线性代数试题(卷)与答案解析详解

1、«线性代数A »试题(A卷)试卷类别：闭卷钟考试科目：线性代数姓名：考试时间：120分考试时间：学号：题号一一三四五六七总分得分阅卷人一.单项选择题(每小题 3分，共30分)1 .设A经过初等行变换变为 B,则().(T面的r(A), r(B)分别表示矩阵 A, B的秩)。(A) r(A) r(B);(B)r(A) r(B)；(C) r(A) r(B);(D) 无法判定r (A)与r(B)之间的关系。2.设A为n (n 2)阶方阵且|A| 0,则()。(A)A中有一行元素全为零；(B) A有两行(列)元素对应成比例；(C) A中必有一行为其余行的线性组合；(D)A的任一行为

2、其余行的线性组合。3 .设A,B是n阶矩阵(n 2), AB O,则下列结论一定正确的是：()(A) A O或 B O;(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX =0的解.(C) BA 0;(D) R(A) R(B) n.4 .下列不是n维向量组 1, 2,., s线性无关的充分必要条件是()(A)存在一组不全为零的数 k，,k2, ks使得k 1 k2 2ks s O;(B)不存在一组不全为零的数 k1,k2，, ks使得k1 1k2 2ks s O(C)1, 2,.的秩等于s；(D)1,2,.中任意一个向量都不能用其余向量线性表示5 .设n阶矩阵(n3)(A)1；(B)6.四阶行列式a

3、10b4a2b30(A) a©2a3a4a30b1b2b3b4;b10a4，若矩阵A的秩为n 1，则a必为(C)1；(D)的值等于(B)&a2a3a4bb2b3b4 ；(C)(a© bb)(a3a4 b3b4)；(D)(a2 a3 b2b3)(响 bh).7.设A为四阶矩阵且|a|b，则A的伴随矩阵-*A的行列式为(A) b;(B)b2；(C),3b ；(D)b4一28.设A为n阶矩阵满足A3AInO，In为n阶单位矩阵，则A1(A) In；(B) A3In；(C) A 3In；(D)3A In9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是(A) A与B的秩相同

4、;(B) A与B的特征值相同;（C） A与B的特征矩阵相同；（D）A与B的行列式相同；10.设A为n阶矩阵，则A以0为特征值是A（A） 充分非必要条件；（B）0的（）。必要非充分条件；(C) 既非充分又非必要条件；(D)二.填空题(每小题 3分，共18分)0 0 0 4一 004 31 .计算行列式。0 4 3 24 3 2 11001231002 .01 0 4 5 6 0 0 1_001789010充分必要条件；O3.二次型 f（X1,X2,X3） X1X2 X2X3 X3X1对应的对称矩阵为 。,一方.5 一、，/22? .、. 一 3 , ,1 1一、八一、j4.已知 1（0,0,1）

5、,2 （亍,宁,0）,3则向量（1,1,1旌这组基卜的坐标为741（玄，玄,0）是欧氏空间 ? H勺一组标准止父基，5.已知矩阵A 4 71的特征值为144 X6.设1, 2, 3均为3维列向量，记矩阵 A,1 3 2 9 3）。如果 |A| 1 ,则|B| 3(F), 2 12,贝Ux 。1, 2, 3 , B ( 123, 12 24 3O2三.(8分)A11312120, B10, AX B,求X。0331四.(10 分)设向量组 1(1,1,2,3)T,2 (1, 1,1,4，3 (1,3,3,5)T,4 (4, 2,5,6)5 ( 3, 1, 5, 7)T。试求它的秩及一个极大无关组

6、，并把其余向量用该极大无关组线性表示。Xi x2px32五.(12分)讨论线，f方程组X1 px2 x31解的情况，并在有无穷多解时求其解 。px1 x2 x31124六.(14分)设A(2)、求正交矩阵T ,22 2 , (1)、求出A的所有特征值和特征向量;4 21使得T 1AT为对角矩阵。七.(8分)对任意的矩阵 A,证明：(1) A AT为对称矩阵,A AT为反对称矩阵;(2) A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。线性代数A»参考答案(A卷)、单项选择题(每小题3分，共30分)12345678910BCDABDCCCD二、填空题（每小题3分，共18分）1320-2-2

7、1、 256;2、465；3>20-7982204、1,72,0 ；5、4;6、2。三.解：因为矩阵A的行列式不为零，则A可逆，因此X 可利用下列初等行变换的方法：2 31211 2 0101 0 3 3 11 2 0102 31211 0 3 3 11 2 01 0011410 2 3 2 11 02 7 2011410 0 1 10 31002780101440011031 0 0 27 80 1 014 40 0 1 10 3（6 分）278（8分）所以X A力 1441031114311143（1,5）11321022622 ,3,4,21355011313156702262四.

8、解：对向量组1, 2, 3, 4, 5作如下的初等行变换可得:从而11143011310000000000102120113100000000005 分)1, 2, 3, 4, 5 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 为 1, 2 ， 故 秩 1, 2, 3, 4, 5=2（8 分）且 32i 2 ,413 2,52 12( 10 分)五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：11p21 p1 1p11111 p 20p11p320 1 p 1 p 1 2pp1p1 1 p20 2pp 4232p1p0p100（2（ 4分）121p3p）（p 1） 4 2p(1) 当 p 1 0,且 (

9、2 p)(p 1) 0时 , 即 p 1,且 p 2时 , 系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.(5分)(2) 当 p 1时 , 系 数 矩 阵 的 秩 为 1,增 广 矩 阵 的 秩 为 2,此 时 方 程 组 无解.(6分)(3) 当 p2时, 此时方程组有无穷多组解 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为101101110000故原方程组与下列方程组同解1122121121111122033303338分）112201110000XiX3X2X3令X30,可得上述非齐次线性方程组的一个特解°（1, 1,0）T;它对应的齐次线性方程组XiX2X3X300入4 

10、7; 人一人一士人的基础解系含有一个兀素，令X31,可得1（wT为该齐次线性方程组的一个解，它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为koo k1 1,这里ko,k1为任意常数.(12分）A|-2(3)(6)故A的特征值为3 （二重特征值），6。3分)基础解系为特征向量为础解系为3时，由（1IA)X O,即:k1 16时,4X102X20得4X303的所有11,2,0T, 2 1,0,1T ,故属于特征值k2 2*1*2不全为零的任意常数。由(3I A)X O,即:6分)524X10282X20得基425X30卜3 3,女33 2,1,2T ,故属于特征值 2 6的所有特征向量为为非零的任意常数。-（8 分）(2)1, 21,2,0T,11一2.5一,054.5152、5 '.J15 , 33单位化得:12分)1, 2, 3 是征向量5552 554 52 5T5-"5323工32-3是一个正交矩阵，且1AT(14 分)七.证明：（1）因为（AAT)TAT(AT)T