合肥学院数字逻辑第二章

1、2022-5-112022-5-12内容提要 逻辑代数的基本运算；逻辑函数及其表示方法（真值表、逻辑表达式、逻辑图和卡诺图）；逻辑代数的运算公式和基本规则；逻辑函数的化简方法（代数化简法和卡诺图化简法） 。2022-5-131.1. 变量及基本逻辑运算 2.2. 逻辑函数及其之间的相等 3.3. 逻辑函数的表达式 2022-5-14逻辑：一定的因果关系。逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治布尔(George Boole)于1847年提出的,所以又称为布尔代数。逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数。相同点：都用字母A、B

2、、C表示变量；不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为“0”和“1”，且无大小、正负之分。逻辑代数中的变量称为逻辑变量。“0”和“1”表示两种不同的逻辑状态：是和非、真和假、高电位和低电位、有和无、开和关等等。 2022-5-151. 三种基本逻辑运算 （1）与运算 当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。 开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮ABY000010100111A A、B B全1，Y Y才为1。设定逻辑变量并状态赋值：逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态；1闭合，0断开；逻辑函数：Y，对应灯的状态， 1灯亮，0灯灭。

3、2022-5-16逻辑表达式： YA BAB符号“”读作“与”（或读作“逻辑乘”）；在不致引起混淆的前提下，“”常被省略。实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如图1-1(b)所示，符号“&”表示与逻辑运算。 2022-5-17 若开关数量增加，则逻辑变量增加。 A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 11A A、B B、C C全1，Y Y才为1。YA B CABC2022-5-18（2）或运算 当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系 ，简称或逻辑 。 开关A开关

4、B灯Y断开断开灭断开闭合亮闭合断开亮闭合闭合亮ABY000011101111A、B有1，Y就为1。2022-5-19逻辑表达式： YAB符号“”读作“或”（或读作“逻辑加”）。实现或逻辑的电路称作或门，或逻辑和或门的逻辑符号如图1-2(b)所示，符号“1”表示或逻辑运算。 2022-5-110（3）非运算 当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。A与Y相反开关A灯Y断开亮闭合灭AY01102022-5-111实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门的逻辑符号如图1-3(b)所示。 逻辑符号中用小圆圈“ 。”表示非运算。逻辑表达式：

5、Y YA A符号“ ”读作“ 非 ” 。2022-5-1122. 复合逻辑运算 在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组合，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或等。 （1） 与非运算“与”和“非”的复合运算称为与非运算。 逻辑表达式： Y YABCABCA B CY0 0 010 0 110 1 010 1 111 0 011 0 111 1 011 1 10图1-4 与非逻辑的逻辑符号 “有0必1，全1才0” 2022-5-113 （2） 或非运算“或”和“非”的复合运算称为或非运算。 逻辑表达式： Y YA A+ +B B+ +C C

6、A B CY0 0 010 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 10“有1必0，全0才1” 图1-5 或非逻辑的逻辑符号 2022-5-114 （3） 与或非运算“与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非运算。 逻辑表达式： Y YABAB+ +CDCD图1-6 与或非逻辑的逻辑符号 2022-5-115 （4） 异或运算所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为0，取值不相同时输出为1 1。 “相同为0，相异为1” 图1-7 异或逻辑的逻辑符号 逻辑表达式： Y Y = = A AB B = = A BA B + + A BA B式中符号式中符号“

7、 ”表示异或运算。表示异或运算。 ABY0000111011102022-5-116 （5） 同或运算所谓同或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0。 “相同为1，相异为0” 图1-8 同或逻辑的逻辑符号 ABY001010100111逻辑表达式： Y Y = = A AB B = = A BA B + + A BA B = = A AB B 式中符号式中符号“ ”表示同或运算。表示同或运算。 2022-5-1171. 逻辑函数 输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系称为逻辑函数，写作 Y = F(A、B、C、D) A、B、C、D为有限个输入逻辑变量；F为有限次逻辑运

8、算（与、或、非）的组合。表示逻辑函数的方法有：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图。2022-5-118逻辑函数的相等：已知Y = F1 (A、B、C、D)W= F2 (A、B、C、D)问：问： Y = W的条件？的条件？仅当A、B、C、D的任一组取值所对应的的任一组取值所对应的Y和和W都都相同，具体表现为二者的真值表完全相同时， Y = W 。等号“”不表示两边数值相等，仅表示一种等价、等效的逻辑关系。因为逻辑变量和逻辑函数的取值0和1是不能比较大小的，仅表示一种状态。结论：可用真值表验证逻辑函数是否相等。ABY000010100111ABW0010101001112022-5-1191.

9、 逻辑表达式 按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表达式（简称逻辑表达式）。例如： F=f(A,B)=A+B2022-5-120l由真值表可以方便地写出逻辑表达式。方法为：l 找出使输出为1的输入变量取值组合；l 取值为1用原变量表示，取值为0的用反变量表示，则可写成一个乘积项；l 将乘积项相加即得。 ABL001010100111L = A B + A BL = A B + A BA BA BA BA B2022-5-121真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。1个输入变量有0和1两种取值， n个输

10、入变量就有2n个不同的取值组合。例：逻辑函数Y=AB+BC+AC A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11三个输入变量，八种取值组合 2. 真值表ABBCAC2022-5-122A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11真值表的特点： 唯一性; 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。 n个输入变量就有2n个不同的取值组合。 2022-5-1233. 逻辑图 用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。ABL00

11、1010100111L = A B + A BL = A B + A B2022-5-1241. 基本定理 2. 常用公式 3. 重要运算规则 2022-5-1251. 基本定理 （1）常量之间的关系 0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 + 0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1 0 = 1 1 = 0 请特别注意请特别注意与普通代数与普通代数不同之处不同之处与或2022-5-126（2）常量与变量之间的关系普通代数结普通代数结果如何？果如何？（3）与普通代数相似的定理 交换律交换律AB = BAA + B = B + A结合律结

12、合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)2022-5-127（4）特殊的定理 De De morgen morgen定理定理2022-5-1282022-5-1292. 2. 常用公式常用公式 B B：互补：互补A A：公因子：公因子A A是是ABAB的因子的因子2022-5-130A A的反函数的反函数是因子是因子与互补变量与互补变量A A相与的相与的B B、C C是第三项是第三项添加项添加项2022-5-131需记忆2022-5-132在任何一个逻辑等式（如 FW ）中，如果将等式两端的某个变量（如

13、B）都以一个逻辑函数（如Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。3. 3. 重要运算重要运算规则规则 （1）代入规则 推广利用代入规则可以扩大公式的应用范围。理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。 2022-5-133 （2）反演规则运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。1)(0DCBAYCDBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY对任何一个逻辑表达式Y 作反演变换，可得Y 的反函数 Y 。这个规则叫做反演规则。 反演变换：“”“”“”“” “0

14、” “1”“1” “0”，原变量反变量反变量原变量2022-5-134 对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可Y的对偶式Y。 （3）对偶规则 运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减扩号。 ) 1)()0(CABAYCABAY对偶变换：“”“”“”“”“0” “1”“1” “0”2022-5-135利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。 互为对偶式 对偶定理： 若等式Y=W成立，则等式Y =W也成立。 2022-5-1361. 逻辑函数表达式的基本形式 2. 逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式 2022-5-1371 函数表达式的函数表达式的基本基本

15、形式形式 五种常用表达式五种常用表达式F(AF(A、B B、C)C)ABAC“与与或或”式式(AC)(AB)“或或与与”式式AB AC“与非与非与非与非”式式 ACAB“或非或非或非或非”式式A CA B“与与或或非非”式式基本形式基本形式 表达式形式转换表达式形式转换 F AB ACABACAB AC利用还原律利用还原律利用反演律利用反演律2022-5-1382 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式最小项：最小项：n n个变量有个变量有2 2n n个最小项，记作个最小项，记作m mi i3 3个变量有个变量有2 23 3（8 8）个最小项个最小项ABCABCm m0 0m m1 100000

16、101ABCABCABCABC ABC ABCm m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7010011100101110111234567n n个变量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n n个变量个变量的的乘积项乘积项（每个变量必须而且只能以原变（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）量或反变量的形式出现一次）一、 最小项最小项和和最大项最大项乘积项乘积项和项和项最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号最小项编号最小项编号i-i-各输入变各输入变量取值看成二进制数，量取值看成二进制数，对应的十进制数对应的十进制数2022-5

17、-1390 0 1A B CA B C0 0 0m m0 0ABCm m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7ABCABCABCABCABC ABC ABCn-12ii 0Fm1000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项三变量的最小项 最小项的性质最小项的性质： 同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最小项最小项的的乘积乘积为为0。即。即mi mj=0 (ij) 全部全

18、部最小项之最小项之和和为为1，即，即21ii0m1n 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最小最小 项项的值为的值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为02022-5-140 最大项最大项n n个变量有个变量有2 2n n个最大项，记作个最大项，记作i in n个变量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n n个变量个变量的的和项和项（每个变量必须而且只能以原变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）或反变量的形式出现一次） 同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最大项最大项的的和和为为1。即。即Mi+Mj=1 (ij) 全部全部

19、最大项之最大项之积积为为0，即，即 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最大最大 项项的值为的值为0，其它最大项的值均为，其它最大项的值均为1最大项：最大项：最大项的性质：最大项的性质：21ii0M0n2022-5-141 最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即即: mi =Mi Mi =mi 若干个最小项之和表示的表达式若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。积表示。 例：例：1357Fmmmm1357F

20、mmmmm1m3m5m7= 1357MMMM=2022-5-142逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 标准积之和标准积之和( 最小项）表达式最小项）表达式式中的每一个乘式中的每一个乘积项均为最小项积项均为最小项F(AF(A、B B、C C、D)D)A B C D A B CD ABCD AB C D0158mmmmm(0 1 5 8)、 、 、例：例： 求函数求函数F(AF(A、B B、C)C)A B A BC 的标准积之的标准积之和表达式和表达式解：解：F(AF(A、B B、C)C)CB ABAA B A BCAB(C C) A BCABC ABC A BC321mmmm(1 2 3)、

21、、利用反演律利用反演律利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量C2022-5-143A B CA B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456700010111例：例：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 标准积之和标准积之和( 最小项）表达式最小项）表达式0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 0 6 6 1 从真值表找出从真值表找出F为为1的对应最小项的对应最小项解解:1 1 1 7 7 1 然

22、后将这些项逻辑加然后将这些项逻辑加F(AF(A、B B、C)C)3567mmmmm(3 5 6 7)、 、ABCABCABCABC2022-5-1441. 化简的意义和最简概念 2. 公式化简法 2022-5-1451.1.化简的意义和最简单的概念化简的意义和最简单的概念 函数的简化意义函数的简化意义 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性2022-5-146若将该函数化简并作变换：CBBCB

23、CAABAYCABBCBCBAY)()1 (电路电路CBBCBCAABAY2022-5-147（2）逻辑函数的多种表达式形式CAABYCAABY)()(CABAYCABAY与-或表达式与非-与非表达式 或-与非表达式 或非-或表达式 2022-5-148（2）逻辑函数的多种表达式形式（续）或-与表达式或非-或非表达式 与-或非表达式 与非-与表达式 )(BACABCCAABAAYBACAYBACAYBACAY2022-5-149由以上分析可知，逻辑函数有很多种表达式形式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常用的。 （3）逻辑函数的最简标准由于与或表达式最常用，因此只讨论最简与或表达式 的最

24、简标准。最简与或表达式为： 与项（乘积项）的个数最少； 每个与项中的变量最少。2022-5-1502. 公式化简法 反复利用逻辑代数的基本公式、常用公式和运算规则进行化简，又称为代数化简法。必须依赖于对公式和规则的熟练记忆和一定的经验、技巧。 2022-5-151 （1）代入规则 在任何一个逻辑等式（如 FW ）中，如果将等式两端的某个变量（如B）都以一个逻辑函数（如Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。在公式化简中大量应用！需灵活掌握。最常使用，特别需要熟练记忆！2022-5-152 （2）反演规则便于实现反函数。 （3）对偶规则使公式的应用范围扩大一倍，使公式的记忆量减小一

25、倍。反演变换：“”“”“”“”“0” “1” “1” “0”，原变量反变量反变量原变量对偶变换：“”“”“”“”“0” “1”“1” “0”2022-5-153例1-2 化简函数CBACBAY解： BACCBACBACBAY)(例化简函数解： CBACBACBACBAYAABBACCABCCBAY)()(代入规则 （1）并项法 利用公式A+A=1或公式AB+AB=A进行化简，通过合并公因子，消去变量。AABBAY或： 代入规则2022-5-154 （2）吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例1-3 化简函数解： 例化简函数解： )(FECDBABAYBAFECDBABAY)()

26、(EFFEDABCDCDABYDCDABEFFEDABCDCDABY)(2022-5-155例1-4 化简函数解： 例化简函数解： （3）消去法 利用公式A+AB=AB进行化简，消去多余项。CBCAABYCABCABABCBAABCBCAABY)(FEFEABCDY)(FEABCDFEABCDFEFEABCDFEFEABCDY)()(2022-5-156例1-5 化简函数解： （4）配项法 在适当的项配上A+A=1进行化简。 BACBCBBAYCACBBABBCACBBABCACBACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY)()()(2022-5-157例1-5 化简函数

27、解2： BACBCABACBBBCABACBCABCBACBACBABACBCBAACCBABACBCBBAY)()()(CACBBABACBCBBAY解1得： 问题：函数Y的结果不一样，哪一个解正确呢？ 答案都正确!最简结果的形式是一样的，都为三个与项，每个与项都为两个变量。表达式不唯一！2022-5-158例 化简函数解： （5）添加项法 利用公式AB+AC+BC=ABAC，先添加一项BC，然后再利用BC进行化简，消去多余项。CACBBACABACBBACABACBCBBABACBCBBAYBACBCBBAY2022-5-159下面举一个综合运用的例子。DEFGEFBACEFBDCAABD

28、AADY解： EFBBDCADEFGEFBBDACEFCAABADEFGEFBACEFBDCAABDAADY)(2022-5-160 公式化简法评价： 特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运用的熟练程度有关。 优点：变量个数不受限制。 缺点：结果是否最简有时不易判断。2022-5-1611. 卡诺图及其画法 2. 用卡诺图表示逻辑函数 3. 卡诺图化简法 2022-5-162 公式化简法评价：优点：变量个数不受限制。缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确

29、定等缺点。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。卡诺图的基本组成单元是最小项。2022-5-1631.卡诺图及其画法 （1）卡诺图及其构成原则 卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是： N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）； 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。几何相邻的含义：一是相邻紧挨的；二是相对任一行或一列的两头；三是相重对折起来后位置相重。在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断某些最小项的几何相邻性，其优点是十

30、分突出的。2022-5-164图1-11 三变量卡诺图的画法 （2）卡诺图的画法 首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画法。 3变量的卡诺图有23个小方块； 几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按00、01、11、10的顺序（循环码 ）排列 。相邻相邻2022-5-165图1-12 四变量卡诺图的画法相邻相邻不相邻正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。2022-5-166 （1）从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。例1-

31、8 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。表1-19逻辑函数Y的真值表 2. 用卡诺图表示逻辑函数 A B CY0 0 000 0 110 1 010 1 101 0 011 0 101 1 001 1 11图1-13例1-8的卡诺图 2022-5-167 （2）从最小项表达式画卡诺图把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1，其余的小方块中填入0。 例1-9 画出函数Y(A、B、C、D)= m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。 图1-14例1-9的卡诺图 2022-5-168 （3）从与或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。1 111AB11例已知YABACDABCD，画卡诺图。最后将剩下的填01+1ACD=1011ABCD=01112022-5-169 （4）从一般形式表达式画卡