体积和表面积公式的推导

1、整理ppt5/1/2022整理ppt9.119.11球的体积和表面积球的体积和表面积整理pptR.34,32:33RVRV 从从而而猜猜测测半半球球?V半球331RV 圆圆锥锥333RV 圆柱圆柱高等于底面半径高等于底面半径的旋转体体积对比的旋转体体积对比一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导整理ppt 学习球的知识要注意和学习球的知识要注意和圆的有关知识结合起来圆的有关知识结合起来，所以我们先来回忆圆面，所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法积计算公式的导出方法 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆的圆分成若干等分分成若干等分，然后，然后如上图重新拼接起来如上图重新拼接起来，把一个

2、圆近似的看成是把一个圆近似的看成是长是长是RR、宽是、宽是R R的的矩形矩形. .一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导那么圆的面积就近似等于那么圆的面积就近似等于RR2 2. .当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时当份数无穷大时，就得到，就得到了圆的面积公式了圆的面积公式整理ppt当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式求值的步骤是：了圆的面积公式求值的步骤是：下 面 我 们 就 运 用 上 述 方 法 导 出 球 的 体

3、积 公 式即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积半球的近似体积推出准确体积分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导整理pptAO,21RRr ,)(222nRRr 已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导解：解：如图，将此球的

4、上半球自下而上如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，22(1) ,nnRrRn则各截面圆的半径为：则各截面圆的半径为：22(1 ) ,iRrRin整理ppt,21RRr ,)(222nRRr 已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导解：解：如图，将此球的上半球自下而上如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，22(1) ,nnRrRn则各截面圆的半径为：则各截面圆的半径为：22(1 ) ,iRrRin23111;RVrRnn各部分可近似的看做一个圆各部分可近似的看做一个圆柱，各部分

5、的面积为：柱，各部分的面积为：22322211(1);RVrRnnn22333212(1);RVrRnnn22321(1)1;iiRiVrRnnn22321(1)1.nnRnVrRnnn整理ppt已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积. .AOB2C2一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导解：解：如图，将此球的上半球自下而上如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，23111;RVrRnn各部分可近似的看做一个圆柱各部分可近似的看做一个圆柱, ,各部分的面积为：各部分的面积为：22322211(1);RVrRnnn22333212(1);RVrRnnn22321(1

6、)1;iiRiVrRnnn22321(1)1.nnRnVrRnnn12nVVVV半球3222212(1)Rnnnn321(1)(21)6Rnnnnnn321(1)( 21)16nnRn222112(1)(1)(21).6nn nn（这个公式今后公：将会学到）式整理ppt已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积. .AOB2C2一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导解：解：如图，将此球的上半球自下而上如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，321(1)(21)16nnVRn半球311(1)( 2)16nnVR半 球1,0 .nn当时33234.3VRVR半球从而343

7、RVR半径是 的球的体积为：定理：这种解题的思想，称为极限思想这种解题的思想，称为极限思想. .整理pptRROORR一个一个半径和高都等于半径和高都等于R的的圆柱圆柱，挖去一个，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点以上底面为底面，下底面圆心为顶点的的圆锥圆锥后后,所得的几何体的体积所得的几何体的体积与与一个半径为一个半径为R的的半球半球的体积的体积相等相等。结论结论:球球1 1V =V =2 23 32 2= = R R3 33 3球球4 4V =V = R R3 322221 1 RR-RR- RRRR3 3整理ppt整理ppt( (2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个

8、平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为顶点球心作为顶点便得便得到到n n个棱锥个棱锥, ,这些这些棱锥体积之和近似为球的体积棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越大越大, ,越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. .( (1)1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果但如果将表面平均分割成将表面平均分割成n n个小块个小块, ,每小块表每小块表面可近似看作一个平面面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似看作球的表面积小块平面面积之和可近似看作

9、球的表面积. .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和小块平面面积之和等于球的表面积等于球的表面积. . 球面不能展开成平面图形球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, ,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极极限限思想思想方法来推导球的表面积公式呢方法来推导球的表面积公式呢? ? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式思路如下：下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式思路如下：二、球的表面积

10、公式的推导二、球的表面积公式的推导整理pptoiS o二、球的表面积公式的推导二、球的表面积公式的推导整理ppt第一步：分割第一步：分割球面被分割成球面被分割成n n个网格个网格, ,表面积分别为：表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV设“小锥体”的体积为：iVnVVVVV 321iSO OO O二、球的表面积公式的推导二、球的表面积公式的推导第二步：求近似和第二步：求近似和ihO OiSiViiihSV 31 由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 整理ppt第三步：化为准确和第三步：化为准确和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “小锥体小锥体”就越接近小棱就越接近小棱锥锥. .RSRSRSRSVni 313131313