基于Matlab的加窗FFT电力系统谐波分析

1、基于Matlab的加窗FFT电力系统谐波分析目录摘要：11绪论错误！未定义书签。1.1 课题背景、研究意义错误！未定义书签。1.2 谐波的危害与来源错误！未定义书签。1.2.1 谐波来源错误！未定义书签。1.2.2 电力系统谐波的危害31.3 谐波检测错误！未定义书签。1.4 谐波的标准与指标错误！未定义书签。1.5 国内外关于谐波的研窕现状52谐波分析测量错误！未定义书签。2.1 傅里叶级数与系数错误！未定义书签。2.2 傅里叶级数的复指数形式错误！未定义书签。2.3 谐波相量的卷积92.4 傅里叶变换错误！未定义书签。2.5 快速傅里叶算法错误！未定义书签。2.6 傅里叶变换基本思想错误！

2、未定义书签。2.7 几种傅里叶变换的介绍142.7.1 基2FFT.错误I未定义书签。42.7.2 实值FFT错误！未定义书签。2.7.3 部FFT错误！未定义书签。3基于FFT谐波法研究检测方法错误！未定义书签。3.1 FTT算法存在的问题错误！未定义书签。3.1.1 奈奎斯特频率和混叠错误！未定义书签。3.1.2 栅栏效应193.1.3 谱泄露错误！未定义书签。03.2 算法的优化错误I未定义书签。03.2.1 窗函数错误I未定义书签。03.2.2 窗函数的选择错误！未定义书签。3.3 FFT问题的优化错误！未定义书签。44仿真实验与分析错误！未定义书签。4.1 仿真的理论依据错误！未定义

3、书签。4.2 仿真实验与分析错误！未定义书签。5参考文献错误！未定义书签。8致谢错误1未定义书签。0附录错误！未定义书签。基于Matlab的加窗FFT电力系统谐波分析摘要：随着电力系统中非线性电力元件的增多，电网中谐波分量大大增加，谐波污染的情况也口益严重，对电力系统的安全经济运行造成了极大的影响。谐波测量是谐波问题研究的主要依据，实时测最电网中的谐波含量,确切掌握电网中谐波的实际情况,对于防止谐波危害，维护电网的安全运行是十分必要的。对于谐波的分析，常用的分析方法有快速傅里叶变换(FFT),沃尔什变换(Walsh)，哈里特变换(Harley)和小波变换(Wavelets)等。快速傅里叶变换方

4、法因为具有实现简单，精确度较好，功能较为丰富等优点，所以被用来作为常用的谐波检测方法，但是由于谐波分析时同步采样的难度较大，造成采样频谱泄露、栅栏效应，频率混叠等问题，使得算出的谐波精度不高。针对快速傅里叶变换测量谐波精度不足的缺点,通常采用加窗值FFT和全相位FFT等方式进行FFT的优化。本文的重点工作是：分析FTT算法存在的缺陷以及针对这些缺陷进行的改进，分析了多种窗函数的特性，并根据多种穿函数的优缺点，适当的将多个窗函数组合起来，达到更高的精度，仿真的结果表明，这种方法是切实可行的，能够达到足够的精度要求。关键词：电力系统，谐波，FFT,窗函数，加窗。Harmonicanalysisof

5、powersystembasedonMatlabforFFTpowersystemAbstract：Witlitheincreaseofpowersystemnonlmearelectricelements,haiTnoniccomponentisgreatlyincreased,hannonicpollutionisbecomingmoreandmoresenous,thesafeandeconomicoperationofpowersystemcausedagreatimpactHarmonicmeasurementisamainbasisinthestudyofharmonicprobl

6、ems,real-timemeasurementinpowergridhannoniccontent,theexactgrasptlieactualconditionsofpowernetworkhannonic,topreventtheharmofharmonics,maintenanceandthesafetyoperationofthepowergndisveiynecessaiyFortliehannonicanalysis,thecommonmethodsofanalysisarefastFounertransfonn(FFT),Walshtransform(Walsh),Hamet

7、transfoiTn(Harley)andwavelettransform(Wavelets),etcFastFounertransformmetliodforitsrealizationissimple,goodaccuracyandmorefeaturenchandadvantages,itisusedforasacommonlyusedhannonicdetectionmethods,butduetothehannonicanalysisofsynchronoussamplingdifficultyisgreater,causesamplingfi,equencyspectnunleak

8、ageandpicketfenceeffect,frequencymixedstackandothei'issues,makingthecalculatedhaimonicprecisionisnothighInviewoftheshortcomingsoftliefastFounertransfonnformeasuringhannonicaccuracy,theoptimizationofFFTbyaddingwindovzvalueFFTandfiillphaseFFTisusuallyusedThefocusoftinspaperis:analysisofFFTalgonthm

9、inthepresenceofdefectsandimprovementfortliesedefects,analysistliecharactensticsofvariouswindowfunctions,andaccordingtotlieadvantagesanddisadvantagesofwearingavarietyoffunctions,appropnatetliemultiplewindowfunctioncombination,achievehigheraccuracySimulationresultsshovzthat,thismetliodisfeasibleandcan

10、meettherequirementofsufficientaccuracyKeywordspowersystem,hannonics,FFT,Windowfunction,pluswindow1绪论1.1课题背景、研究意义通过示波器，我们可以观测到一个电气信号的、波形，每个时刻的电气信号的幅值。如果把该电气信号加到一个高保真的放大器上面，可以听到一个各种频率的混合音调，所以，电气信号既可以用时域，同样也可以用频域的数据来表示。现代社会，经济的发展离不开能源的供应，大量的电能需求是当今社会的现状。随着越来越多的非线性元件在电力系统中的投入使用，电能质量不可避免的受到影响，大量谐波的存在使得电能

11、质量不能够满足一些用户的需求，对电力系统的安全经济稳定运行带来的是潜在的威胁，同时对电力电子技术的发展同样有者不利的影响。所以，谐波检测作为我们对谐波问题研究的出发点，成为我们重要的研究课题。12谐波的危害与来源1.2.1谐波来源电力系统谐波的定义为电源所产生的频率（或者成为基波频率）的整数倍频率的正弦电压和正弦电流，谐波构成了电源电压和负荷电流的波形的主要畸变成分。谐波产生的机理可以这么来进行简单的阐释：发电部分通常在频率为50Hz或者60Hz的稳定频率下发电，发电机产生的电压的波形在实际生产中可以认为是正弦的。但是当若干个非线性电力元件负荷加入电力系统时，产生的电流并非完全是正弦形的，因为

12、系统阻抗的存在，会造成一个非正弦的电压降，由此，在负载侧所产生的电压畸变，也就是我们所说的电压中含有谐波。电力系统谐波的来源有三个部分:因为发电系统的质量不高而产生含有谐波的电压源：在供配电部分中产生的谐波；在负荷端产生的谐波。对于发电部分的谐波，由于发电机的制作过程中一些发电绕组，铁芯的制作存在些误差，会产生一些谐波，但是当我们对发电机的结构和接线方式做一些处理后，发电端的电压波形基本可以认为是标准的正弦电压波形。供配电部分产生谐波的主要原因是由于变压器的存在，变压器的绕组、铁芯的设计选择，工作磁密的选择，使得磁化电流含有高次谐波。谐波的主要来源是负荷端的各种非线性元件，主要分为以下几种：电

13、弧加热设备，如电弧炉、电焊机等。开关电源设备，如中频炉、彩色电视机、电脑、电子整流器等。交流整流的直流用电设备，如电镀、电解设备、电动机车等。交流整流再逆变用电设备，如变频空调，变频调速机等。12.2电力系统谐波的危害电力系统谐波的危害主要体现在以下方面：（1）谐波的存在使得电网中的一些组件产生了附加的损耗，影响了发输变电以及用电的效率，大量的奇次谐波的存在使得流过中性线时线路发热甚至引起火灾。（2）大量谐波的存在会使得各种用电设备的正常工作受到影响。对于发电机，因为谐波的存在，引起附加损耗外，还会引起机械振动，过电压等危害，降低发电机的使用寿命.对于电力变压器、电容器、电缆也有着过热，绝缘老

14、化，从而影响设备的使用寿命。（3）电力系统谐波的存在还会造成部分电网谐振，从而加大谐波污染对电力系统的危害。（4）谐波会造成电力系统二次侧误动，使得二次侧的设备不能准确的测得系统的运行情况。（5）电力系统谐波会干扰附近通信系统的正常工作。轻则影响人们口常通话活动，降低通话质量。重则导致通信系统的崩溃，使得通信系统无法正常工作。13谐波检测谐波检测是对谐波问题进行分析、研究的基础。只有准确的对谐波进行检测,才能更好的应对谐波污染的问题。谐波检测的主要作用是：（1）对电力系统中谐波进行检测，判断系统中的谐波水平是否符合关于谐波水平的规定。（2）确保电气设备投入后能够正常运行。（3）当系统由于谐波的

15、影响不正常运行时及时检测的系统异常的原因，减少因为谐波造成的损失。（4）关于谐波的指标测试，如谐波阻抗、谐波谐振等。14谐波的标准与指标国际电工委员会（IEC）制订了一系列关于电磁兼容的标准，用以处理电能质量问题。IEC61000系列是国际电匚委员会制定的关于谐波标准的指导性文件，是国际上认可的控制电力系统谐波畸变的资料，其他的还有IEEE519-1992文件,也为谐波处理问题提供了导则。电压波形常用的谐波指标是THD，即以基波分量百分数表示的谐波有效值。thd=桃=2%?-(1-1)公式中相应符号意义为：U”为II次谐波电压有效值，N是所采集到的最高谐波次数，%是基波电压的有效值。但是当使用

16、THD表征电流畸变水平时，因为负荷电流较小使得所测结果造成一定的误差，采用总需求畸变因数（TDD）取代THD。TDD表达式如下：(1-2)TDD公式相应符号意义是n次谐波电流有效值,N为所采集到最高谐波次数,。为额定电流。表11IEC规定的系统谐波电压兼容值奇次谐波（非3的倍数）奇次谐波（3的倍数）偶次谐波谐波次数（h）谐波电压含谐波次数（h）谐波电压含谐波次数（h）谐波电乐含有率（）有率（%）有率（%）635227591.541113.5150360.5133210.280.5172>210.2100.5231.5>120.2251.5,>250.2+

17、12.5".,表1-2公用电网谐波电压限值电网标称电压（kv）电压总谐波畸变率（%）各次谐波电压含有率（%）奇次偶次0.385.04.02.00.64.03.21.6104.03.21.6353.02.41.2663.02.41.21102.0国内外关于谐波的研究现状从交流电投入使用开始，电力系统的设计己经把降低电压和电流的波形畸变作为一项重要内容，使其在一个可以接受的范围内。早在1945年，J.C.Read发表的有关变流器谐波的论文是早期人们对于谐波研究的经典论文之一。在50年代和60年代，高压直流输电技术的产生和发展使得人们对于电力系统谐波的研究更进一步深化，发

18、表的大量关于变流器引起的电力系统谐波问题的研究论文,70年代以来，电力电子技术的发展，电力电子器件的投入使用，电力系统谐波污染的情况也日趋严重。大多数国家制订了各自的谐波标准或推荐规程适应本国的条件，但是随着经济全球化，各国制作的设备彼此交流的需要，促进共同努力制定谐波方面的国际标准。国内关于电力系统谐波研究起步较晚，我国关于谐波研究较有影响力的一部著作是1988年由吴竞昌等人出版的电力系统谐波。近年来关于谐波研究的代表作1994年夏道止等人出版的高压直流输电系统的谐波分析及滤波，其他较为有影响力的著作有唐统一等人翻译外国学者J.Anillaga的电力系统谐波等。有关谐波问题的研究主要分为以下

19、几个方面：（1）与谐波相关的功率定义和功率理论的研究（2）谐波分析以及谐波危害的研究（3）关于谐波的抑制与补偿（4）和谐波有关的测量问题及限制谐波标准的研究2谐波分析测量通过适当的传感器测量或者根据给定的运行条件，通过电气设备的非线性特性计算可以得到该电气设备的电压电流的波形。数学家傅里叶于1822年提出周期为T的连续函数，可以通过直流分量、正弦基波分量与一系列高次的正弦分量之和来表示。谐波分析是计算周期性波形的基波和高次谐波的波形幅值与其相角的过程。谐波分析所得到的结果称之为傅里叶级数，并通过该过程简历时域函数与频域函数之间的关系。2.1傅里叶级数与系数常用的傅里叶级数表达式如下:f(t)=

20、Qo+sm)(2-1)上式表达式中各项参数为：Qo函数f（t）的平均值即，b是谐波的两个分量当谐波用矢量表示是，可以表示为An3n=。九（2-2）4为该波形的幅值，其值为J即2+%2,%是该波形的相角，其值为tan-1纹NOn对于给定的函数f（t）,将式（2.1）的两边在一个周期内进行积分，通常取T/2到T/2,可以求出来f（t）的平均值劭：ff/27出可品色。+说=3cos（竿）+bnsi而（竿）dt（2-3）对上式等式右边逐项积分可以求得：%=2"康Q4）用语言描述即为的为在一个周期内函数f（t）下面的面积除以该波形的周期T。对式（2-1）进行变形处理，表示出,bno等式两边乘以

21、cosEj苧），同样在一个周期内进行两边积分运算，如下:CI；2f©8典7mg21ao+£片=1/8s(竿)+bnSil】(竿)8s(竿)dt=a。，*2cos(罕)+Ea胤2cos(竿)8s(2*dt+由数学运算可得，等式右边第一项关于余弦函数在一个周期内的积分为0,九项所乘系数，对于所有的n、m值，由于正余弦函数正交，其积分结果亦为0。所以，所有九项为0。当n、m值相等时，由于正交，含有斯的因数也是。.在n=m的情况下，式(2-5)可以化简为：带理2connt/T)dt+所以，系数“qgjf(t)co或n>1(2-7)对手系数益同样有，对(2-1)式进行变换，等式

22、两边同乘以sin骁m】t/T),即可确定系数九，其表达式如下：n=fJ/2/(Osiin-nt/T)dtn>1(2-8)对于积分区间的选择，由于上述若干式的对称性，积分区间可以任取tT(t+Q,通常，我们用角频率表示式(2-4)>(2-7).(2-8),取T=27i,w=2n/T=27tf,所以，上述三式表达如下：a0=f-nf(3£)d(cot)(2-9)册8Si®3t)d(3C)(210)瓦=5£f(3t)sii屯S3t)d(3t)(2ll)综上,有隼尸ao+E二i«ncos(neot)+bnsinEiicot)(2-12)由积分运算法则

23、可知，积分区间1/2,172可分解为卜172,0,0,172两个积分区间，所以，式(2-7)(2-8)可以分解变换为以下形式：%q/：/2fa)cos簪7nU/T)d£9C772f(t)cosi®7r"/T)d£(2T3)加3中2f©si心(2mt/r)dYCdt(2T4)应用积分运算的性质，将(2-13)式第二个积分中t用t代换，可以得到以下表达式：斯q/；"f(t)cos遵772f(T)c。就-2mt")d(t)+f(T)c。巫陟滋")阳215)相应，可以对瓦表达式进行变换：九f仁兄丁一f(一1)网】逊mt/T

24、)阳216)关于波形的分类，可以分为奇对称和偶对称，另外还有半波对称几种，当波形为奇对称波形时，有以下关系：KO=-f(-t)则不论n取何值，项的结果均为0,而瓦4片2/sin(竿)阳2T7)所以，若函数为奇函数，则奇傅里叶级数中只含有正弦项。当波形为偶对称时,即f(t)=f(-t),则对于任意一个n值，都有瓦=0,而册宁广之f(t)co趣2m£/T)dt(2l8)所以对于偶函数，傅里叶级数只含余弦项。当选择不同的时间参考点的时候,一些波形可以为奇函数或者偶函数，如图:图2-1信号波形该波形为奇函数，若将参考点(即原点纵轴)平移Y/2。则可以将该波形函数看作为偶函数。关于半波对称，本

25、文不做过多描述。2.2 傅里叶级数的复指数形式为了从理论上的傅里叶级数分析过渡到对电网实际波形实用而快速的谐波分析，这需要利用傅里叶级数的指数形式，直接计算各次谐波的幅值和相位。公式参考如下：ejnbjt=cos(na)t)+jsin(nu)t)ejna)t=cos(na)t)-jsin(na)t)所以，式（242）可以表示为好尸ao+2'i（包普e川.+%警e-川武）（）2.3 谐波相的卷积通过一个完整周期T的信号采集来观察该函数。等效于用一个长度为T的矩形脉冲乘以该时域信号，在频域中与之对应的是这两个函数频谱的卷积。可以通过下图来更为形象地理解上述过程。时间窗口时间腐口与信号的来积

26、2-2卷积傅里叶级数的离散卷积，即两个时域波形函数的逐个点的乘积。当两个谐波相量（不同频率）进行卷积时其结果为两个谐波相量,频率分别为原相量的和、差。通过三角变换公式，可以计算两个正弦波形之积，再通过变换转回相量的形式。假设谐波次数为k,in的两个相量Ak、Bm，利用三角变换式积化和差，可得以下等式：Aksin(ka)t+3卜)Bmsin(ma)t+乙BQ=m)3t+z/lfc+4Bm+tt/2)sin(k+m)3t+tt/2)(2-20)对上式进行欧拉变换，转换为相量形式，所化简过程如下:4颔m=；I411Bm|回(从"Be+"/2)(k-m)ei(<Ak+乙Bm+

27、7T/2)k+mi由于k,m的取值不同，频率之差有存在负值的可能，为了避免出现负值,从而产生负谐波，所以有以下公式表达：4Bm=$(4k8m*)A_m-(km)fc+m应1】1Ak=(AkBm*ymk-(4Bm)k+mkm(2-22)经研究可得，两个非正弦的波形信号的乘积，对应的是这两个谐波相量傅里叶级数的离散卷积。/a(t)A(t)=Soh14kls加(k3t+Z-Ak)SoABmsin(rna)t+Z-Bm)=£/£/Mk|sin(ka)t+/-Ak)Btnsin(ma)t+Z5zn)(2-23)对(223)进行改写，可以得出：C-24)2.4 傅里叶变换经由上述描述可

28、知，对于一个连续的时域信号，可以通过傅里叶级数这个工具在频域中得到一个离散的频率序列。因为T、s二者的关系成负相关，当T趋于无穷大的时候。谐波频率间隔s也就无限趋于Oo则傅里叶变换与其相应的傅里叶逆变换表达如下：傅里叶变换：M)=Rx(t)e-/2“"dt(2-25)傅里叶逆变换：x6=Cx(f)32寸ta(2-26)对于表达式x(D,一般使用复数表达式：X(f)=ReX(O+jniiX(f)(2-27)由三角函数性质可得，X的实部：ReX(f)=£x(t)co麹2几")或(2-28)同理可知，X的虚部：ImX=-1二x(t)sini侬7rft)dt(2-29)所

29、以，由相量表示方式可知，该信号幅值为:10(2-30)|X(f)|=J(Re(X(H)2+(/m(X(f)2该信号对应幅角：W(0=tanRe(X(/)(2-31)由(227)(2-31)式可知傅里叶反变换表达式可以写成幅值与相位分量的函数:x(t)=£|X(/)|8s(2tt/1-W)df(2-32)傅里叶变换按照函数的不同分为连续傅里叶变换(FT)和离散傅里叶变换(DFT)两种。对于连续傅里叶变换，若连续非周期信号f(t)的傅里叶变换存在，需要满足以下两个条件：(1)班)满足狄利克雷(Dirichlet)条件:在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；在一周期内，极

30、大值和极小值的数目应是有限个：在一周期内，信号是绝对可积的(2) f(t)在有限区间上绝对可积则定义该函数的傅里叶变换为：双8)=/:/(雄一川阳233)对应的傅里叶逆变换表达式为：的=5£>3)/”3(234)上述而个变换，即为一个函数的时域频域之间的变换。离散傅里叶变换是信号处理中最常用最基本的运算，其定义为；给定的离散时间序列，勺勺勺-1，该序列可以绝对求和。则由离散分量构成的傅里叶变换对如下：X伉尸检而/Nq35)及相应的傅里叶逆变换：x&)之忆US)/加川q36)假定上两式时域函数与频域函数都是周期的，每个周期由N个采样值，如下图所示：11由于实际采样的数据众

31、多，计算量较大，通常借助于计算机完成这一工作过程。对式(2-35)变换，令W=e12"V,则q35)可变为如下：X(A)42n；0X(tn)Wkn(2-37)上式可用下图所示矩阵表表示,*(工)X5)结果如下:1酎阳工)2-4DFT转换矩阵或者简写为:XG)q"knx&)(238)X(A):频域内N个函数分量的一个矢量x(tn)：时域内N个采样函数的一个矢量由上可知，当N值取值过大时，计算量较为繁琐，需要很快的计算速度才能完成该变换需要的计算量。所以此方法并没有获得较为广泛的应用。2.5 快速傅里叶算法12N值取值的不同，傅里叶变换的算法运算量也不同，当N取值较大时

32、，运算量较大，需要的代价也较大，甚至说难以办到。为了解决这一问题，引出了快速傅里叶算法(FFT),FFT并不是一个新型的算法。由上述矩阵可知，X(A)中元素有许多相似的特点，利用其元素的周期性，对称性和正交性，可以使运算量大大减少。2.6 傅里叶变换的基本思想畋“是一个周期函数，利用它的基本性质，可以减少运算量。1对称性：畋"+"2=畋"239)2周期性：WNk+N=WNk(2-40)3可约分性：Nnk=nNnmk(2-41)利用上述性质，可以对离散傅里叶变换中某些因子进行合并，并且可以把输入信号分解为点数更小的组，是运算难度降低。基于上述思想，FFT基本上可以分

33、为两类：按时间抽取(DIT)、按频率抽取(DIF)。2.7 几种傅里叶变换的介绍2.7.1 基-2FFT该方法是FFT算法的标准版本。通常应用基2FFT来处理数字信号。虽然目前已经开发出各种更为先进的算法，但是基2FFT仍然使用较为广泛。其原理是将输入信号进行分解，使之成为点数更小的组，进而再对该信号进行傅里叶变换。这样的分解过程是持续进行的，一直到最后把该信号分解成为没两点为一组的信号。该方法要求信号的输入点数N为2的指数累，即N=2d这样的信号分解需要经过m步的分解过程。第I步第2步笫3步x(4a2s刈X43典0)刈3)W)M5)邪)图2-5基2FFT分解13上图是基2FFT算法中8点DF

34、T分解到2点DFT。根据上图可以更为直观的理解基2FFT算法的运算过程。2.7.2 实值FFT通常FFT算法处理的数据为复乘、复加的运算，但是输入的数据有可能是实数。为此，通过一个N点的E计算两个长度为N的DFT,其理论依据是DFT的线性特性和实数频谱的复共辄特性，即：NX(k)=X(NK)Jc=l,，彳1(242)x(o)xd)均为实数，将一个复数序列用两个实数序列表示：Xn=x1n+jx2n(2-43)由DFT可得：X(k)=X1(k)+jX2(k)(2-44)由傅里叶复数表达方式可得：Xi(k)=#X(k)+X*(N_k)X2(k)="x(k)X"(Nk)(245)由

35、(2-45)可知，还原DFT所需的额外计算量较小因为均也)，X?*)代表了实数的DFT,实数序列必须具有复共规的性质(参见(2-42)式)。因为当k=0或者0时，所以计算结果为实数所以对于两个长度为N的实数序列来说，总的计算量为一个N点的FFT另外有2N-4加法，即相对于标准FFT来说，计算量为原来的一半。2.7.3 局部FFT当对一个输入序列分析时，我们并不是需要对全部的序列进行分析而是只对其中部分一个窄带感兴趣，即对于长度为N的输入序列，只需要小于N的输出值，由此亦可以减的运算量。常用的方法有以下几种：(1)数字滤波器直接利用数字滤波器，数字滤波器在我们要研究的频率点产生谐振，单独分析该序

36、列部分。(2)FFT剪枝14EKYffe林图2-6FFT剪枝X彳1彳XXXXX*.«KXXXXxxxxxxxxXXXXHXXXKKXXX工xr上图中实数用x表示,复数用O表示。通过弧线连接的复数互为共枕。实线所表示的是需要计算的蝶形。该方法是通过E剪枝将上述流程图中不需要输出的分支除去，从而减少大量的计算量。（3）转换分解（TD）法有下列表达式N=P*Q,即将N点的离散傅里叶变换分解为Q个P点的DFT,对每个P点进行DFT的重组计算（乘以相应因子并求和）来得到S个输出当然,这S个输出点不一定在一个序列中。例：N=8的DFT旋转分解变换框图：HFTs重新也合一冬一rLrLrLIJnJu

37、11JO123rLrlrL1ft1Xrxx323rLrLrLuu1JJouPDJTJIJuw口r2口图2-7TD法图解上图表示的是八点的DFT变换分解法。其中Q=2,P=4,只需耍计算S=3个输出。TD法的计算量如下:15#mid=4QS#add=4QS-2Stotal=8QS-2S(2-45)为了获得TD全部的计算量:,Q个长度为P的分裂基数的运算量需要加进去。当考虑分裂基之后，总的运算量：札戈球=2Nlog2P-2+(3+4S)/P-2S(2-46)下表列出几种FFT算法计算不同输入输出DFT的运算量，数据表示TD节省的计算量超过75%。表2一8不同FFT算法的输出DFT计算量的对比DFT

38、的点数计算量减少计算量(%)输入(N)输出s标准FFT分裂基TD+RFFT(0-5HZ)RFFT512923040717443028131024175120016390104307962048331126403689024734780409665245760819265743876681921295324801802301310387543基于FFT谐波检测方法3.1FFT算法存在的问题311奈奎斯特(Nyquist)频率和混叠假定一个连续时间信号x(t),其含有最高频率为儿厂，米样频率为x(n)=x(n7；)。假定采样频率为以=±大于2分w,则可以从x(n)中准确重构x(t)o最低

39、采样频率2篇*叫做奈奎斯特Nyquist采样率图军1采样案例采样定理包括了两点:首先，它指出信号可以从采样序列来重构，虽然没有规定重构的算法;其次，它给出了由连续时间信号x含频率成分决定的最低采样率2fmaxo即若要正确传递被采样系统信息，采样频率至少为原信号最高频率的两16倍。研究中人们将采样频率一半的频率，称为奈奎斯特频率。将频率高于奈奎斯特频率的频率表示成负频率，这意味着如果采样速率低于波形中最高频率的二倍,那么，这些较高频率分量将以低于奈奎斯特频率的面貌出现，使分析发生误差。由于只在离散时间点上采样，有可能在两个采样点之间有些高频分量变化许多周期，这些高频分量的信息，就会因为离散采样而

40、丢失。高于奈奎斯特频率的分量错误地在低频中出现，称之为“混叠”，如下图：采样间隔(a)图军2混叠现象上图中图像表示函数是：(a)x(t)=k(b)x(t)=kcos(2imft)对于图a,图b,这两种信号都可以解释为直流(c)图的采样表示在奈奎斯特或者采样频率之上或之下两种不同频率的信号。为了避免“混叠”现象，通常我们让时域信号通过有限带宽的低通滤波器，该低通滤波器的理想情况如下图：17图3-3低通漉波器漉波波形假定该滤波器的截止频率力与奈奎斯特频率值相等。因此，如果对滤波后的信号采样并作DFT,则其频谱没有混置效应，原信号中频率低于奈奎斯特频率的分量能得到准确表述。但是，在低通滤波器滤波的过

41、程中，高于奈奎斯频率的信息却因为“混叠”而消失掉了。3.1.2栅栏效应栅栏效应，也称栅栏效应，对任意一函数进行采样操作，即抽取采样点上对应的函数值。其效果如同透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余的景象均被栅栏挡住而是为零，这种现象称为栅栏效应。图3-4采样实例上图所示:在进行谐波分析时,通过信号采样和截断，其频谱在频域上是连续的。N点DFT式在频率区间0,2兀上对信号频谱进行N点的等间隔采样，使用FFT计算频谱，只能得到若干个离散的频谱点x(k),这些点一般取在基频的整数倍上，因而不可得到连续的频谱函数。就像通过一个栅栏观看信号的频谱，只能看到上信离散点号的频谱,其

42、余部分的频谱成分被遮挡，而不能观察到。3.13频谱泄露18对于频率为人的正弦序列，它的频谱应该只是在人处有离散谱。但是，在利用DFT求它的频谱时，时域做了一个截断处理，结果使信号的频谱不只是在人处有离散谱，而是在以人为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从力频率上“泄漏，出去的，这种现象称为频谱“泄漏”。3.2 FFT算法的优化32.1 窗函数在对时域信号的实际测帚中，所取得信号观测时间总是有限的。通常将该过程称作“加窗、在对于非稳态信号测量时，通常采用此方法。将非稳态信号分成若干准稳态信号，是准稳态信号具有无限周期的性质。对于窗函数的作用，可以这么理解:将连续时域函数限制于有限的时

43、间段内，将这有限时间段之外的信号当作零。相当于将时域信号与对应时间点的窗函数相乘。下图给出矩形窗函数和其频谱：矩形窗时域波形矩形窗频域波形3-5矩形窗时域、频域波形32.2 2窗函数的选择为了减少频谱泄露这一问题的影响，我们通常要选择合适的窗函数对信号进行处理。窗函数的基本要求是：窗函数主瓣尽量窄，其旁瓣要尽量小。通过选择窗函数，让我们感兴趣的频谱分量所占比重尽可能大，减少其他频谱分量的影响。下面给出几个典型的窗函数对于矩形窗的定义：w(t)=1'对于一0,其他，(34)具有"的噪声或有效带宽，T是窗口宽度。由上图可知，矩形窗旁瓣的峰值较大，它们岁频率的衰减速度较慢。即用矩形

44、穿函数对信号进行分析时，与基波相近的频谱分量对基波干扰较大。针对矩形窗函数缺陷，采用三角窗函数做进一步优化。三角窗的定义是:191+对干9<t<0w(t)=<l-y,0<t<(3-2)0,其他三角形窗是对矩形窗的一个简单改进，二者幅值都是从窗的中心到窗边衰减,但是这种减少的代价是主瓣的宽度的增加，同时频率的分辨率也会随之下降，下面给出三角窗，矩形窗的时域、频域的波形对比：-M20N/201020304050600102030405060图军6矩形窗和三角窗的时域、频域波形频域波形。前两图为矩形窗时域、频域波形，后两图为三角窗的时域、在实际频谱分析中应用较为广泛的是

45、国际标准窗函数，即余弦平方或汉宁窗,定义如下：W(t)=g(1cos(),对于一<Tv9(3.3)式(3-2)中两项可以变换为余弦的平方。正弦函数较易产生该函数，分析中利于余弦数值表得此函数该函数主瓣较矩形窗打，但旁瓣的衰减速度比矩形窗快，因此，此窗函数使得信号频谱泄露较小。下图为国际标准窗函数时域频域图：20-10-20-30-40-50603-7国际标准窗函数时域频域图对标准窗进行变换，将其放在一个小的矩形底座上，就得到了哈明窗（Hamming）»哈明窗的表达式如下:W(t)=0.54-0.46cos»-1<t<13-4)图军8哈明窗函数的时域领域波形

46、为了更直观的表现矩形窗与标准窗的优缺对比，可借助标率产”采惮周篇）0.1/0.2/0.4/D.6/0.V/2/4/(m)«Ms图冬9不同窗函数波形的对比上图中所选用函数为:实线表示矩形窗函数，虚线表示的函数是汉宁窗函数,点化线是所表示的函数是哈明窗。矩形窗的第二个旁瓣与汉字窗的第一个旁瓣位置相同但相位相反，二者可以按比例相互抵消，从而使最大旁瓣谱峰降低。理想的窗函数：我们定义具有单一主瓣没有旁9瓣的函数为理想窗函数，即高斯函数。高斯函数形式：W（t）=exp（鼻）（3-5）高斯函数通过傅里叶变换，得到另一高斯函数。它形状为一个倒置的抛物线,并且越来越陡，实际运用中只截取高斯函数三倍的

47、半幅宽，即标准差的7.06倍。结果是在频率分析谱上出现了旁瓣，但是均低于44dB,主瓣的宽度比上述窗函数要宽，大约为1.9/T。反双曲线余弦定义：（y-tan-1对方无|V10csch1X=2"r（3-6）lnx+y/x2-1引力x|>1.0该函数的特性为：假定旁瓣峰值给定，则此函数能提供最窄的主瓣带宽。3.3 FFT算法的优化减少“混叠”（1）对采样频率进行修改，适当提高信号采样频率，在提高采样频率的同时，要注意硬件设施的选择，同时要考虑到存储器容量和分辨率的要求。（2）采用抗混置滤波器。对频率大于号的频率部分进行滤波，使其消除。但此方法需要较多的硬件，由于滤波器滤阻带的存在

48、，并不能完全消除频率大于今的部分，同时采用此方法会造成部分信号不能被有效采集。减少栅栏效应（1）在信号长度N不变的条件下，适当提高采样频率人。此方法同样要考虑到硬件设备的选择。对存储器容量有较高要求，同时降低运算的速度。（2）假定采样频率以不变，增加信号长度N,随着采样点的增加，采样信号的分辨率也增加。但会大大增加运算量。减少频谱泄露（1）对被采集的信号的时域进行处理，使其满足整数周期截断的要求。但是对于实际信号来说，波形一般都存在波动，很难做到截断完整的周期。22(2)由上文可知，窗函数的选择影响信号的采集分析。合适的窗函数可以减少频谱的泄露。尤其当选择的窗函数在边界取值接近于零的情况下，经

49、过加权使信号数值变为很小的数值。从而使信号在边界处能够有效的连续。4仿真试验与分析4.1 仿真的理论与依据由于FFT在对谐波分析时存在着问题，通常采取一些方法对FFT进行优化改进。最常用的方法是加窗FFT,根据窗含数的特性，选择合适的窗函数进行FFT变换，使得谐波信号的处理满足对于谐波分析精度的要求。窗函数的作用就是将时域内信号逐点与对应时间点的窗函数相乘。在对谐波进行分析时，窗函数的选择对于加窗E算法的结果影响很大，其中包括窗函数的项数，主瓣宽度的大小，最大旁潮值，旁瓣的衰减幅度以及旁般的衰减速率，这是因为不同的窗函数，产生的泄露不一样，频率分辨能力也不一样。一般对于窗函数的要求是：(1)窗

50、函数的主瓣尽可能窄，以获得较陡的过渡带。(2)尽量减少窗函数窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是使能量尽可能集中于主瓣，增大阻带的衰减。信号的截断产生了能量泄露，而FFT算法又产生了栅栏效应，我们可以选择不同的窗函数对FFT的误差进行抑制。窗函数能够改变频域波形，让频谱显示为需要的形状，但是本质上并不能消除频谱泄露。根据不同的标准需求，选择合适的窗函数使得对谐波分析的结果更接近标准。因此，如何选择窗函数显得极为重要。4.2 仿真实验与分析为了更好的体现窗函数的作用，利用Matlab进行仿真实验比较。根据一般电网的信号特征，假定电路中信号为以下信号：f(t)=10*sin(l00*n*t+7i/3)

51、-H).3*sin(200*7i*t+7i/4)+0.6*sin(300*7i*t+ji/6)+0.1+sin(400*7i*t+ji/3)-H).5*sin(500*7i*t+7i/4)-0.1*sin(600*n*t-F7i/5)+0.2+sin(700+7i*t+7i/10)(4-l)上式(41)表示:在Matlab下对该电网电压信号进行仿真分析，根据采样的一般规则，假定其采样频率力=6400HZ,长度N=512,采用加国际标准窗函数的方法对该信号行处理。仿真过程与结果如下:经上文分析对比，为了更好的突出窗函数对于FFT的优化作用，在对比几种窗函数的特性后，选择了以国际标准窗为窗函数对电

52、压信号进行分析，国际标准窗的时域频域波形如下图：23-M20M2国际标准窗的时域、频域波形根据窗函数的选择要求：主瓣尽量的窄，旁瓣下降的速率快，同时旁瓣的幅值较小。次波形能够使能量尽可能多的集中于波形主瓣部分，使得我们对于原始信号的处理效果更佳，能够更好的研究和分析我们需要研究的谐波部分。在一定程度上减少了频率混登，栅栏效应以及频谱泄露等谐波分析中常见的问题。下面是仿真实验的结果图，根据是否使用窗函数对信号进行处理，有如下结图4-2未加窗的信号时域波形图4-3使用标准窗优化后的信号时域波形24105001002003004005006007008009001000频率(Hz)图4-4未使用标准

53、窗函数信号频域波形信号幅频谱图频率(Hz)4-5使用标准窗优化后的信号波形分析由仿真实验结果可知，选择合适的窗函数能对谐波信号进行有效的处理，减少了不必要部分的干扰，是我们能够更好的研究需要研究的部分，在一定程度上减少了FFT的缺陷与不足，降低了频谱泄露和栅栏效应的影响。参考文献王兆安，杨君，等谐波抑制和无功功率补偿M北京:机械工业出版社，199855-612唐求,王耀南，等电力系统谐波及其检测方法研究J电子测量与仪器报,20095,23(5)29-33郑恩让，杨润贤，等关于电力系统FFT谐波检测存在问题的研究J继电器，200693(18)52-56张伏生，耿中行，等.电力系统谐波分析的高精度

54、FFT算法J中国电机工程学报,199903,19(3):63-665付周兴，赵永秀电网谐波测量技术的现状与发展J工矿自动化,20044(2):18-21。6林海雪，范明天，等电力系统谐波M中国电力出版社，1998：155-170薛军，汪鸿非线性负荷及其对电力系统的影响，高压电器J,2001,37(6)21-23258林海雪从IEC电侦兼容标准看电网谐波国家标准,电网技术J,1999,23(5)64-679李红，杨善水傅立叶电力系统谐波检测方法综述，现代电力J,2004,21(4)394410杨冠鲁，姚若苹，等采用加窗插值FFT与逐幅谐波消去法的电机谐波算法J福州大学学报，2006,34(3):352-35611潘文，钱俞寿，等.基于加窗插值EFT的电力谐波测量理论g双插值FFT理论J电工技术学报，1994,9(2):53-5612JamVK,CollinsWL,DavisDCHigh-accui-acyanalogmeasurementsviainteipdatedFFTIEEETransactionsonInstrumentation121andMeasurement,1979,28(2)113-12213张介秋,梁昌洪,等一类新的窗函数卷积窗及其应用J.中国科学E