第2章 水静力学课件

1、本章主要内容本章主要内容2-2 静水压强及其特性2-3 液体平衡微分方程2-4 重力作用下的液体平衡2-5 静水压强的分布、量测及分布2-6 作用在平面上的静水总压力2-7 作用在曲面上的静水总压力2-1 概述 1936年共和党领袖胡佛水坝年共和党领袖胡佛水坝:一一座拱门式重力人座拱门式重力人造混凝土水坝。这样巨大的水坝在世界上是不多造混凝土水坝。这样巨大的水坝在世界上是不多见见的。在的。在世界水利工程行列中占有重要的地位世界水利工程行列中占有重要的地位。 Hoover Dam的蓄水池是著名的的蓄水池是著名的密德湖密德湖,是是西半西半球最大的球最大的人工湖人工湖，能能灌溉庄稼灌溉庄稼和水力发电

2、。胡佛和水力发电。胡佛水坝的发电功率为水坝的发电功率为1345兆瓦，可供应太平洋沿岸兆瓦，可供应太平洋沿岸的西南部大部分地区，可见胡佛水坝贡献之大的西南部大部分地区，可见胡佛水坝贡献之大。 （Hoover Dam）胡佛水坝胡佛水坝在在Hoover水坝水坝后面蓄水池的水压力后面蓄水池的水压力 是是多少多少? 1、流体静力学、流体静力学(hydrostatics/fluid statics) 研究流体处于静止研究流体处于静止( (包括相对静止包括相对静止) )状态下的力学平衡规律及其状态下的力学平衡规律及其在工程中的应用。在工程中的应用。 2、静止状态、静止状态(static characteri

3、stic）：）： 指流体质点之间不存在相对运动。指流体质点之间不存在相对运动。 3、流体静压强（、流体静压强（static pressure of fluid/hydrostatic pressure）: 静止流体中的压应力。静止流体中的压应力。 注：静止静止流体中不会有切应力，亦不会产生拉应力，而只有压应力。流体中不会有切应力，亦不会产生拉应力，而只有压应力。 水静力学：水静力学：根据静力平衡条件求解静水压强的分布规律，根据静力平衡条件求解静水压强的分布规律，掌握点压强的计算，进而确定建筑物的平面及曲面上的静掌握点压强的计算，进而确定建筑物的平面及曲面上的静水总压力。水总压力。2.1 概述概

4、述1 1、静水压强的基本、静水压强的基本特性特性2 2、欧拉平衡、欧拉平衡微分方程微分方程3 3、等压面及其性质、等压面及其性质 本节重点本节重点已知已知:上面四个容器中上面四个容器中,他们的底面积他们的底面积A和水深和水深h均相等均相等思考思考:1.容器底面所受到的静水总压力是否相等容器底面所受到的静水总压力是否相等?2.容器底面的静水总压力与地面对容器的支撑反力是容器底面的静水总压力与地面对容器的支撑反力是否相等否相等?2.2 静水压静水压强及其特性强及其特性2.2.1 静水压强定义（压为静水压强定义（压为正）正）APpAPPTAPpA lim0n特征特征1 1（方向性）：（方向性）：n平

5、衡液体中静水平衡液体中静水压强方向和作用面压强方向和作用面内法线方向相同内法线方向相同，可证明可证明ABCFED 2.2.2 静水压强特性静水压强特性pnptp切向压强切向压强静压强静压强法向压强法向压强n特征2（大小性）：平衡液体内任一点各个方向的压强p大小均相等。大小均相等。xyyxzsqqpxyzpzxypsysgxyz/2z表面力：表面力：（只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力）（只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力）121212XXXXYYYYZZZZnnndPp dApdydzdPp dApdxdzdPp dApdxdydPp dA质量力：质量力：（只有重力、静止）（只有重

6、力、静止） 其质量为其质量为 ，单位质量力在各方向上的分别为，单位质量力在各方向上的分别为X、Y、Z, 则质量力在各方向上的分量为则质量力在各方向上的分量为111,666XdxdydzY dxdydzZ dxdydz0, 0, 0ZYXFFFdxdydz61以以x方向为例方向为例：061),cos(dxdydzXXndApdApFnnXXX因为因为 代入上式得：代入上式得：当四面体无限地缩小到当四面体无限地缩小到0点时，上述方程中最后一项点时，上述方程中最后一项近于零，取极限得近于零，取极限得, 即即 dydzdAXndAxn21),cos(03XdxppnXnXpp nZYXpppp2.3

7、液体的平衡液体的平衡微分方程微分方程欧拉欧拉平平衡微分方程衡微分方程 2.3.1 液体液体平衡平衡微分方程微分方程n表面力表面力 略去二阶以上无穷小量后，分别等于略去二阶以上无穷小量后，分别等于 垂直于垂直于x x轴的左、右两微元面上的总压力分别为：轴的左、右两微元面上的总压力分别为： 同理，可得到垂直于同理，可得到垂直于y轴与轴与z轴的微元面上的总压力分别为：轴的微元面上的总压力分别为： yxzppdddz21 3332222d612d212dxxpxxpxxppxxppd21xxppd21zyxxppddd21zyxxppddd21zxyppdddy21zxyyppddd21yxzzppd

8、dd21n质量力质量力 若流体微团的平均密度为若流体微团的平均密度为，则质量力沿三个坐标轴的分量为，则质量力沿三个坐标轴的分量为 ：处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。例如，对于上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。例如，对于x轴，轴，则为则为 整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量质量dxdydz则则得得zyxXdddzyxYdddzyxZddd0dddddd21ddd21zyxXzyxxppzyxxpp01xpX

9、n欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程（1775年由瑞士学者欧拉首先提出）年由瑞士学者欧拉首先提出）n平衡液体中，静水压强沿着某一方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。01xpfx01ypfy01zpfzn欧拉平衡微分方程综合式欧拉平衡微分方程综合式 将欧拉平衡微分方程各分式分别乘以将欧拉平衡微分方程各分式分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得然后相加，得 故得故得欧拉平衡微分方程综合式欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）（即全微分形式）)ddd(dddzfyfxfzzpyypxxpzyxzzpyypxxppdddd)ddd(dzfyfxfpzyx由由),(zyxpp ，有，有此式称为压强

10、差公式。它表明：在静止此式称为压强差公式。它表明：在静止液体中，空间点的坐标增量为液体中，空间点的坐标增量为dx、dy、dz时，相应的液体静压强增加时，相应的液体静压强增加dp，压强，压强的增量取决于质量力。的增量取决于质量力。)ddd(dzfyfxfpzyx欧拉平衡微分方程综合式（全微分）物理意义欧拉平衡微分方程综合式（全微分）物理意义 dldddxiyjzk f dlXiYjZkdxidyjdzkXdxYdyZdz“空间任何一个矢量可以用三个基本单位矢量的线性式子表示空间任何一个矢量可以用三个基本单位矢量的线性式子表示”d( ddd )pX xY yZ zfXiYjZk“单位质量单位质量力

11、力 f 沿着沿着某一方向某一方向移动移动 dl 距离距离所做的功所做的功f * dl ”2.3.2 等压面等压面n等压面概念等压面概念n定义：定义：在液体中，压强相等各点所组成的面称在液体中，压强相等各点所组成的面称为等压面。为等压面。n微分方程：微分方程：n性质：等压面恒与质量力正交性质：等压面恒与质量力正交的面。常数或0dppddd0dl0 xyzfxfyfzf或n等压面特性等压面特性 等压面就是等势面。等压面就是等势面。 作用在静止液体中任一点的质量力必然垂直于通过该点作用在静止液体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。的等压面。 等压面不能相交等压面不能相交 绝对静止液体的等压面

12、是水平面绝对静止液体的等压面是水平面 两种互不相混的静止液体的分界面必为两种互不相混的静止液体的分界面必为等压面等压面 0ZdzYdyXdx2.4.12.4.1 重力作用重力作用下静水压强的基本公式下静水压强的基本公式 00d(ddd )xyzxyzfffgpfxfyfzdpgdzdzg 将、代 入积 分 得1 pzcg 积分pzcg000,zzpp自由表面0,pphhzg 其中水静力学水静力学基本方程基本方程物理意义：在静止的液体中，尽管各点的位置高度物理意义：在静止的液体中，尽管各点的位置高度z z和和压强高度压强高度 不同，但各点的二者之和不同，但各点的二者之和 却是相等的却是相等的gp

13、gpz hpphppgg2112n绝对压强绝对压强（以完全真空作为计算零点）（以完全真空作为计算零点）绝对压强不可为负绝对压强不可为负n相对压强相对压强（以当地大气压强作为计算零点，计示压强、（以当地大气压强作为计算零点，计示压强、表压强）表压强）相对压强可正可负相对压强可正可负n真空压强真空压强（真空值）（真空值）真空压强恒为正值真空压强恒为正值2.4.2 压强的表示方法压强的表示方法patm=101 325Papat=98 000Pa压强压强的表示方法的表示方法（1）以应力表示）以应力表示（2）以液柱高度表示，采用相对压强时，）以液柱高度表示，采用相对压强时，pa为零为零1个工程大气压用水

14、柱表示个工程大气压用水柱表示理论最大真空度理论最大真空度（3）以大气压的倍数表示）以大气压的倍数表示 （例题（例题2-1）appghhg98000109800atwphmg水柱98000109800vatvwwpphmgg水柱pzcg2.4.3 水静力学水静力学基本方程基本方程的能量意义和的能量意义和 几何几何意义意义 （理论表达式）理论表达式）一一、水静力学、水静力学基本方程的物理基本方程的物理意义意义 2、 ：单位重量液体所具有的压能（：单位重量液体所具有的压能（pressure potential energy） ，称单位压能。，称单位压能。 1、 ：单位重量液体从某一基准面算起所具有的

15、位能（：单位重量液体从某一基准面算起所具有的位能（elevation potential energy） ，因为是对单位重量而言，所以称单位位能因为是对单位重量而言，所以称单位位能 。 z 4、水静力学基本方程的物理意义是：在静止液体中任一点的单位位能与单位、水静力学基本方程的物理意义是：在静止液体中任一点的单位位能与单位压能之和，亦即单位势能为常数。压能之和，亦即单位势能为常数。GGhhgppp ooZGGzz p g gh(1)(2) 3、 ：单位重量液体所具有的势能（：单位重量液体所具有的势能（potential energy） ，称单位势能。，称单位势能。gpgpz gpgpz 二、二

16、、水静力学基本方程的几何水静力学基本方程的几何意义意义 液体静力学基本方程中的各项，从量纲来看都是长度，可用几何高度来表示它的意液体静力学基本方程中的各项，从量纲来看都是长度，可用几何高度来表示它的意义。在水力学中则常用水头来表示一个高度。义。在水力学中则常用水头来表示一个高度。 2、 ：液体从所在点到水面所具有的高度，称压强水头（：液体从所在点到水面所具有的高度，称压强水头（pressure head） 。 1、 ：液体从基准面算起从到所在点的高度，称位置水头（：液体从基准面算起从到所在点的高度，称位置水头（elevation head） 。 z 4、水静力学基本方程的几何意义是：在静止液体

17、中任一点的位置水头与压强、水静力学基本方程的几何意义是：在静止液体中任一点的位置水头与压强水头之和，亦即测压管水头水头之和，亦即测压管水头Hp为常数为常数 。 3、 ： 压强水头与位置水头之和，称测压管水头压强水头与位置水头之和，称测压管水头(piezometric head)。ooGGhhgppp ZGGzz p g gh(1)(2)gpgpz 图图2-11 测压管测压管2.5 液体压强的量测液体压强的量测 液体压强量测仪器的类型较多，主要差别在量液体压强量测仪器的类型较多，主要差别在量程大小、测量精度等方面有所不同。程大小、测量精度等方面有所不同。gh10ph12AphAhphpgpg一、

18、常见液柱式测压计一、常见液柱式测压计Pa1Mp12h1h2等压面等压面图图2-10 U形测压管形测压管PPa 作等压面作等压面M-N，则，则 由由pM =pN得得A、B两压源的压强差两压源的压强差 若将若将z=zB-zA代入上式，整理可得代入上式，整理可得A、B两压源的测压管水头差两压源的测压管水头差ppBNpAMhhzpphhppggg)()(ppBAhzpp)(gggppBBAAhpzpz) 1()()(gggg二、二、U形管差压计形管差压计)()(3211211hhhghhgghpppaAnjjniihghgghp11111三、三三、三U形管测压计形管测压计 例题：开敞容器盛有12的两种

19、液体，问1、2两测管中的液体哪个高些？哪个和容器的液面同高？并说明理由。试比较复式测压计中1 、2 、3 和4点压强 之间的大小关系。n意义：意义：工程建筑物重要荷载；闸门结构、启闭设备选择、校核挡水建筑物稳定性n定义：定义：静止状态下作用在建筑物整个受压面上的水压力n方法方法：通过静水压强分布规律求解静水压力的大小、方向和作用点。n压强分布图法（图解法）矩形平面 分析法任意平面2.6 作用在平面上的静水总压力作用在平面上的静水总压力 2.6.1 图解法图解法1、静水压强分布图、静水压强分布图受压面上各点压强受压面上各点压强（大小和方向）（大小和方向）分布的图形，简称分布的图形，简称静水压强图

20、。通常指二向的静水压强分布图。静水压强图。通常指二向的静水压强分布图。绘制规则：绘制规则：1)按按一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大小。大小。2)用用箭头表示静水压强的箭头表示静水压强的方向，方向，并与该处作用面相垂直。并与该处作用面相垂直。在实际工程中，一般在实际工程中，一般3)当当水水的表面压强为的表面压强为 时时 ，即，即p与与h呈线呈线性性分分布规律布规律，据此绘制静水压强图。，据此绘制静水压强图。aphpg静水压强分布规律静水压强分布规律 1）静水压强方向指向作用面的内法线 2）点压强的值与作用面的方向无关 3）点压强的大小由相

21、对压强 确定hpg1122ppP yP yPp、压力作用点ypAAVPdPpdAdVAb0 0001b LbLAPpdApdxdydx pdy 、静水总压力2、求矩形作用面上静水总压力（图解法）、求矩形作用面上静水总压力（图解法） yx图图2-18c121223phhlyhhXXcXD材料力学之材料力学之 平面图形的几何性质平面图形的几何性质几何性质几何性质只与横截面的几何形状和尺只与横截面的几何形状和尺 寸有关的某些几何量，对应力和变形起着重寸有关的某些几何量，对应力和变形起着重要作用要作用梁的几何性质对变形的影响梁的几何性质对变形的影响几何性质对变形的影响几何性质对变形的影响力学响应的决定

22、因素力学响应的决定因素荷载荷载 材料材料 几何性质几何性质一、静矩（一次矩）一、静矩（一次矩）dyASzA dzASyA 为代数量为代数量单位：单位：m3或或mm3横截面对横截面对y轴的静矩轴的静矩横截面对横截面对z轴的静矩轴的静矩dAyzyCyCz0zC1 形心和静矩形心和静矩二、形心二、形心 面的形心就是截面图形的几何中心面的形心就是截面图形的几何中心 dzACyASyAA dyACzASzAA dAyzyCyCz0zCA三、静矩与形心坐标的关系三、静矩与形心坐标的关系Sz = A yC 图形对一个轴的静矩，等于该图面积图形对一个轴的静矩，等于该图面积 与其形心坐标的乘积。与其形心坐标的乘

23、积。 Sy = A zCdAyzyCyCz0zC几个特例几个特例形心必位于对称轴上（交点）形心必位于对称轴上（交点）Cyz结论结论：图形对其任意形心轴的静矩为零图形对其任意形心轴的静矩为零CyzSy = A zCy 是形心轴时，是形心轴时，zC=0因此，因此，Sy =0例例求图示半圆的求图示半圆的Sy ,Sz 和形心坐标。和形心坐标。解：由对称性，解：由对称性， yC = 0, Sz = 0由图由图2222dddAyzRzz 2230223ddRyASzAzRzzR 43yCSRzAy 四、组合图形的静矩和形心四、组合图形的静矩和形心 组合图形组合图形由几个简单图形组由几个简单图形组成的图形。

24、成的图形。组合图形的静矩和形心yzC2(yC2,zC2)C1(yC1, zC1)121212zCCcSA yA yyAAA C (yC ,zC)1221yCCSAzA z1212zCCSA yA y121212yCCcSAzA zzAAA 一般地一般地组合图形的静矩和形心有如下公式组合图形的静矩和形心有如下公式11;nnyiCiziCiiiSA zSA y11;nniCiiCiiiCCA yA zyzAA2 惯性矩惯性矩 惯性半径惯性半径 惯性积惯性积 一、极惯性矩一、极惯性矩（与转动惯量类似）（与转动惯量类似）2dOAIA 二次矩，正定二次矩，正定单位：单位：m4或或mm4 显然，图形分布距

25、离极点越远，对该显然，图形分布距离极点越远，对该极点的极惯性矩就越大。极点的极惯性矩就越大。面积对极点的二次矩面积对极点的二次矩dAyzy0z 二、惯性矩惯性矩2dyAIzA 2dzAIyA 二次矩，正定二次矩，正定单位：单位： m4或或mm4 显然，图形分布距离某轴越远，对该显然，图形分布距离某轴越远，对该轴的惯性矩就越大。轴的惯性矩就越大。dAyzy0z 面积对面积对y、z轴的惯性矩分别为轴的惯性矩分别为dAyzy0z 由定义知：由定义知：Io= Iy +Iz图形对任意一对相互垂直轴图形对任意一对相互垂直轴的惯性矩之和，等于它对该的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。两轴交点的极惯性

26、矩。 通过同一点的一对相互垂通过同一点的一对相互垂直轴的惯性矩之和为常量。直轴的惯性矩之和为常量。yiyII zizII 组合图形对某轴的惯性矩，等于各组组合图形对某轴的惯性矩，等于各组成图形对同一轴惯性矩的和。成图形对同一轴惯性矩的和。bhzy123bhIy123hbIz464yzdIIzyd常用图形的惯性矩常用图形的惯性矩Ddzy44164yzDIIDd 三、惯性半径三、惯性半径单位：单位：m或或mmyzyzbhd矩形矩形32123hbhbhAIiyy32biz圆形圆形424644yzddiid,yzzyIIiiAA定义分别称为对分别称为对y轴和对轴和对z轴的轴的惯性半径惯性半径 四、惯性

27、积四、惯性积AyzyzdAI混合二次矩混合二次矩代数量代数量单位：单位：m4或或mm4dAyzy0z 3 平行移轴公式平行移轴公式问题问题 已知对形心轴的已知对形心轴的惯性矩和惯性积，求惯性矩和惯性积，求对所有与该形心轴平对所有与该形心轴平行的轴的惯性矩和惯行的轴的惯性矩和惯性积性积?dAyz0Cabzcycyz例如，已知例如，已知Iyc , y yc ,求求Iy 。 z = zc + a 22dcAAzdAz aA 222dddccAAAzAazAaA 22ddcAAzA za A Iy = Iyc + 0 + a 2A = Iyc + a 2A 图形对一轴的惯性矩，等于对平行于此轴的形心轴

28、图形对一轴的惯性矩，等于对平行于此轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与此二轴距离平方的乘积。的惯性矩，加上图形面积与此二轴距离平方的乘积。dAyz0Cabzcycyzzc一般地，一般地， Iy = Iyc + a 2A Iz = Izc + b 2A Iyz = Iyczc + a bA在一组平行的轴中，在一组平行的轴中，图形对其形心轴的图形对其形心轴的惯性矩最小。惯性矩最小。 惯性积公式中惯性积公式中 a, b 为形心坐标，注意其正负号。为形心坐标，注意其正负号。 记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有平行于此形心轴的各轴的惯性矩。平行于此形心轴的各轴

29、的惯性矩。dAyz0Cabzcycyz 已知已知C为形心，求为形心，求Izc.解：解：1. 求形心位置求形心位置 由对称性，形心位于由对称性，形心位于对称轴上。对称轴上。zcz1z2z20200200205555C1C2CyC112212CA yAyyAA mm155202002020010020200210202002. 求求Izc. Izc =（200203/1220020552） （202003/1220020552） = 37. 67106 mm4 截面几何性质小结截面几何性质小结1. 静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系 中的数

30、值有一定的关系中的数值有一定的关系2. Iz、Iy 恒为正，恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位可正可负，与坐标轴位 置有关置有关3. 对形心轴静矩为对形心轴静矩为0，对称轴，对称轴 Iyz = 0，对称轴就是形心，对称轴就是形心 主惯性轴主惯性轴4. 平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小XXcXDXXcXDccPsinyAh AggDAP xxpdASinxydAgxyDCIxy A同理：同理：xyAIxydA据据 XD和和YD即可确定即可确定D的位置，若受压面有纵向对称轴，则不必计算的位置，若受压面有纵向对称轴，则不必计算，称为平，称为平面对面

31、对OX及及OY轴的惯性矩轴的惯性矩结结 论论2.7 静止液体静止液体作用在曲面上的总压力作用在曲面上的总压力 实际工程背景实际工程背景 弧形闸门弧形闸门 双曲拱坝、涵管进口、圆管形下水道双曲拱坝、涵管进口、圆管形下水道 双曲拱坝双曲拱坝 贮油罐贮油罐 2.7.1 曲面上的静水总压力大小曲面上的静水总压力大小2.7.1 曲面上的静水总压力大小曲面上的静水总压力大小n水平分力水平分力 积分得积分得xcxcAxAxxApAhAhPPxxggddcoscosxdPdPhdAgcosxxxxxxAAAPdPhdAhdAggn铅垂铅垂分力分力 积分得积分得sinsinzdPdPhdAgsinzzzzzzA

32、AAPdPhdAhdAggzPVg22zxPPP合力：合力：2.7.2 总压力方向总压力方向xzxzPPPP1tantan压力体概念：压力体概念： 二向曲面压力体的底面积简称为压力体二向曲面压力体的底面积简称为压力体n构成规则：构成规则：曲面曲面本身本身（底部）（底部）、液体的自由液体的自由表面或自由表面的延长表面或自由表面的延长面面（顶部）（顶部）、自曲面自曲面两端向自由表面作铅垂两端向自由表面作铅垂面面（侧部）、前面和（侧部）、前面和后面后面。（共计六（共计六个面个面）2.7.3 静水压力作用点静水压力作用点n圆柱面曲面圆柱面曲面n非圆弧面非圆弧面2.8 静止液体作用在物体上的总压力静止液

33、体作用在物体上的总压力-浮力浮力- -浮体浮体沉体、浮体、潜体沉体、浮体、潜体静止液体中的物体-三向曲面120 xxxPPP120yyyyyCyCyPPPh Ah Agg222xyzzPPPPPPVg重力场作用下的潜体平衡状态 (a)非稳定平衡 (b)稳定平衡 (c)随遇平衡图2-32 潜体平衡的三种情形倾覆力矩 恢复力矩阿基米德浮力定律阿基米德浮力定律 叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠。王冠做成后，国王拿叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠。王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻。他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤在手里觉得有点轻。他怀疑金匠掺了假

34、，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重来称，结果与原来的金块一样重 国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题。题。 回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解。回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解。 一天，他的夫人逼他洗澡。当他跳入池中时，水从池中溢了出来。阿基米德一天，他的夫人逼他洗澡。当他跳入池中时，水从池中溢了出来。阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来。他从池中跳出来，连衣服都没穿，听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来

35、。他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：就冲到街上，高喊着：“发现了，发现了发现了，发现了”。夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着。夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着真疯了，真疯了真疯了，真疯了，便随后追了出去。街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面，便随后追了出去。街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看。追着看。 灵感出自萦绕在心头的难题。原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题灵感出自萦绕在心头的难题。原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：的办法： 阿基米德浮力定律：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同。阿基米德浮力定律：相同质量的相同物质泡在水里，溢出

36、的水的体积应该相同。 如果把王冠放到水里，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否如果把王冠放到水里，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假。则王冠里肯定掺有假。 阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然

37、王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假。在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银。王冠里肯定掺了假。在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银。烦人的王冠之谜终于解开了。烦人的王冠之谜终于解开了。 例题例题1 1例1图示为量测容器中A点压强的真空计。已知h1=1m,h2=2m，试求A点的真空压强 。解在空气管段两端应用水静力学 基本方程得 故A点的真空压强为21hphpaAgg水A水空气h2h1aAavPhhppp9800) 12(8 . 91000)(12gvp例题例题2 2 为了提高铸件为了提高铸件车轮的质量，常采用离心铸造车轮的质量，常采用离心铸造机进行铸

38、造（如图示）。已知铁水密度机进行铸造（如图示）。已知铁水密度=7138kg/m3，车，车轮尺寸：直径轮尺寸：直径d=800mm，厚，厚h=250mm。试求铸造机以转。试求铸造机以转速速n=400npm旋转时，车轮边缘点处的相对压强旋转时，车轮边缘点处的相对压强pA-pa。hdpaory例题例题2 2)2(22zrggppa)2(22zrggppa对对A A点：点：hzdrppA,2,又：又：30602nn代入数据得：代入数据得：kPa44.1018aApp例题例题3 3例例3 试绘制图中试绘制图中abc曲面上的压力体。曲面上的压力体。dd/2cba水水因因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分

39、别考虑。曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。例题例题3 3abcbacabab段曲面段曲面( (实实压力体压力体) )bcbc段曲面段曲面( (虚虚压力体压力体) )cbaba阴影部分相阴影部分相互抵消互抵消bacabcabc曲面曲面( (虚虚压力体压力体) )n考虑左侧水的作用考虑左侧水的作用例题例题3 3n考虑右侧水的作用考虑右侧水的作用bcbc段曲面段曲面( (实实压力体压力体) )cba左侧水的作左侧水的作用用右侧水的作右侧水的作用用cbacbacb ba aabcabc曲面曲面( (虚虚压力体压力体) )cba例题例题4 4 例例33求作用在浮体（如船）上的静水总压力。求作用在浮

40、体（如船）上的静水总压力。 解解 浮体前后、左右受力分别相互抵消，故只受有铅垂分力，可用浮体前后、左右受力分别相互抵消，故只受有铅垂分力，可用压力体概念求解，即压力体概念求解，即 阿基米德浮力阿基米德浮力吃水线吃水线)( gFpz 【例例5】用双形管测压计测量两点的压强差，已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200 mm，h4=300mm，h5=500mm，1=1000/m3，2=800/m3，3=13598/m3，试确定和两点的压强差。 【解解】根据等压面条件，图中11，22，33均为等压面。可应用液体静力学基本方程式逐步推算。 P1=pA+1gh1 p2=p1-3gh2 p3=p

41、2+2gh3 p4=p3-3gh4 pB=p4-1g(h5-h4) 逐个将式子代入下一个式子，则 pB=pA+1gh1-3gh2+2gh3-3gh4-1g(h5-h4) 所以 pA-pB= 1g(h5-h4)+3gh4 +3gh2-2gh3 -1g h1=9.8061000（0.5-0.3） +1334000.3-78500.2 +1334000.25-9.80610000.6 =67876（Pa）图2-5例例2-6 已知密闭水箱中的液面高度h4=60cm，测压管中的液面高度h1=100cm，形管中右端工作介质高度h2=20cm，试求形管中左端工作介质高度h3为多少？ 【解解】 列11截面等压

42、面方程，则 （a） 列22截面等压面方程，则 （b）把式（a）代入式（b）中 =0.1365(m)=136.5(mm)(410H02hhgppa) 6 . 00 . 1 (0H2gpagpa0H24 . 0)()(32Hg340H02hhgphhgpa)2 . 0 ()6 . 0 (4 . 03Hg30H0H22hgphggpaa1000136001000136002 . 02 . 00HHg0HHg322h例例 2-6 【例例2-7】 图图2-7表示一个两边都承受水压的矩形水闸，表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为如果两边的水深分别为h1=2m，h2=4m，试求每米宽度，试

43、求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。 【解解】 淹没在自由液面下淹没在自由液面下h1深的矩形水闸的形心深的矩形水闸的形心yc=hc=h1/2 每米宽水闸左边的总压力为每米宽水闸左边的总压力为 确定的作用点确定的作用点F1位置位置 )(19612 298062121 12221111NghhhgAghFcAyIyycccp1图 2-7 其中通过形心轴的惯性矩其中通过形心轴的惯性矩IC=bh31/12，所以，所以F1的作用点位置在离底的作用点位置在离底1/3h=2/3m处。处。 淹没在自由液面下淹没在自由液面下h2深的矩形水闸的形心深的矩形水闸

44、的形心yc=hc=h2/2。 每米宽水闸右边的总压力为每米宽水闸右边的总压力为 （）（） 同理同理F2作用点的位置在离底作用点的位置在离底1/3h2=4/3m处。处。 每米宽水闸上所承受的净总压力为每米宽水闸上所承受的净总压力为 F=F2-F1=78448-19612=58836（） 假设净总压力的作用点离底的距离为假设净总压力的作用点离底的距离为h，可按力矩方程求得其，可按力矩方程求得其值值 784484980621212222ghF331122hFhFFhmFhFhFh56. 158836321961247844831122某供水管路上装一复式某供水管路上装一复式U形水银测压计，如图所示。

45、形水银测压计，如图所示。已知测压计显示的各液面的标高和已知测压计显示的各液面的标高和A A点的标高为：点的标高为： 1.5m 0.8m, 2.0m, 0.6m, ,m8 . 15A4321试确定管中试确定管中A A点压强。点压强。 )kg/m101,kg/m106 .13(3333H解：解： 因因2-2、3-3、4-44-4为等压面，根据静压强公式可得为等压面，根据静压强公式可得 已知断面已知断面1上作用着大气上作用着大气压，因此可以从点压，因此可以从点1开始，通开始，通过等压面，并应用液体静力过等压面，并应用液体静力学基本方程式，逐点推算，学基本方程式，逐点推算，最后便可求得最后便可求得A点

46、压强。点压强。 )( 212gpH)( 2323gpp)( 4334gppH)(4545gpppA将已知值代入上式，得将已知值代入上式，得， 联立求得联立求得 )()()()(45432321ggggpHHA299.3kPa0.8m)(1.5m9.8m/skg/m1010.8m)(2.0m9.8m/skg/m1013.60.6m)(2.0m9.8m/skg/m1010.6m)(1.8mm/s8 . 9kg/m106 .13233233233233Ap一矩形闸门铅直放置，如图所示，闸门顶水深一矩形闸门铅直放置，如图所示，闸门顶水深h1=1m，闸门高，闸门高h=2m，宽，宽b=1.5m，试用解析法和图解法求，试用解析法和图解法求静水总压力静水总压力P的大小及作用点。的大小及作用点。 1. 分析法分析法解题步骤解解：求静水总压力求静水总