清华智能控制课件2-5

1、Zhidong DENGDepartment of Computer ScienceTsinghua University邓志东邓志东 清华大学计算机系清华大学计算机系 2.7.1 2.7.1 模糊模型表示模糊模型表示uy控制对象RP控制对象的模糊模型控制对象的模糊模型 凡采用模糊控制器的系统称为模糊控制系统。凡采用模糊控制器的系统称为模糊控制系统。 通过定义模糊语言变量、模糊子集及相应的隶属函通过定义模糊语言变量、模糊子集及相应的隶属函数，采用一组模糊条件句数，采用一组模糊条件句( (模糊规则模糊规则) )，来描述输入与，来描述输入与输出之间映射关系的模型称为输出之间映射关系的模型称为模糊模

2、型模糊模型。a.a.连续控制对象连续控制对象),()()1()1()1()(mnnuuuyyyfy )(nyCiiRyiA0)1( nyinA1 iB0)(muimB ：如果如果 是是 andand 是是 and u是是 andand 是是 , , 则则 是是 , , i=1, 2, , , N 相应的向量形式为相应的向量形式为 ：如果：如果 是是 and 是是 ，则，则 是是 , , i=1, 2, , N其中其中y ()y yyn T1T)( muuuuiniiiAAAA110 imiiiBBBB 10)(nyiCiRyiAuiBPiiiNiPRBACCBAR) ()(1 上述模糊模型也可

3、写成上述模糊模型也可写成)()(nPyuyR PnRuyy)()( 或写成或写成该模糊模型相当于常规的该模糊模型相当于常规的高阶微分方程模型高阶微分方程模型。 ：如果：如果 是是 and 是是 ，则，则 是是其中其中 iR)(kyAiu( )kBiy k()1Ciy( ) ( )()()ky ky ky kn T11u( ) ( )()()ku ku ku km T1 b.b.离散的控制对象离散的控制对象AiBiRkky kP ( )( )()yu1y kkkRP() ( )( )1yu和和 的意义同上。它也可写成的意义同上。它也可写成 该模糊模型相当于常规的该模糊模型相当于常规的高阶差分方程

4、模型高阶差分方程模型。111y(k)f y(k ),y(k),y(kn),u(k ),u(km)连续的被控对象连续的被控对象osRkkRkkk)()()()() 1(xyuxx相应的相应的离散状态空间模型离散状态空间模型可表示为可表示为 )(osRRxyuxxRsxux Roxy也可写成如下形式也可写成如下形式xiAiB xiCyiDT21nx x xxT21mu u uuT21ry y yyxiA状态：如果状态：如果 是是 and u是是 ，则，则 是是输出：如果输出：如果 是是 , ,则则 是是其中其中 )(),(xgyuxfx给定给定开环被控对象开环被控对象的离散模糊模型的离散模糊模型为

5、为y kkkRP()( )( )1yuT)1( ) 1( )()(nkykykykyu( ) ( )()()ku ku ku km T1 其中其中上面的模型可以进一步增广为如下的向量形式上面的模型可以进一步增广为如下的向量形式PRkkk)()() 1(uyy其中其中y() ()()ky ky ky kn112 ( ) T是是 的增广的增广PRPR2.7.2 2.7.2 模糊系统分析模糊系统分析对于上述模糊模型，相应的隶属函数具有如下关系：对于上述模糊模型，相应的隶属函数具有如下关系：上式表明有如下的关系成立上式表明有如下的关系成立)1(y ),(u ),(y( ,min max ,min ma

6、x )1(y ),(u ),(y( , ,min max )1( ),( ),()(max)(u)(u)(y)(y)(u)(y)( ),()()()( ),()1( kkkkkkkykukyPPPRkkkkRkkkukyRkukykukyky PPPRkkRkkRkkk)(u)(y)(u)(y)(u)(y)1(y 为了验证在某一输入情况下的稳定性，令为了验证在某一输入情况下的稳定性，令 为常量，为常量，yyu()( ) kkRcP1uu( )kc RRPcPu 令则上式变为则上式变为yy()( )kkRP1若已知系统的初始条件为若已知系统的初始条件为 ，则，则yyyyyyy( )( )( )(

7、 )( )( ) ()( )( ) ()10210002 RRRRRkRPPPPPPkyy( )0 由此可见，若由此可见，若 为常量，为常量，则可判定系统是稳定的。否则，若当则可判定系统是稳定的。否则，若当k- - 时时有有 , ,则可判定系统是振荡的，且振荡则可判定系统是振荡的，且振荡周期周期 , , 为采样周期。为采样周期。 RRuRkPckkPk)(lim)(lim0)()(kkPkPRR 00TkT 0Tuyyy( ) ( )( )( ) ( )( )( )kkr kRkr kRkr kRCCC u( ) ( )()()ku ku ku km T1 它也是增广了的模型，其中它也是增广了

8、的模型，其中其中其中模糊控制器的模糊模型为模糊控制器的模糊模型为模糊控制器Ru控制对象RyrCP下面考虑如下图所示的下面考虑如下图所示的闭环系统闭环系统的稳定性的稳定性: :yuyuy() ( )( )( )( )kkkRkkRPP1被控对象的模糊模型为被控对象的模糊模型为yyy()( )( )( )kkr kRkRCP1代入控制器模型可得闭环系统的模糊模型为代入控制器模型可得闭环系统的模糊模型为CRkrC)(令令yyy()( )( )kkCkRP1则上式变为则上式变为 这里为了检验系统在某有界输入下的稳定性，可令这里为了检验系统在某有界输入下的稳定性，可令 为常数，从而为常数，从而C 也为常

9、数。也为常数。 设系统的初始条件为设系统的初始条件为 ，则由上式可依次推得则由上式可依次推得r k( )y( )0yyyyyyyyyyyyyyyyy( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )()( )( )( )( )( )100002110000100000001100111CRTTCyRCRTCTRTTTCTRkkCkRTCTRTTTPPPPPPkkPkkk , , , CTRkPy( )01 由此可见，如果取由此可见，如果取 为常量，则可判定闭环系为常量，则可判定闭环系统是稳定的，否则，若当统是稳定的，否则，若当 时有时有 ，则可判，则可判定系统是振荡的，且

10、振荡周期定系统是振荡的，且振荡周期 ， 为为采样周期采样周期。 TTkklim0kkkTT 00TkT 0Tk 以上所进行的稳定性分析均是针对纯粹的全模糊控制系以上所进行的稳定性分析均是针对纯粹的全模糊控制系统。对于混合的模糊系统，可有以下两种方法来分析稳定统。对于混合的模糊系统，可有以下两种方法来分析稳定性。性。( (1) ) 利用模糊系统辨识的方法，将被控对象变换为模利用模糊系统辨识的方法，将被控对象变换为模糊模型表示，然后利用上述方法进行稳定性分析。糊模型表示，然后利用上述方法进行稳定性分析。( (2) ) 将控制器的模糊模型变为确定性的模型，从而混将控制器的模糊模型变为确定性的模型，从

11、而混合模糊系统变为常规的控制系统，进而采用常规的方合模糊系统变为常规的控制系统，进而采用常规的方法来对系统进行稳定性分析。法来对系统进行稳定性分析。 相平面分析法是分析非线性二阶系统的一种直相平面分析法是分析非线性二阶系统的一种直观的图解方法。该方法也可以推广到模糊系统，观的图解方法。该方法也可以推广到模糊系统，但这种方法只适用于但这种方法只适用于SISOSISO二阶非线性系统。二阶非线性系统。 设设单输入单输出二阶系统单输入单输出二阶系统的模糊模型用如下的模糊条的模糊模型用如下的模糊条件句来描述：件句来描述：: : 如果如果 是是 and 是是 and 是是 则则 是是 。iRyAi0 yA

12、i1uiB yCi1, 2, iN( , )y y (:( ), :( )yyyyAAii000111 yy()yyyuRP它也可表示为它也可表示为定义该模糊条件句在相平面上的定义该模糊条件句在相平面上的作用中心区域作用中心区域 为为该模糊条件句的总的该模糊条件句的总的影响区域影响区域为为)0)( : , 0)( :(10yyyyyyiiAAtglimlim()ytyyytytyy00)( fd)( fdtg1iiAC 对于模糊系统，在模糊条件句的作用中心区域的相点运对于模糊系统，在模糊条件句的作用中心区域的相点运动方向角可以通过清晰化方法求得动方向角可以通过清晰化方法求得一般情况下，在点一般

13、情况下，在点 处的相点运动方向角为处的相点运动方向角为( , )y y 考虑如下的一条模糊条件句考虑如下的一条模糊条件句: : : : 如果如果 是是NS and 是是PM and 是是PM,则则 是是PS, ,其中各模糊语言变量取值的隶属函数如下图所示。试画其中各模糊语言变量取值的隶属函数如下图所示。试画出对应该模糊条件句的相点运动方向。出对应该模糊条件句的相点运动方向。iRyy uy 0.51.0NS1.00.5y11121415y(y)PM(y)-5-4-2-1tg()( ).dfdfPSPMyy20131 54 571.00.5PS(yy )5103035.(u)u1.00.53467

14、PM-5-4-2-111121415y y总的影响区域作用中心区相点运动方向 画出该模糊条件句的作用中心区域、总的影响区域画出该模糊条件句的作用中心区域、总的影响区域以及相点的运动方向如图所示。以及相点的运动方向如图所示。y y 按照同样的方法可以画出当按照同样的方法可以画出当u为常数为常数( (在上例中在上例中u = =PM) )时时的所有模糊规则的相平面图，如下图所示，利用该相平面图的所有模糊规则的相平面图，如下图所示，利用该相平面图可以大致勾画出对给定的初始条件的相轨迹。可以大致勾画出对给定的初始条件的相轨迹。 当当u取不同值时可以画出不同的相平面图，将这些相取不同值时可以画出不同的相平

15、面图，将这些相平图重叠在一起可以获得三维相平面图组平图重叠在一起可以获得三维相平面图组。( (1) ) 检验模糊建模的正确性；检验模糊建模的正确性；( (2) ) 检验模糊规则的一致性检验模糊规则的一致性( (consistency) )、完备性、完备性( (completeness) )以及相互影响以及相互影响( (interaction) )； 模糊规则一致性要求在相平面图上同一区域或非常靠近模糊规则一致性要求在相平面图上同一区域或非常靠近的区域不存在相点运动方向的不一致；完备性要求在相平的区域不存在相点运动方向的不一致；完备性要求在相平面的每个区域至少属于一条规则的影响区域，相互影响是面

16、的每个区域至少属于一条规则的影响区域，相互影响是指每条规则的影响区域与邻近规则的影响区域具有一定程指每条规则的影响区域与邻近规则的影响区域具有一定程度的互相覆盖。度的互相覆盖。( (3) ) 帮助设计控制规则。三维图可用来确定在不同的帮助设计控制规则。三维图可用来确定在不同的状态时应采用怎样的控制才能获得满意的相轨迹。从状态时应采用怎样的控制才能获得满意的相轨迹。从而可从图形上直观地确定出模糊控制规则；而可从图形上直观地确定出模糊控制规则；( (4) ) 检验系统的稳定性和分析系统的性能；检验系统的稳定性和分析系统的性能；( (5) ) 若期望的闭环特性是用模糊语言模型来描述的，则可若期望的闭

17、环特性是用模糊语言模型来描述的，则可以通过画出它的相平面图来校核所给闭环特性的正确性。以通过画出它的相平面图来校核所给闭环特性的正确性。例例2.14（pp.61-62）2.7.3 2.7.3 模糊系统设计模糊系统设计 常规的常规的PIDPID控制是一种线性控制控制是一种线性控制 模糊模糊PIDPID控制是一种非线性控制控制是一种非线性控制 这种非线性控制器的设计过程，从模糊逻辑这种非线性控制器的设计过程，从模糊逻辑的角度赋予了其明确的物理意义！的角度赋予了其明确的物理意义！( (a) )为常规的模糊为常规的模糊PID控制控制 ( (b) )为增量模糊为增量模糊PID控制控制两种典型模糊两种典型

18、模糊PIDPID控制的结构图：控制的结构图：一种改进的模糊控制器结构方案一种改进的模糊控制器结构方案: :它减少了规则数，同时实现了模糊它减少了规则数，同时实现了模糊PID控制的功能。控制的功能。11M ( s )D( s )G( s )M ( s ) 常规控制系统，根据期望的闭环特性及开环常规控制系统，根据期望的闭环特性及开环对象特性的逆可求得对象特性的逆可求得: : 对于全模糊系统，可按同样的思路设计模糊控制器，对于全模糊系统，可按同样的思路设计模糊控制器，即即 （模糊开环对象的逆）（模糊开环对象的逆） （期望的模糊闭环特性）（期望的模糊闭环特性） （模糊控制器）（模糊控制器）其中也须求模

19、糊开环对象的逆特性。由于模糊开环其中也须求模糊开环对象的逆特性。由于模糊开环特性是用模糊语言模型来描述的，因此这种设计方特性是用模糊语言模型来描述的，因此这种设计方法需要对模糊语言模型求逆。法需要对模糊语言模型求逆。s【例例】下面我们通过对如图所示的自动小车侧向模糊下面我们通过对如图所示的自动小车侧向模糊控制的设计为例来说明这种方法。图中控制的设计为例来说明这种方法。图中s 表示小车的侧表示小车的侧向偏移，控制的目标是要求向偏移，控制的目标是要求 ，即要求小车尽，即要求小车尽量沿着通道的中心线行进。量沿着通道的中心线行进。0()s,s .s.sussNBNSZEPSPBNBZEPSPBPBPB

20、NSNSZEPSPBPBZENBNSZEPSPBPSNBNBNSZEPSPBNBNBNBNSZE描述小车语言动力学模型的模糊规则表描述小车语言动力学模型的模糊规则表（小车模糊模型）（小车模糊模型）ssdsNBNSZEPSPBNBPBPBPBPBNSNSPBPBPSPSNSZEPBPSZENSNBPSPSNSNSNBNBPBPSNBNBNBNB描述期望闭环语言动力学模型的模糊规则表描述期望闭环语言动力学模型的模糊规则表（期望的模糊闭环特性）（期望的模糊闭环特性）各模糊语言变量取值（模糊子集）的隶属函数：各模糊语言变量取值（模糊子集）的隶属函数： 下面根据小车模糊模型及期望的模糊闭环特性求取模下面

21、根据小车模糊模型及期望的模糊闭环特性求取模糊控制器的规则库，即糊控制器的规则库，即 。 （小车模糊模型的逆）（小车模糊模型的逆） （期望的模糊闭环特性）（期望的模糊闭环特性） （模糊控制器）（模糊控制器） 由于每个变量均分为由于每个变量均分为5 5个模糊等级，因而最多需求个模糊等级，因而最多需求25条模糊控制规则，具体步骤如下：条模糊控制规则，具体步骤如下：( (1) ) 选定选定 对，在期望的闭环特性规则表中找到相应对，在期望的闭环特性规则表中找到相应的的 ；( , )ss sdssu( (2) ) 取取 , , 在小车模型的规则表中根据在小车模型的规则表中根据 求求取相应的取相应的 ，这是

22、语言模型求逆过程，即已知小车，这是语言模型求逆过程，即已知小车模型模型 求取它的逆模型求取它的逆模型 。在进行。在进行这一步中可能出现以下三种情况：这一步中可能出现以下三种情况：) ,(ss ssdususssu 根据根据 找到一个找到一个 ，这个，这个 便是要求的解；便是要求的解； 根据根据 可以找到多个可以找到多个 ，这时通常取最小的，这时通常取最小的u 作为要求的解以尽量减小控制能量；作为要求的解以尽量减小控制能量； 根据根据 找不到合适的找不到合适的 ，这时取最近的解来代，这时取最近的解来代 替，若有多个最近解，则取其中的最小解。替，若有多个最近解，则取其中的最小解。) ,(ss )

23、,(ss ) ,(ss uuuu下面举例说明具体的求解过程下面举例说明具体的求解过程: : 1 1、取、取 ，查期望的模糊闭环特性规，查期望的模糊闭环特性规则表，可得：则表，可得： ； 2 2、取、取 ，再由，再由 ，查小车，查小车模糊模型规则表，可得：模糊模型规则表，可得： ，这时出现，这时出现了多解的情况，故可取最小解了多解的情况，故可取最小解 。 按照上面步骤，最后设计出该系统的模糊控制规则按照上面步骤，最后设计出该系统的模糊控制规则表如下表所示。表如下表所示。(, )()PS PBs,s dNBs dNBss(, )()PB NBs,s NB / NS / ZEu ZEu ussNBN

24、SZEPSPBNBZEZEZEZENBNSPSPSZEZENBZEPBPSZENSNBPSPBZEZENSNSPBPBZEZEZEZE设计的模糊控制规则表设计的模糊控制规则表仿真举例：仿真举例： 00(3,1)()s ,s2.7.4 2.7.4 基于基于T-S模型的稳定性分析和设计模型的稳定性分析和设计 T. Takagi和和M. Sugeno提出了另外一种模糊规则的表示提出了另外一种模糊规则的表示方式方式( (以下简称以下简称T-S模糊模型模糊模型) )。a.a.离散时间系统模型离散时间系统模型( (ARMA模型模型) )：)1( )()1( )()1(11 mkubkubnkyakyaky

25、imiinii：若：若 是是 andand 是是 and 是是 andand 是是 ，则，则iL)(kyiA1)1( nkyinA)(kuiB1)1( mkuimB 表示第表示第 i 条模糊蕴含条件句条模糊蕴含条件句( (规则规则) )，综合，综合l 条模糊蕴含条件句的输出为条模糊蕴含条件句的输出为) , 2, , 1(liLi liiliiiwkywky11)1()1(其中其中 是第是第 i 条模糊规则的适用度，即条模糊规则的适用度，即iw)1()1(11 qkuBpkyAwmqiqnpipi若令若令 )1()1()()( , )1()1()()(mkukukukunkykykykximii

26、iiniiiBBBBAAAA 2121 , 则上面的模糊蕴含条件句可以写成如下简洁形式则上面的模糊蕴含条件句可以写成如下简洁形式: : ：若：若 是是 and 是是 ，则，则iL)(kxiA)(kuiB)1()1()1(11 qkubpkyakymqiqnpipib.b.连续时间系统模型连续时间系统模型( (n 阶常微分方程阶常微分方程) )： ：若：若 是是 andand 是是 and 是是 andand 是是 ，则，则iLiA1inAiB1imB)(ty)()1(tyn )(tu)()1(tum )( )()( )()()1(1)1(1)(tubtubtyatyatymimininini

27、由由 所描述的模糊模型的输出为所描述的模糊模型的输出为 的意义同前。的意义同前。) , 2, , 1(liLi liiliniinwtywty11)()()()(iw则连续系统模糊模型也可写成如下简洁形式则连续系统模糊模型也可写成如下简洁形式 ：若：若 是是 and 是是 ，则，则 iLiAiB)(txu( ) t)()()()1(1)1(1)(tubtyatyqmqiqpnpipni )()()()( , )()()()()1()1(tututututytytytxmn若令若令其中其中 该模糊模型也可进一步表示成如下该模糊模型也可进一步表示成如下的矩阵形式的矩阵形式: :il1 2, 离散模

28、糊模型离散模糊模型(AR(AR模型模型) )：iL)(kyiAyka y kpipipn()()111：若若 是是 ，则，则iL)(kyiAxxiikAk()( )1：若若 是是 ，则，则) 1() 1()()(xnkykykyk010000100001121ininiiiaaaaA其中其中xx()( )kw Akwiiiliil111模糊系统的输出为模糊系统的输出为（第（第i个子系统）个子系统）连续模糊模型连续模糊模型( (齐次方程齐次方程) )：若若 是是 ，则，则其中其中iL)(tyiA)(x)(xtAtii)()()()(x)1(tytytytniniiiiaaaaA321100001

29、000010模糊系统的输出为模糊系统的输出为( )( )xxtw Atwiiiliil11（第（第i个子系统）个子系统） 对于上面描述的对于上面描述的离散模糊模型离散模糊模型，如果存在一个共同的，如果存在一个共同的正定矩阵正定矩阵P, , 对于所有的子系统均有对于所有的子系统均有 ( )( )，则该模糊系统的平衡状态是全局渐近稳，则该模糊系统的平衡状态是全局渐近稳定的。定的。A PAPiiT 0il1 2, ljijiijjijljiiliiiiljijiljijijiljjljjjliiliiiljjljjjliiliiiwwkPPAAPAAkwwkPPAAkwwwkPPAAkwwkPwAw

30、PwAwkkPkwkAwPwkAwkPkkPkkVkVkV1,TTT1TT21,1,TT1111TTT11T11TT)(x)2)(x )(x)(x)( )(x)(x )(x)()(x )(x)(x)(x()(x( )(x)(x)1(x)1(x)(x)1(x)(x)()( 2)()(2TTTTTTTTPPAAPPAAAAPAAPPAAPAAAAPAAPPAAPAAjjiijijijjiijijiijjiVk ( )x 0根据根据Lyapunov稳定性理论，该模糊系统是全局渐近稳定的。稳定性理论，该模糊系统是全局渐近稳定的。 )(xkVVkk Pk ( )( )( )xxxT证明：考虑如下的标量函

31、数证明：考虑如下的标量函数 ： 还有一点值得注意：若每个子系统均稳定，即对还有一点值得注意：若每个子系统均稳定，即对每个子系统均能找到正定阵每个子系统均能找到正定阵 使使 ，并不能，并不能保证整个系统一定稳定。而必须找到一个共同的保证整个系统一定稳定。而必须找到一个共同的 P ，使得使得 ( )( )才能保证整个系统才能保证整个系统稳定。稳定。 PiA PAPiiiiT 0A PAPiiT 0il1 2, 上述定理只是判断稳定性的充分条件。当找不到上述定理只是判断稳定性的充分条件。当找不到共同的共同的 P 满足上述定理条件时，并不能利用该定理满足上述定理条件时，并不能利用该定理来判定系统是否是

32、全局渐近稳定的。来判定系统是否是全局渐近稳定的。 对于上面描述的对于上面描述的连续模糊模型连续模糊模型, ,如果存在一个共同的如果存在一个共同的 正定矩阵正定矩阵P P，对于所有的子系统均有，对于所有的子系统均有 ( )( )，则该模糊系统的平衡状态是全局，则该模糊系统的平衡状态是全局 渐近稳定的。渐近稳定的。0T iiPAPAil1 2, 证明：考虑如下的标量函数证明：考虑如下的标量函数Vt ( )xVtt Pt ( )( )( )xxxT0)(x)(x )(x)(x)(x)(x )(x)(x)(x)(x)(x11TT11TT11TTliiliiiiliiliiiliiliiiwtPAPAt

33、wwtAwPttPwtAwtPttPttV根据根据Lyapunov稳定性理论，该模糊系统是全局渐近稳定的。稳定性理论，该模糊系统是全局渐近稳定的。对于离散模糊模型，如果对于离散模糊模型，如果 是稳定且是稳定且非奇异矩阵，若存在共同的正定矩阵非奇异矩阵，若存在共同的正定矩阵P，使得使得 ，则对于任意，则对于任意 ， 一定一定为稳定矩阵。这里稳定矩阵是指其特征值均在单位圆内。为稳定矩阵。这里稳定矩阵是指其特征值均在单位圆内。Ai(, )il 1 2 A PAPiiT 0i jl, 1 2 AijA证明：根据定理条件有：证明：根据定理条件有： ，即，即 对任对任意意 均成立。进而根据定理条件有均成立。进而根据定理条件有 ，即有即有 , ,它说明它说明 为稳定矩阵对任意为稳定矩阵对任意 均成立，从而定理得证均成立，从而定理得证。A PAPiiTPAPAii()11TiA PAPAPAiijjTT()11A A PA APijijTT 0i jl, 1 2 AijA 对于连续模糊模型，如果对于连续模糊模型，如果 是稳定且是稳定且非奇异矩阵，若存在一个共同的正定矩阵非奇异矩阵，若存在一个共同的正定矩阵P，使对所有使对所有i 均均有有 ，则