高等数学第二节 函数的微分法ppt课件

1、定理定理 一一 设设 u(x) u(x)、v(x) v(x) 在点在点 x x 处可导处可导, ,那么那么u(x) u(x) + v(x)+ v(x)( (或或u(x) - v(x)u(x) - v(x)在点在点 x x 处可导处可导, ,且且)()() )()(xvxuxvxu ).()() )()(xvxuxvxu 或或简记为简记为.)(,)(vuvuvuvu 证明证明则则令令),()()(xvxuxf )()()()(xxvxxuxfxxf )()(xvxu ),()()()(xvxxvxuxxu 从而从而xxfxxfx )()(lim0)()()()(lim0 xxvxxvxxuxxu

2、x xxvxxvxxuxxuxx )()(lim)()(lim00),()(xvxu ).()() )()( xvxuxvxu 所所以以).()() )()( :xvxuxvxu 类类似似可可证证定理定理 二二 设函数设函数 u(x),v(x) u(x),v(x) 在点在点 x x 处可导处可导, ,那么函数那么函数u(x)v(x)u(x)v(x)在点在点 x x 处可导处可导, ,且且).()()()() )()(xvxuxvxuxvxu 简记为简记为.)(vuvuuv 证明证明设设y = u(x)v(x). y = u(x + y = u(x + x) v(x + x) v(x + x)

3、- x) - u(x)v(x) u(x)v(x) = u(x) + u v(x) + v - u(x)v(x) = u(x) v + v(x) u + u v .,)()(limlim00 xvuxuxvxvxuxyxx,lim)( 0 xuxux 因因为为,lim)(0 xvxvx , 0lim0 ux xyx0lim所所以以,)()(limlim00 xvuxuxvxvxuxyxx,lim)( 0 xuxux 因因为为,lim)(0 xvxvx , 0lim0 ux),()()()(xvxuxvxu ).()()()() )()( xvxuxvxuxvxu 即即定理定理 三三 设函数设函数

4、 u(x),v(x) u(x),v(x) 在点在点 x x 处可导处可导, ,那么函数那么函数且且可可导导在在点点,)0)()()(xxuxuxv ,)()()()()()()(2xuxuxvxvxuxuxv 简记为简记为.)(2uvuvuuv 证明证明.)()(xuxvy 令令xxuxvxxuxxvxyxx 1)()()()(limlim00 xxuxxuxvxxuxuxxvx )()()()()()(lim0 xxuxvxxuxxvxyxx 1)()()()(limlim00 xxuxxuxvuxuxuvxvx )()()()()()(lim0)()()()(lim0 xuxxuxuxvx

5、vxux ,)()()()()(2xuxuxvxvxu .)( 2uvuvuuv 即即推论一推论一 假设假设v(x) =c, v(x) =c, 那么那么.)(uccu .)(, 0ucucuccuc 所所以以这这是是因因为为推论二推论二 假设假设v(x) =1, v(x) =1, 那么那么.)1(2uuu .运运用用定定理理三三可可推推得得上上式式例例1 1.)(tan x求求 xxxcossin)(tan解解xxxxx2cossin)(cos)(sincos .seccos122xx .csc)(cot:2xx 类类似似可可求求得得例例2 2.)(sec x求求 xxcos1)(sec解解x

6、x2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(csc:xxx 类类似似可可求求得得例例3 3.)5tan36( xax求求解解 )5tan36(xax )5()tan3()6(xax0)(tan3)(6 xax.sec3ln62xaax 例例4 4.)1(34 x求求解解 )1(34x )(34x13434 x.3437 x例例5 5.)cos( xx求求解解 )cos(xx)(coscos)(21 xxxxxxxxsincos21121 .2sin2cosxxxx 例例6 6.)ln( xx求求解一解一 )ln(xx2)(ln)(lnxxxxx .ln12x

7、x 解二解二 )ln(xx )ln(1xx )(lnln)(11xxxx.ln11ln12111xxxxxx 例例7 7).4(,11)(fxxxf 求求设设解解)11()( xxxf例例7 7).4(,11)(fxxxf 求求设设解解)11()( xxxf2)1()1()1()1)(1(xxxxx 2)1()1(21)1(21xxxxx .)1(12xx .181)4( f所以所以定理四定理四( (复合函数微分法复合函数微分法) ),),(),(处可导处可导且在点且在点若若xxuufy 且且处处可可导导点点则则处处可可导导在在对对应应点点,)(,)(xxfuuf ).()()(xufxf 简

8、记为简记为.xuxuyy 证明证明的的对对应应的的增增量量变变量量时时的的增增量量为为当当自自变变量量uxx, 则则的的对对应应增增量量为为变变量量为为,yyu ),0( uxuuyxy xuuyxyxx00limlimxuuyxx 00limlim).()(xuf ).()()( xufxf 即即.,0止述结论仍成立止述结论仍成立时时当当 u则则如果如果同理可证同理可证),(),(),(,xvvuufy .xvuxvuyy 例例8 8.),12sin(xyxy 求求设设解解所以有所以有复合而成复合而成这个函数由这个函数由,12,sin xuuy2)(cos)12()(sinuxuuyyxux

9、ux ).12cos(2 x.12 代代入入最最后后应应该该将将注注意意 xu例例9 9.,e23xxxyy 求求设设解解所以有所以有复合而成复合而成这个函数是由这个函数是由,3,e 2xxuyu )16(e)3()e (2 xxxyuxuux.e )16(23xxx 例例1010.),1sin(lnxyxxy 求求设设解解所所以以.1,sin,lnxxvvuuy xvuxvuxxxvuvuyy)1()(sin)(ln )11(cos12xvu )1sin()1cos()11(2xxxxx ).1cot()11(2xxx 例例1111.,12yxy 求求设设解解uuyxuu21)(,12 记记

10、在在头头脑脑中中将将中中间间变变量量,也也在在脑脑子子中中运运算算:这样可直接写出下式这样可直接写出下式xxxxy)1()1(212212 .)1()2()1(21212212 xxxx例例1212.,e)2(sin32xxyy 求求设设解解.一一步步一一步步地地求求对对于于较较复复杂杂函函数数求求导导可可) )2(sin3(e2)2(sin32 xyxx) )2(sine32)2(sin32 xx)2(sin)2sin(2e3)2(sin32 xxx)2()2cos(e )2sin(6)2(sin32 xxxx.e )4sin(6)2(sin32xx 例例1313.),21ln(sinxyx

11、y 求求设设解解 )21ln()21ln(cos xxyx)21(211)21ln(cos xxx).21ln(cos212xx 例例1414.,122xyxxy 求求设设解解22222222)1()1()(1)1(xxxxxxxyx 例例1414.,122xyxxy 求求设设解解22222222)1()1()(1)1(xxxxxxxyx ,11221)1(222xxxxx 1)2(111 2222xxxxxxyx 所所以以.)1( )2( 2322xxx 例例1515.),1ln(tan23yxxy 求求设设解解) )1ln(tan)1ln(tan3222 xxxxy) )1(ln()1ln

12、(sec)1ln(tan322222 xxxxxx)1(11)1ln(sec)1ln(tan3222222 xxxxxxxx).12(1)1ln(sec)1ln(tan3232222xxxxxxxx 我们来补证我们来补证.ln)( , )(1aaaxxxx 解解xxxxxxlnlnlne)ln(e)e ()( . 1 xxxaaxaaxaxaxxlne)ln(e)e ()(lnlnln .lnaax 留意留意.eeln)ln(uvuvvu 解解例例1616).(,)(, 0)(,)()()(xxgxfxfxxg 求求均均可可导导其其中中设设)()()( xgxfx )(ln)( xfxge )

13、(ln)()()( xfxgxfxg)(ln)()()(1)()()(xfxgxfxfxgxfxg ).(ln)()()()()()(1)(xfxfxgxfxfxgxgxg ,) |(ln . 1 x求求.)( . 2 xx求求,1)(ln) |(ln,0 . 1xxxx 时时)(1) )(ln() |(ln,0 xxxxx时时)1(1 x.1) |(lnxx xxxexln . 2 )()(ln xxxex).1(ln xxx,1x )ln( xxxx解：解：1 1、本节根本要求、本节根本要求 掌握导数的四那么运算，掌握复合函数的微分掌握导数的四那么运算，掌握复合函数的微分法法. .2 2、本节重点、难点、本