基本不等式非常全面96099

1、实用标准基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若a,bwR,则a2+b2之2ab2.2(2)若a,bwR,则ab<ab22、基本不等式一般形式(均值不等式)若a,bwR*,则a+b>2Vab3、基本不等式的两个重要变形(1)若a,bwR,则a+b><ab2(2)若a,bwR*,则ab<lab),2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“二”二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式21、设a,b均为正数，证明不等式：JOBx11+-ab2、已知a,

2、b,c为两两不相等的实数，求证：2.22abcabbcca2一2213、已知a+b+c=1,求证：a+b+c>-34、已知a,b,cWR+,且a+b+c=1,求证：(1-a)(1-b)(1-c)_8abc5、已知a,b,cWR*,且a+b+c=1,求证：6、(2013年新课标n卷数学(理)选修45:不等式选.讲2.22abc,n)1.bca4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1(1)右xA0,则x+之2(当且仅当x=1时取=)x1(2)若x<0,则x+二2(当且仅当x=1时取“=”)x(3)若ab:>0,则+b之2(当且仅当a=b时取"=”)ba22

3、(4)若a,bwR,则ab<(-ab)2<-22(5)若a,bWR*,则，诲112.2Iab特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取一6、柯西不等式1-1Iab.c设a,b,c均为正数，且a+b+c=1,证明:,.1(I)ab+bc+ca<-；(37、(2013年江苏卷(数学)选修45:不等式选讲已知a>b>0,求证：2a3-b322ab2-a2b(1)若a,b,c,dwR,则(a2叱2上2右2)4ac出)2(2)若a1，a2,a3,b1,b2,b3亡R,则有：(a；a22232)(162b22b32)(aq-a2b2a3b3)2(3)设a，a2,1an与6，b

4、2,1bn是两组实数，则有(a；a22a；)”；凡2,bn2)(ama2b2+=狗"2题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域21(1)y=3x+-2(2)y=x(4x)2x文档大全实用标准“、1,c、1(3)y=x+(xAo)(4)y=x+(x<0)xx52、已知x<-,求函数y=4x_2+的取大值;44x-5题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）41、已知x>2,求函数y=2x4+的最小值;2x-4题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当。力<4时，求y=x（82x）的最大值；变式1：当口<木<4时，求y=4x（82x）的最大值;

5、4变式1：已知x>2,求函数y=2x+的最小值;2x-44变式2：已知x<2,求函数y=2x+的最大值;2x-43变式2：设0<x<一,求函数y=4x（32x）的最大值。2一一一，52、若0<x<2,求y=Jx(63x)的最大值;练习：1、已知x>,求函数y=4x-2+1的取小值;44x-5文档大全实用标准变式：若0<x<4,求y=v,x(8-2x)的最大值;3、求函数y=必1+<5-2x(-<x<-)的最大值;-22(提示：平方，利用基本不等式)11变式1:已知a,b>0,a+2b=2,求t=十的最小值;ab28.

6、一一变式2：已知x,y>0,一十一=1,求xy的最小值;xy变式：求函数y=4x-3+，11-4x(3<x/U)的最大值;4411变式3：已知x,y>0,且一+=9,求x+y的最小值。xy题型五：巧用“1”的代换求最值问题一.-一,111、已知a,b>0,a+2b=1,求t=十的最小值;ab法一：19变式4：已知x,y>0,且一+=4,求x+y的最小值;xy文档大全实用标准变式5:x8变式：求函数y=8(x>1)的值域;x-111(1)若x,yA0且2x+y=1,求+的最小值；xy(2)若a,b,x,ywR+i_+-=1,求x+y的最小值;xy2、求函数y=

7、''x*2的最大值(提示：换元法)2x5变式6：已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5,若14.一一存在两项am，an,使得%-aman=4a1，求一十一的最小值；mnx1变式：求函数y=的最大值;4x9题型六：分离换元法求最值(了解)1、求函数y=x27x10x1(x#1)的值域;题型七：基本不等式的综合应用1、已知10g2a+log2b之1,求3a+9b的最小值文档大全实用标准2、（2009天津）已知a,b>0,求工+1+2TOE的最小值;ab变式1：已知a,b>0,满足ab=a+b+3,求ab范围；变式1：（2010四川）如果a>b>0,求关

8、于a,b的表达,、211一一式a+的最小值；aba（a-b）11变式2：（2010山东）已知x,y>0,+2x2y求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当aQa¥1时，函数y=loga（x-1）+1的图像恒过定点A,若点A在直线mx-y+n=0上，求4m+2n的最小值；变式3：（2011浙江）求xy最大值;已知x,y>0,x2+y2+xy=1,3、已知x,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y最小值;文档大全4、（2013年山东（理）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2z=0,则当&取得最大值z-,212时，一*

9、一一的最大值为（）xyz实用标准A.0B.1D.3（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）11n2、已知x>y>z>0H+之恒成立,x-yy-zx-z如果nWN求n的最大值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）2变式：设x,y,z是正数，满足x2y+3z=0,求的xz最小值;14变式：已知a,b>0满则-+-=2,右a+b之c恒成立,ab求c的取值范围；题型八：利用基本不等式求参数范围1a,一1、（2012沈阳检测）已知x,y>0,且（x+y）（+a）之9xy恒成立，求正实数a的最小值；文档大全题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式ab（a,b,

10、c,d二R,当且仅当一=一；即ad=bc时等w成立）cd若a,b,c,dwR,则（a2+b2）（c2+d2）之（ac+bd）2实用标准2、二维形式的柯西不等式的变式(1)a2+b2Jc2+d2>|ac+bd(a,b,c,dRR,当且仅当a=;即ad=bc时等号成立)cd(2).a2b2,c2d2-ac|-|bdab(a,b,c,dwR,当且仅当一=一；即ad=bc时等w成立)cd(ab)(cd)_(.,aciJbd)2ab(a,b,c,d>0,当且仅当一=一；即ad=bc时等w成立)cd析：(x-2y2z)2<(x2y2z2)12(-2)222=49=36，x2y+2z最小值

11、为-6此日寸；W=i2（A22-2x二34-4，y=一,z=33-22222、设x,y,z=R,2xy2z=6,求x+y+z的最小值m,并求此时x,y,z之值。.,、，424、Ans：m=4;(x,y,z)=(-,)3333、二维形式的柯西不等式的向量形式a<aP（当且仅当百=0,或存在实数卜,使？=卜7时，等号成立）4、三维柯西不等式若a1,a2,a3,bi,b2,b3R,则有：（a；a22232）（心2b22b32）一（aQa2b2,a3b3）2（ai,bjWR,当且仅当曳=0=包时等号成立）b1b2ba5、一般n维柯西不等式设阚©2,；工与bi,b2,'bn是两组实数，则有：3、设x,y,zwR,2x3y+z=3,求x2+(y1)2+z2之最小值为,此时y=(析：2x3y+z=3u2x3(y1)+z=0)一222-2222(a1a2一一an)(6b2bn)_(a-a2b2：心and)（ai,biwr,当且仅当包=生=组时等号成立）b1b2bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设x,y,zWR,若x2+y2+z2=4,则x2y+2z的最小值为时，（x,y,z）=4、(2013年湖南卷(理)已知a,b,cw,a+2b+3c=6,222则a+4b+9c的