小学奥数最短路线问题有答案

1、小学六年级奥数教案一运筹学初步本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。1 .统筹安排问题例1星期大妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是

2、：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。选§虹油伊洗衣机洗衣金晾衣服,1040*-10*如，擦玻璃15收拾鼠房例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。2 .排队问题例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10,12,15,20和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时问？分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。甲先给

3、需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10X3）分；然后，甲给需15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（15X2）分；最后，甲给需24分钟的人理发，无人等待。甲理发的三个人，共用（10X3+15X2+24）分，乙理发的两个人，共用（12X2+20）分。总的占用时间为（10X3+15X2+24）+（12X2+20）=128（分）。按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了10+15+24=49（分）。如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么

4、做个调整，甲依次给需10,12,20分钟的人理发，乙依次名&需15,24分钟的人理发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全部理完所用时间为10+12+20=42（分）。例3车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。现有两名工作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？分析与解：因为（18+30+17+25+20）+2=55（分），经过组合，一人修需18,17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟。上面只考虑修复时间，没考虑经济损失，要使经济

5、损失少，就要使总停产时间尽量短，显然应先修理修复时间短的。第一人按需17,18,20分钟的顺序修理，第2人按需25,30分钟的顺序修理，经济损失为5X（17X3+18X2+20）+（25X2+30）=935（元）。3 .最短路线问题例4右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）。小明从A到B最快要几分钟？分析与解：我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。从A到O有两条路，ZCfO用6分钟，A-F-O用7分钟，排除后者，可将FO抹去，但AF不能抹去，因为从A到B还有其它路线经过AF,简化为左下图。从A到E还剩两条路，A-C-GHE用12分钟，A-C-CfE用10分

6、钟，排除前者，可将CGGE抹去，简化为右上图。从A到D还剩两条路，A-CCfD用12分钟，A一4D用13分钟，排除后者，可将AHHD抹去，简化为左下图。从A到B还剩两条路，2CEB用17分钟，A-CAB用16分钟，排除前者，可将OEEB抹去，简化为右上图。小明按A-C-O»AB走最快，用16分钟。4 .场地设置问题例5下图是A,B,C,D,E五个村之间的道路示意图，。中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。分析与解：我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。例如比

7、较A和C,若设在A村，则在C村一侧将集结20+20+35+50=125（人），这些人都要走AC这段路；若设在C村，则只有40人走AC这段路。对这两种方案，走其余各段路的人数完全相同，所以设在C村比设在A村好。从上面比较A和C的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，只需比较两个场地集结的人数多少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。同理，经比较得到C比B好，D比E好。最后比较C和D。若设在C村，则在D村一侧将集结35+50=85（人）；若设在D村，则在C村一侧将集结40+20+20=80（人）。因为在D村集结的人数比C村多，所以设在D村比C村好。经过上面的比较，最合理的方案是设在D村

8、。不难发现，本题的解法与第27讲例2的解法十分类似例6某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的AG七个居民区，每两个居民区间的距离如下图所示（单位：千米）。管道有粗细两种规格，粗管可供所有7个居民区用气，每千米8000元，细管只能供1个居民区用气，每千米3000元。粗、细管的转接处必须在居民区中。问：应怎样搭配使用这两种管道，才能使费用最省？分析与解：在长度相同的情况下，每根粗管的费用大于2根细管的费用，小于3根细管的费用，所以安装管道时，只要后面需要供气的居民区多于2个，这一段就应选用粗管。从天然气站开始，分成顺时针与逆时针两条线路安装，因为每条线路的后面至多有两个居民区由细管通达，

9、共有7个居民区，所以至少有3个居民区由粗管通达。因为长度相同时，2根或1根细管的费用都低于1根粗管的费用，所以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好，而顺时针与逆时针两条线路未衔接部份的距离越长越好。经过计算比较，得到最佳方案：（1）天然气站经G,F,E到D安装粗管，D到C安装2根细管，C到B安装1根细管；（2）天然气站到A安装1根细管此时总费用最少，为8000X(3+12+8+6)+3000X2X5+3000X(9+10)=(元)练习291 .早饭前妈妈要干好多的事：烧开水要15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟。如果灶具上只有一个火，那么

10、全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？2 .甲、乙、内三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4,5,6,6,8,9,9分钟，三人同时开始工作。问：加工完七个零件最少需多长时间？3 .车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15,8,29,7,10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？4.下页左上图是一张道路图，问（单位：分）。小王从A到B,每条路上的数是小王走这段路所需的时最快需要几分钟？5 .东升乡有8个行

11、政村。分布如右上图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：千米）。现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线。问：电线至少要架多长？6 .有七个村庄A1,A2,A7分布在公路两侧（见下图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？7 .有一个水塔要供应某条公路旁的AF六个居民点用水（见下图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？_J22_i_2_i_L_a.水塔"BC口eF答案与提示练习291.22分提示：先烧开水后煮牛奶共需22分，其它事情可以在这个期间做,顺序是买油条，准备暖瓶，擦桌椅（水开时暂停，煮上奶），灌开水，继续擦桌椅。8 .17分。9 .（1）780元；（2）36分。提示：（1）按修复时间需7,8,10,15,29分的顺序修理；（2）一人修需7分和29分的，另一人修需8,10,15分的。4.48分。