第七版D6_2几何应用

1、第六章利用元素法解决利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第六六章 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介绍几的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介绍几何上，物理上实际问题的应用，例如：计算平面图形何上，物理上实际问题的应用，例如：计算平面图形面积，

2、曲线弧长，旋转体体积，引力，做功等。面积，曲线弧长，旋转体体积，引力，做功等。回顾回顾曲边梯形面积曲边梯形面积A转化为定积分转化为定积分 的计算过程：的计算过程： badxxf)(把区间把区间a, b分成分成n个小区间个小区间, 有有 niiAA1总量总量A 对于对于a, b具有区间可加性具有区间可加性,计算计算 Ai的近似值的近似值iiixfA )( )(1iiixx 得得A的的近似值近似值 niiixfA1)( baniiidxxfxfA)( )(lim10 iixf )( iiixfA )( (1) 分割分割.(2) 近似近似.(3) 求和求和.(4) 求极限求极限.n个部分量个部分量A

3、i 的和的和.ab0 x1xiixx 11nxnx0 xyy = f (x)12in即即A可以分割成可以分割成 把上述步骤把上述步骤略去下标略去下标，改写为：，改写为：计算计算 A的近似值的近似值得得A的的近似值近似值得得(1) 分割分割.(2) 近似近似.(3) 求和求和.(4) 求极限求极限.把区间把区间a, b分成分成n个小区间，任取其中一个小个小区间，任取其中一个小区间区间x, x+dx（区间微元）（区间微元），用，用 A表示表示x, x+dx上上的小曲边梯形的面积，于是的小曲边梯形的面积，于是 AAdxxfA )(xy0ab xfy x x+dx xxfAd)( baxxfxxfAd

4、)(d)(lim 则则称为面积元素称为面积元素并记并记 )( dxxfdA 这种方法通常叫这种方法通常叫元素法元素法.面积微元面积微元若总量若总量U在在a, b上有可加性且部分量上有可加性且部分量 Ui f ( i) xi时时, 求求U可分两部进行可分两部进行: (1) 求元素求元素 局部近似得局部近似得 dU = f (x)dx(2) 求全量求全量 元素积分得元素积分得 badxxfU)(应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等例例1.写出长为写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式的

5、非均匀细直棒质量的积分表达式任一点的任一点的线密度线密度是长度的函数。是长度的函数。解解:建立坐标如图建立坐标如图,oxlx x+dx则任意点则任意点x的密度为的密度为)(x step1. , 0 lx 变量step2.? , dMdxxx则则取取微微区区间间step3.dxx)l 0(M 质量 本章用微元法讨论定积分在几何，物理中的本章用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些应用。一些应用。微元法微元法 (Element Method)dxx)( 表示为niiixfU10)(lim一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f

6、(x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个整体量 ;二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法成为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值

7、第二节 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)三、三、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、已知平行截面面积函数的二、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六六章 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 yobxa)(

8、2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd例例1. 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解I: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解II: xxy22oy4 xy例例2. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有y

9、yyd42A机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxoyx例例3. 求椭圆12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxdoyxababoyx一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tttttA机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(1axt

10、对应)(1bxt对应补充例补充例*. 求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa22. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(21

11、2A机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应 从 0 变例例4. 计算阿基米德螺线解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到 2 所围图形面积 . ttadcos82042例例5. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a心形线 目录 上页 下页 返回 结束 oxya心形线心形线(外摆线的一种)2222yxaxa

12、yx即)cos1 ( ar点击图中任意点动画开始或暂停 尖点:)0,0( 面积:223a 弧长:a8参数的几何意义2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a补充例补充例*. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 a2sin2a补充例补充例*. 求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,2cos22ar d2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为4

13、2a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox44答案答案:( (二二) ) 体积体积1旋转体的体积2平行截面面积已知的立体体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周

14、而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上上任任取取小小区区间间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OP以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体

15、积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体旋转体(旋转椭球体)的体积体积元素为于是所求旋转椭球体的体积为abxyOdV y 2dx ， 例7 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的12222byax 解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆22xaabyV y 2dxaa (a 2x 2)dxaa22ab a 2x x 322ab31aa a b 234ab22xaaby 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一

16、周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)( dcV解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(

17、tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 补充补充 如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为dxxfxVbay| )(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a xoab2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道

18、该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan32

19、3 R 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y柱壳法柱壳法3、小结三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即

20、并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例12. 计算摆线)cos1 ()sin