万物皆数—毕达哥拉斯

1、 乐经良 万物皆数万物皆数 毕达哥拉斯毕达哥拉斯 方法就是把我们应注意的事方法就是把我们应注意的事物进行适当的整理和排列物进行适当的整理和排列. . R.Descartes数学实验数学实验个人住房抵押贷款个人住房抵押贷款及其它金融问题及其它金融问题上海交大数学科学学院上海交大数学科学学院 乐经良实验目的实验目的 介绍差分方程介绍差分方程 复习：数列及其极限、线性代数方程组、复习：数列及其极限、线性代数方程组、 矩阵及其运算、方程的求根矩阵及其运算、方程的求根 运用运用 Matlab 进行迭代运算、求根、进行迭代运算、求根、 矩阵等运算矩阵等运算 学习相关问题建模学习相关问题建模 乐经良实际案例

2、实际案例 1998 1998年年1212月，中国人民银行公布了新的存、贷月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平款利率水平 , ,其中贷款利率如下表所列其中贷款利率如下表所列: : 中国人民银行再次调整存、贷款利率中国人民银行再次调整存、贷款利率贷款期限贷款期限半年半年 1 1年年 3 3年年 5 5年年 5 5年以上年以上利率利率/ / 6.126.12 6.39 6.39 6.66 7.20 7.56 6.66 7.20 7.56(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者为对应相邻两数中较大者.) 乐经良 上海商业银行对个人住

3、房商业性贷款利率作出相上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表应调整，公布新的利率表和还款表 上海个人住房商业性贷款利率再次降低上海个人住房商业性贷款利率再次降低 个人住房商业抵押贷款年利率表个人住房商业抵押贷款年利率表 贷款期限贷款期限 1 1年年 2 2年年 3 3年年 4 4年年 5 5年年 利率利率（）（） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.6606.120 6.255 6.390 6.525 6.660 个人住房商业抵押贷款个人住房商业抵押贷款( (万元万元) )还款表还款表 贷款期贷款期 年年 1 2 31 2 3 4 5 4 5

4、月月 12 24 36 48 6012 24 36 48 60月还款额月还款额 到期一次还清到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118444.356 305.9896 237.2649 196.4118本息总额本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.7110612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71 乐经良 提出问题提出问题 个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款利率业抵押贷款还款表

5、是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？水平制定的？ 分析一下年利率和月还款额表分析一下年利率和月还款额表贷款期限贷款期限 1 1年年 2 2年年 3 3年年 4 4年年 5 5年年利率（）利率（） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.6606.120 6.255 6.390 6.525 6.660贷款期贷款期 年年 1 2 31 2 3 4 5 4 5 月月 12 24 36 48 6012 24 36 48 60月还款额月还款额 到期一次还清到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118444.356 305.9896 237.2649

6、196.4118本息总额本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.7110612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71 乐经良建立模型建立模型与求解与求解则由则由Ak 到到Ak+1，应有，应有 Ak+1- -AkrAk- - m Ak+1(r1)Ak - -m (k = 0,1,) 其中其中 r 为月利率为月利率 r 0.06255/120.06255/120.00521250.0052125设贷款后第设贷款后第k 个月时欠款余数为个月时欠款余数为Ak , ,月还款额月还款额m 元元尝试自己推导尝试自己推导

7、 表达式表达式 AkA0(1+ r)k(1+ r)k1m/r作业作业1 1即得模型即得模型 乐经良A0 010000, 10000, k24 ,24 ,A2424=0 =0 r0.0052125M A0 0(1+ (1+ r) )k r/(1+ r/(1+ r) )k11 考虑二年期情况：考虑二年期情况：利用利用Matlabfunction m2_0(R,k)A0=10000;r=R/12;m=A0*(1+r)k*r/(1+r)k-1)可以验证还款表的各项数据 乐经良 年利率如何得到年利率如何得到 比较央行公布贷款利率与上海住房商业贷款，有数字相同：6.12、6.66，年限不同 优惠 中间年限

8、的利率如何得出 (线性插值)任务任务1 1：制定住房商业性贷款利率表和还款表：制定住房商业性贷款利率表和还款表 还款周期越短越好吗还款周期越短越好吗 如果逐年还款，对二年期贷款用公式(r应为年利率)算得年还款额，5473.867元,本息总额10947.63元，比逐年还款本息总额10664.54元多任务任务4 4：讨论还款周期问题：讨论还款周期问题 乐经良 任务任务2 2 请自己到银行了解最新住房贷款利率3年：6.65 5年：6.90 半年：6.1 1年：6.56 试制作一张为期1 12020或30年的贷款利率5年以上：7.10表和还款表 参考数据：2011年的上海某银行住房贷款利率 乐经良其它

9、金融或经济问题其它金融或经济问题 养老保险养老保险 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元. 问题问题交保险费所得利率如何？交保险费所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息产生)(注意：显然结果依于投保人寿命) 乐经良累计总额为Fk，那么易得到数学模型为分段表示的Fk+1=Fk(1+ r) p, k = 0,1, NFk+1=Fk(1+ r) q, k =N+1, M 其中p、q分别为60岁前所交月保险费月保险费和60岁起所领月养老金月养

10、老金的数目(元)，r是所交保险金获得的利率利率，N, M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间时间(月).显然 M 依赖于投保人的寿命,取 M = 75(75(岁) （统计平均值）以25岁起投保为例,则有 P = 200, q = 2282; N = 420, M = 600 设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的差分方程 乐经良 可推出差分方程的解(自己推导一下)Fk = F0 (1+ r )k (1+ r )k1 p/r, k = 0, 1, N Fk = FN (1+ r )k N (1+ r )k1 q/r, k =N+1, M 注意 F0 = FM = 0，消去FN ，(

11、1+ r )M (1+ q/p ) (1+ r )MN + q/p 0记 x 1+ r， 代入数据 x60012.41x18011.410( Newton 法,方程求根)作业作业2 2 乐经良使用Matlab 交保险费所得月利率为 0.00485 年利率为 0.0582function y=m2_1(x)M=600;N=420;p=200;q=2282;y=x.M-(1+q/p)*x.(M-N)+q/p;制作制作m m文件文件format long g fsolve(m2_1,1.01)键入键入 乐经良任务任务 3 3 一个购房贷款的比较一个购房贷款的比较 房产商介绍的一家金融机构提出：贷款1

12、00万元，每半月还款4403.3元, 22年还清, 不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付40000元. 小李夫妇曾经准备申请商业贷款100100万元用于购置住房，每月还款8806.6元，25年还清. 小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3 2万元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的.试分析情况是否这样？ 乐经良 某保险公司的推出结合养老的寿险计划，例子为：若40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20年至60岁任务任务5 5：一个人寿保险计划的利率分析：一个人寿保险计划的利率分析 试分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实

13、际年利率年利率是多少？若该投保人的寿命为7474岁，其交保险费所获得的实际年利率年利率又是多少？ 则在他生存时期，45岁时(投保满5年)可获返还补贴4000元，50岁时可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元 乐经良 每过一周 A 城公司基金10 B 城公司 A 城公司 B 城公司基金12 金融公司的支付基金的流动金融公司的支付基金的流动(形式推广的 新问题)总额$540万基金,放置A公司和B公司要求：周末结算时总额仍为$540万A公司基金额A0$260万 B公司基金额B0$280万 问题问题 资金流动趋势？ 会

14、否少于警戒数220(万) 乐经良 数学模型数学模型 设第k周末结算时,A城公司和B城公司支付基金数分别为ak和bk(单位:万美元),则有 差分方程组ak+1= 0.9ak + 0.12 bkbk+1= 0.1ak + 0.88 bk 观察数据观察数据 通过对数据的观测估计结论 (12周数据) 乐经良利用利用Matlabfunction m2_2(n)a0=260;b0=280;a(1)=0.9*a0+0.12*b0;b(1)=0.1*a0+0.88*b0;for k=1:n-1 a(k+1)=0.9*a(k)+0.12*b(k); b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k);endab

15、可看到变化趋势，能不能求出方程解？(分别求出an,bn 与n 的关系式) 乐经良1212周的变化数据周的变化数据任务任务 6 6ak是否有上界、bk是否有下界? bk是否会小 于220？完成这个问题的分析： k ak bk kak bk1267.6000 272.40007288.4773 251.52272273.5280 266.47208289.8123 250.18773278.1518 261.84829290.8536 249.14644281.7584 258.241610291.6658 248.33425284.5716 255.428411292.2993 247.7007

16、6286.7658 253.234212292.7935 247.2065 乐经良 利用矩阵形式由此式讨论 k 的情况可导出表达式作业作业3 3 能不能求出方程解？(分别求出an,bn 与n 的关系式)关于任务关于任务6 6 乐经良任务任务7 7 根据两地公司的业务情况，该金融机构决定在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6 6万，相应地B城公司的支付基金减少$6 6万. 此时，机构中一位的职员(他曾就读于某大学数学系)向机构负责人建议将增减数额改为$5.55.5万. 试问机构负责人是否应该采纳这个建议，为什么？ 乐经良在完成任务时所附的作业在完成任务时所附的作业 1.1.贷款A0，月利率r，月，月还款额m ，推导第k 个月后时欠款余数Ak 的表达式?bakkk时，求 2.投保人每月交保险费p，交了m个月后每月领养老费可领n个月，若所领款全由交费及其利息产生(月利率r)，求投保人每月领养老费额 3.若 乐经良