= s s 0。即横截面上的正应力为最大。即横截面上的正应力为最大正应力。此时切应力为正应力。此时切应力为0 0 。pa a kkF a as sa a a aa as ss sa a20cos a as s a a220sin （1）。)(

17、),(a a a as sa aa aff s s0 0、a a 的符号代入计算。的符号代入计算。 （3）当当a a 4545o时，时， 4545o = max s s 0/2。即最大切应力发。即最大切应力发生在与轴线成生在与轴线成4545o角的斜截面上。此时正应力为角的斜截面上。此时正应力为s s 0/2 。 （4）当当a a 9090o时，时， s s a a = 0 0 ， a a 0 0。即纵截面上无任何。即纵截面上无任何应力。应力。 正应力正应力s sa a 和切应力和切应力 a a 正负号的规定：正负号的规定：（1 1）正应力）正应力s sa a ：离开截面（拉）为正，：离开截面（

18、拉）为正， 指向截面（压）为负。指向截面（压）为负。（2 2） 切应力切应力 a a ：对保留段内任一点之矩，顺时针：对保留段内任一点之矩，顺时针 转为正，逆时针转为负。转为正，逆时针转为负。 例例2. 计算阶梯状方形柱体的最大正应力，已知计算阶梯状方形柱体的最大正应力，已知载荷载荷F =50 kN。 F C BA F F 40003000370240III解：解：（1 1）画轴力图画轴力图FN（kN）50150FN1= - -50kNFN2= -1-150kN(2)(2)求各段横截面上的正应力求各段横截面上的正应力1 11AFN s s24024010503 MPa8680. 2 22AFN

19、 s s370370101503 MPa11. AB段段:BC段段:MPa11.max s s 例例3. 图示轴向受压矩形等截面直杆，其横截图示轴向受压矩形等截面直杆，其横截面尺寸为面尺寸为40mm10mm，载荷，载荷F50kN。试求斜。试求斜截面截面m-m上的正应力和切应力。上的正应力和切应力。 mmF F 40解：解：（1 1）求轴力求轴力FN= - -50kN(2)(2)求横截面上的正应力求横截面上的正应力 AFN s s104010503 MPa125 (3)(3)求求m-m斜截面上的应力，斜截面上的应力，a as ss sa a2cos a as s a a22sin 501252c

20、os MPa651. 5022125 sinMPa661. =50o5-4 5-4 拉压强度条件及应用拉压强度条件及应用一、名词介绍一、名词介绍:1. 工作应力工作应力: 杆件实际上所承受的应力。杆件实际上所承受的应力。2. 极限应力极限应力: 材料破坏时的应力。用材料破坏时的应力。用o o表示。表示。3. 许用应力许用应力:工作应力允许的最大值。用工作应力允许的最大值。用 表示。表示。nos ss s n安全因数。安全因数。1n 为保证构件能正常工作并具有足够的安全储备，为保证构件能正常工作并具有足够的安全储备，将极限应力除以一个大于将极限应力除以一个大于1 1的系数的系数n（安全系数也称（

21、安全系数也称为安全因数），便得到许用应力为安全因数），便得到许用应力 ，即，即二、二、强度条件强度条件:s ss s max或或Ns s maxAF杆内的最大工作应力杆内的最大工作应力 不得超过材料的许用应力。不得超过材料的许用应力。maxs三、三、强度条件的应用强度条件的应用:(1) (1) 强度校核强度校核 已知外力，杆件横截面的形状和尺寸，材料。已知外力，杆件横截面的形状和尺寸，材料。验算杆件是否安全。验算杆件是否安全。Ns ss s maxmaxAF(2)(2) 设计横截面尺寸设计横截面尺寸(3)(3) 确定许可载荷确定许可载荷Ns smaxFA Ns sAFmax 注意：工程上，注意

22、：工程上， 是允许的。是允许的。5s ss ss s%max 已知外力，材料，杆件横截面的形状。设计杆已知外力，材料，杆件横截面的形状。设计杆件横截面的尺寸。件横截面的尺寸。 已知杆件横截面的形状和尺寸，材料。求杆件已知杆件横截面的形状和尺寸，材料。求杆件所能承受的最大载荷。所能承受的最大载荷。 例例1.1. 已知一圆杆受拉力已知一圆杆受拉力F = =25kN，直径，直径d = =14mm，材料的材料的许用应力为许用应力为 s s = =170MPa。试校核此杆是否满足。试校核此杆是否满足强度要求。强度要求。解：解： (1)(1)求轴力求轴力FN= 25kN(2)(2)求最大的正应力求最大的正

23、应力 AFNmax s s414102523 MPa162 (3)(3)校核强度校核强度 s ss s MPa162 max故拉杆安全。故拉杆安全。 例例2. 2. 曲柄连杆机构。当连杆接近水平时，曲柄连杆机构。当连杆接近水平时，F=3780kN,=3780kN,连杆横截面为矩形，连杆横截面为矩形，h/b=1.4,=1.4,材料的许用材料的许用应力为应力为 s s = =90MPa。试设计连杆的横截面尺寸。试设计连杆的横截面尺寸h和和b。连杆连杆FFFhbF=3780kN=3780kN，h/b=1.4,=1.4, s s = =90MPa。FFhb解：解： (1)(1)求轴力求轴力FN= -

24、-3780kN(2)(2)求横截面面积求横截面面积A s ss s AFN s sNFA 390103780 23mm1042 (3)(3)求尺寸求尺寸h、b241 b.hbA m3 .Abmm245173411.4 .bh。，故故取取173mmmm245 bh 例例3 3. 两杆桁架如图所示，杆件两杆桁架如图所示，杆件AB 由两个由两个10号工号工字钢杆构成，杆字钢杆构成，杆 AC 由两个截面为由两个截面为80mm80mm 7mm 的等边角钢构成，的等边角钢构成， 所有杆件材料均为钢所有杆件材料均为钢 Q235， s s =170MPa。试确定结构的许可载荷试确定结

25、构的许可载荷 F 。F1m30ACBAB杆杆10号工字钢，号工字钢， AC杆杆80mm80mm7mm等等边角钢边角钢， s s =170MPa。试确定结构的许可载荷试确定结构的许可载荷 F 。F1m30ACB解：解： (1)(1)求轴力求轴力30FAFN2FN103012 cosFFNN0 yF 0 xF0301 FsinFNFFFFNN3221 AB杆杆10号工字钢，号工字钢， AC杆杆80mm80mm7mm等等边角钢边角钢， s s =170MPa。试确定结构的许可载荷试确定结构的许可载荷 F 。(2)(2)确定两杆的面积确定两杆的面积30FAFN2FN1查表得：查表得：21 cm7221

26、28610.A 22 cm682823414.A (3)(3)确定确定许可载荷许可载荷 F FFFFNN3221 由由AC杆杆确定确定： s ss s 1 11AF.F184.6kNN184620 F由由AB杆杆确定确定： s ss s 2 22AF.FkN5812N1052813.F 。故故取取kN6184 .F 5-5 5-5 轴向轴向拉压杆的变形拉压杆的变形 实验表明，杆件在轴向拉力或压力的作用下，沿轴实验表明，杆件在轴向拉力或压力的作用下，沿轴线方向将发生伸长或缩短，同时，横向（垂直的方向）线方向将发生伸长或缩短，同时，横向（垂直的方

27、向）必发生缩短或伸长，如所示。必发生缩短或伸长，如所示。FFll1aa1一、轴向（或纵向）变形，横向变形一、轴向（或纵向）变形，横向变形绝对变形：绝对变形： 线应变（正应变）线应变（正应变） lll-1 ll 相对变形：单位长度上的变形相对变形：单位长度上的变形; 无量纲量。无量纲量。长度变化的测量长度变化的测量1. 轴向（或纵向）变形轴向（或纵向）变形2. 横向变形横向变形aa 绝对变形绝对变形:aaa-1 横向线应变：横向线应变： 与与恒为异号恒为异号。FFll1aa1或或 - 泊松比泊松比二、泊松比二、泊松比 在线弹性范围内，横向正应变在线弹性范围内，横向正应变与轴向正应变与轴向正应变之

28、之比的绝对值是一个常数。比的绝对值是一个常数。 、与与 都是无量纲的量。都是无量纲的量。 (应力不超过比例极限应力不超过比例极限) 试验表明：试验表明： 当拉（压）杆内的正应力小于某一当拉（压）杆内的正应力小于某一极限值（极限值（比例极限比例极限）时，杆的伸长（或缩短）时，杆的伸长（或缩短）l与与轴力轴力FN及杆长及杆长l 成正比，而与横截面面积成正比，而与横截面面积A成反比。成反比。虎克定理虎克定理三、三、虎克定理虎克定理EAlFlN AlFlN （引入一比例常数得等式）（引入一比例常数得等式）E 拉、压弹性模量拉、压弹性模量;反映材料抵抗弹性变形的能力。反映材料抵抗弹性变形的能力。具有与应

29、力相同的量纲具有与应力相同的量纲, , 常用单位常用单位GPa。注意：注意：E、 是是材料固有的弹性常数。材料固有的弹性常数。EAlFlN EA 抗拉（压）刚度。抗拉（压）刚度。反映构件抵抗弹性变形的能力。反映构件抵抗弹性变形的能力。EAlFlN 变换变换 的形式：的形式：EAFll1N E1 s s s s E（虎克定理的另一表达形式）（虎克定理的另一表达形式）表明：当应力不超过比例极限时，应力与应变成正比。表明：当应力不超过比例极限时，应力与应变成正比。注意：注意：EAlFlN （1 1） ，FN 要代入符号计算。要代入符号计算。 伸长；伸长； 缩短。缩短。（2 2）FN、A或或E分段变化

30、：分段变化： iiiiiAElFllNFN或或A沿轴线连续变化沿轴线连续变化 : lilEAdxxFldlN2FFqF 例例1. 台阶形杆件受载如图所示，已知台阶形杆件受载如图所示，已知AB和和BC段段的截面面积为的截面面积为 A1=400mm2、A2=250mm2。 材料的弹材料的弹性模量为性模量为 E=210GPa。试计算。试计算AB段、段、BC段和整个杆段和整个杆件的伸长量；并计算截面件的伸长量；并计算截面C相对于截面相对于截面B的位移的位移CB以以及截面及截面C的绝对位移的绝对位移C 。F=40kN C BA BCl1 =300l2=200A1=400mm2、A2=250mm2。 E=

31、210GPa。F=40kN C BA BCl1 =300l2=200解：解： (1)(1)求轴力求轴力FN1= 40kNFN2= 40kNAB段段:BC段段:(2)(2)求各段的变形及杆的总变形求各段的变形及杆的总变形AB段段:11N11EAlFl 40010210300104033 mm1430. BC段段:22N22EAlFl 25010210200104033 mm1520. A1=400mm2、A2=250mm2。 E=210GPa。F=40kN C BA BCl1 =300l2=200FN1= 40kNFN2= 40kN(2)(2)求各段的变形及杆的总变形求各段的变形及杆的总变形mm

32、14301.l mm15202.l 总总l(3)(3)求求截面截面C相对于截面相对于截面B的位移的位移CB以及以及 截面截面C的绝对位移的绝对位移C mm15202.lCB mm2950.lC 总总mm95.2052.10143021 .ll l 例例2. 等截面直杆考虑自重，已知横截面面积为等截面直杆考虑自重，已知横截面面积为A，杆长为杆长为l，材料的容重为，材料的容重为，杆的总重为，杆的总重为G，求杆的变，求杆的变形量形量l。解：解：(1)(1)求自重沿轴线的分布力求自重沿轴线的分布力q AlAllGq q(2)(2)画轴力图画轴力图 Al x dx(3)(3)求微段求微段dx的变形量的变

33、形量 dxxA )( dxxA llEAdxxFldl0N)(EAdxxFld)()(N xAxF )(N (4)(4)求杆的总变形量求杆的总变形量 lEAxdxA0 EAlA2 2 EAGl2 四、四、桁架节点的位移计算桁架节点的位移计算变形变形：指构件的尺寸和形状的改变。：指构件的尺寸和形状的改变。位移位移：指构件上的点或者截面由于变形而引起的位：指构件上的点或者截面由于变形而引起的位 置的改变。置的改变。A问问：A截面有没有变形？有没有位移？截面有没有变形？有没有位移？ 例例3.3. 图示受力铰接三角架图示受力铰接三角架( (桁架），已知：桁架），已知：F= =9.8kN, 1, 1杆的

34、杆的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m, 2 2杆的杆的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1m 。试求节点。试求节点A的的水平及垂直位移。水平及垂直位移。A12F30解：解： (1)(1)求两杆的轴力求两杆的轴力A12F30N1FN2F03012 cosFFNN0 Y 0X0301 FsinFNFFFFNN3221 F= =9.8kN, 1, 1杆的杆的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m, 2 2杆的杆的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1mA12F30(2)(2)计算两杆的变形量计算两杆的变形量FFN32 FFN21 111N1

35、1AElFl 127102001015110892333 .mm8910. 222N22AElFl 101107010110893333 .mm42. 1112AEFl 2223AEFl (3)(3)假想打开假想打开A铰使杆件自由变形，用切线代圆弧铰使杆件自由变形，用切线代圆弧作图来确定节点作图来确定节点A的新位置的新位置A1230mm89101.l mm422.l A12301l2lA Bx y 1l2lA BCx y mm89101.l mm422.l A12301l2lA BCx y 30(3)(3)假想打开假想打开A铰使杆件自由铰使杆件自由变形，用切线代圆弧作图来变形，用切线代圆弧作图

36、来确定节点确定节点A的新位置的新位置(4)(4)计算节点计算节点A的的水平及垂直位移水平及垂直位移x 2l )( mm42 .y BCAC 303021tglsinl 3042308910tg.sin. mm945. 例例4.4. 已知已知F及及CD杆的杆的EA, ,AB杆为刚性杆。求节杆为刚性杆。求节点点A的垂直位移。的垂直位移。FABCD60aa5-6 5-6 简单拉压超静定问题简单拉压超静定问题 超静定（静不定）超静定（静不定）仅仅依靠静力平衡方程不仅仅依靠静力平衡方程不能求解所有未知力的问题（或未知力的个数大于独能求解所有未知力的问题（或未知力的个数大于独立平衡方程的个数。）立平衡方程

37、的个数。）一、基本概念一、基本概念例如：外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。例如：外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。CFABDaa12平衡方程平衡方程: :FAaaFN1FN2( (用截面法取用截面法取A A点研究点研究) )0 012 a aa asinFsinFXNN0 021 FcosFcosFYNNa aa a两个平衡方程可以求解两个未知力，属于静定问题。两个平衡方程可以求解两个未知力，属于静定问题。CFABDaa123平衡方程：平衡方程：刚才的结构，加上第刚才的结构，加上第3 3根杆，求各杆的轴力。根杆，求各杆的轴力。FAaaFN1FN3FN20 012 a aa asinFsinFXNN0

38、0321 FFcosFcosFYNNNa aa a 两个平衡方程，有三个未知力，无法求解，属于两个平衡方程，有三个未知力，无法求解，属于静不定问题。静不定问题。为什么会从静定变成静不定呢？为什么会从静定变成静不定呢？因为有了多余的约束。因为有了多余的约束。（要求解这三个未知力，必须补充方程。）（要求解这三个未知力，必须补充方程。）要通过变形的协调关系来建立补充方程。要通过变形的协调关系来建立补充方程。静不定度（次数）静不定度（次数）= =未知力的数目未知力的数目- -有效平衡方程的数目有效平衡方程的数目 例例1. 1. 设设1 1、2 2、3 3三杆用铰链连接如图，已知：各三杆用铰链连接如图，

39、已知：各杆长为：杆长为：l1=l2、 l3 =l ；各杆截面面积相等为；各杆截面面积相等为A ；各杆；各杆弹性模量相等为弹性模量相等为E。外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。解：解： (1)(1)几何关系几何关系给结构一个假象的变形位置，给结构一个假象的变形位置，找变形的谐调关系。找变形的谐调关系。CFABDaa123l求解前先作静不定次数的判定。求解前先作静不定次数的判定。CABDaa123A CABDaa123A 原则一原则一：由节点新位置作原：由节点新位置作原 杆轴线的垂线确定杆轴线的垂线确定 杆的变形量。杆的变形量。1l2l3la acosll31 变形谐调关系

40、变形谐调关系1l2l3lA 1l2l3la acosll31 变形谐调关系变形谐调关系解：解： (1)(1)几何关系几何关系(2)(2)通过物理关系，建立补充方程通过物理关系，建立补充方程a acosEAlFEAlFlNN1111 EAlFEAlFlNN3333 a aa acosEAlFcosEAlFNN31 CABDaa123l(1) 231a acosFFNN 补充方程补充方程CFABDaa123FAaaFN1FN3FN2(2) 0 012 a aa asinFsinFXNN(3) 0 0321 FFcosFcosFYNNNa aa a(3)(3)列静力平衡列静力平衡方程方程(1) 231a acosFFNN (4)(4)联立（联立（1 1）（）（2 2）（）（3 3）式求解）式求解 21NNFF 3NF注意注意: : 求解静不定问题时，求解静不定问题时，“设正法设正法”不能用，不能用， 要按要按“原则二原则二”画受力图。画受力图。原则二原则二：列静力平衡方程，画受力图时，应保证变：列静力平衡方程，画受力图时，应保证变