线性代数期末试卷及解析(4套全)2017科大

1、线性代数期末试卷一一、填空题(每小题4分)(2)曲面z x2 y2与平面2x 4y z 0平行的切平面的方程是 解：2x 4y z 5设的，y0,)为与平面2x 4y z 0平行的切平面 的切点坐标，则过 r(x0, yo,。)的法向重为 n 2xo,2yo, 1于是过(x°, y0,z°)的切平面方程为2x0(x x0) 2y0(y y°) (z z0) 0即2x0x 2y0y z z00由题意两平面平行，故24122解得 x0 1, y0 2,故 z0 x0 y 5因此所求方程为2x 4y z 5c11, 一 11.(4)从R2的基，的 到基0，区的过渡矩阵为

2、0112解:设P为基心牝到基目，伤的过渡矩阵则(3,(如3P1 C(a, 0C2)(0,fe)- 233 111110 2301120 112、选择题(每小题4分)or可由向量组II: 8, %L , &线性表示，则(4)设向量组I: %, «2,L(A)当r s时，向量组II必线性相关. (B)当r s时，向量组II必线性相关. (C)当r s时，向量组I必线性相关. (D)当r s时，向量组I必线性相关. 解：(D)正确.从 r 与 s 的大小关系，无法确定向量组II 的线性相关性，这可从以下例子.设ej表示n阶单位阵E的第j个列向量，j 1,2,L ,n例 1. 取向量

3、组I: e1, e2 , e3取向量组II: e1 , e2, e3, e4向量组 I 可由向量组II 线性表示，故(A)错误.例 2. 取向量组I:e1,e2, e3,2e3取向量组II:e1 ,e2,e3向量组 I 可由向量组II 线性表示，r 3；s 4.r s,但向量组ii： eee©线性无关,r 4；s 3.r s ,但向量组II: ei, e2,含线性无关,故(B)错误.不过从r与s的大小关系可以确定向量组I的线性相关性.由例1知(C)错误.设向量组I、II是n维向量组.因为0H町L , ar可由d 8,L , ft线性表示，所以存在 s r矩阵P ,使(% 0(2,L

4、, Or ) ( 3, e,L ,国)P，当 rPx 0, x Rrk1因为r s ,故在非零解a M krk1于是 (知 02,L , ar) M (3 版L krs 时，考虑线性方程组k10 ， 使 P M 0 ， 其中k1,L , kr 不全为零，krk1，国)P M 0kr这说明孙 «2,L ,乳线性相关，故(D)正确.本题的实质问题是：线性无关的向量组，不能由个数不超过它的向量组线性表示，所以当r s 时，向量组I 必线性相关.(5)设有齐次线性方程组 Ax 0和Bx 0,其中A,B均为m n矩阵，现 有 4 个命题：若 Ax 0的解均是Bx 0的解，则r(A) r(B)；

5、若r(A) r(B),则Ax 0的解均是Bx 0的解；若 Ax 0与 Bx 0同解，则r(A) r(B)；若则r(A) r(B),则Ax 0与Bx 0同解.以上命题中正确的是(A).(B).(C).(D).解：(B)正确.在过去历年的选择题中，正确的答案只是一个命题，本题标志着由单选开始转入多选。因此增加了选择题的难度为了做出正确选择，需要逐一检查四个命题的对与错.由Ax 0的解均是Bx 0的解，说明N(A) N(B),这里N (A), N (B)分别表示上述两个线性齐方程组的解空间，故dim N(A) dim N(B)n r(A) n r(B)r(A) r(B)故 正确 .反之从 r(A)

6、r(B)， 得 dim N(A) dim N(B)， 但这仅表示两个系数矩阵秩Ax 0 与 Bx 0 的解无直接关系101如取 A, B010r(A) 2 1 r(B)10 是 Ax 0 的解，但它显然不是100.000Bx 0的解故(2)错误.由 Ax 0与 Bx 0同解知N (A) N (B)dim N(A) dim N (B) n r(A) n r(B) 于是 r(A) r(B) .故( 3)正确 .仅从r(A) r(B)当然不能断定Ax .1112取 A 0 0, B 0 00000显然错误.综上所述、正确，故选(B)0与 Bx 0同解， 因为秩相同的同型矩九、 (本题满分10 分)3

7、22设矩阵 A 2 3 2 , P2230101 0 1 , B P 1A* P ， 求 B 2E 的特征值与001特征向量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.解法 1 经计算可得从而522*A 2522250 11_ 1P 1 000 01700_ 1 * _BPAP25422 3900B 2E 27422 59)2(3)90| E (B 2E)|2722故B 2E的特征值为9,9,3.当12 9时，对应的线性无关特征向量可取为所以对应于特征值9的全部特征向量为12kT k2Q k1 1 k2 0 ，其中"k2是不全为零的任意常数01当3 3时，对应的一个特征向量为0所以对应

8、于特征值3的全部特征向量为k3* k3 1 ,其中k3是不为零的任意常数.1解法2 设A的特征值为 ，对应的特征向量为“，即A” 少 由于|A| 7 0,所以 0.*| A |又因 A A | A| E ,故有 A n - n.于是有B(P 1 力 P 1A*P(P ) .(P ',1| A| 1(B 2E)P 1 n (1-l 2)P %因此，2E的特征值，对应的特征向量为P .由于| EA|(1)2(7)，故A的特征值为当1211时, 11 , 01,7.对应的线性无关特征向量可取为当3 7时，对应的一个特征向量为1n 1 .1因此,2E的三个特征值分别为9,9,3.对应于特征值9

9、的全部特征向量为k1P 1nl k2Pqk1k211，其中（*2是不全为零的任意常数;1对应于特征值3的全部特征向量为0k3P 3k3 1 .其中k3是不为零的任意常数.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为11: ax 2by 3c 0, 12 : bx 2ey 3a 0,13 : cx 2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.证法1必要性：设三直线11,12,13交于一点，则线性方程组ax2by3c,bx2ey3a,cx2ay3ba有惟一解，故系数矩阵A bc 于是|A| 0.a2b3c由于 |A| b2c3ac2a3b3(abc)(a但 (

10、a b)2 (b c)2 (c a)2 a b c 0充分性：由a b c 0 J(*)2ba2c与增广矩阵A b2ac_2226(a b c)ab cb)2 (b c)2 (c a)2,0 ,故2b 3c2c 3a的秩均为2,2a 3bab ac bcIA| 0,故秩(A) 3.a 2b2由于2(ac b2)b 2c2123 22a(a b) b22(a b)2 b2 0,24故秩（A） 2.于是,秩(A)秩(A) 2.因此方程组（*）有惟一解，即三直线11,12,13交于一点.x证法2必要性：设三直线交于一点（x0,y0）,则 y 为Ax 0的非零解,1a2b3c其中Ab2c3a.c2a3

11、b于是I A| 0 .a 2b 3c而|A|b 2c3a6(a b c)a2b2c2ab bc acc 2a 3b3(a bc)(a b)2 (b c)2(ca)2,但(ab)2(b c)2(ca)2 0 ,故a b c 0.充分性：考虑线性方程组ax2by3c,bx 2cy 3a,(*)cx2ay3b.将方程组(*)的三个方程相加，并由a b c 0可知，方程组(*)等价于方程组ax2by3c,(*)bx2cy3a.一 , a 2booo oo一、因为2(ac b2)2a(a b) b2a2 b2 (a b)2 0.故万b 2c程组(*)有惟一解，所以方程组(*)有惟一解，即三直线li2/3

12、交于一点.线性代数期末试卷二一、填空题(每小题4分)11(5)设a为3维列向量，aT是a的转置，若a I 1111T a a .解：ocT a3 .显然a T的第2列，第3列分别是由1,1乘第1列所得到，故a T 1 (111)11所以 ocT a (11 1)131(6)设三阶方阵A,B满足A2B A B E ,其中E为三阶单位矩阵，若1 0 1A 0 2 0 ,则|B| .2 0 1-1解：|B| ,2由 A2B A B E有(A2 E)B A E故(A E)(A E)B A E20 1而A E 03 0是可逆阵，上式左乘(A E) 1得(A E)B E .2 0 2取行列式| A E |

13、 B| 100 1因 | A E | 01 022 0 0一 一 1于是| B | 2 .、选择题(每小题4分)（6）同试卷一之二、（4）（本题满分10分）2 2 0若矩阵A 8 2a相似于对角矩阵A,试确定常数a的值；并求可逆矩阵 P 使 P1AP A.解：矩阵A的特征多项式为220| E A| 82 a （006故A的特征值为12 6, 32.由于A相似于对角矩阵 A,故对应于_ 242 2-6)(2)16(6) (2),12 6应有两个线性无关的特征向量，因此矩阵6E6E AA的秩应为1.从而由42021 084a00a0000 00知a 0.于是对应于 12 6的两个线性无关特征向量可

14、取为01a 0 , &210当32时420E A 840008解方程组2x1 x2 0，得对应于32的特征向量32x30,00 110 22 ,则P可逆，并有P 1AP A.1 00同试卷（一）线性代数期末试卷三、填空题(每小题4分)0: E为n阶单位矩阵，矩阵(4)设 n 维向量 oc (a,0,L ,0, a)T, a1 T一民民 a其中A的逆矩阵为解：a 1.因为A的逆矩阵为B ,故AB (Ea a)(Ea T 1 a T 1 a( aT a)/ a a由止匕(1 1 2a) a T 0 a因为a T不是零阵，故1 1 2a 0a一、1解 Na 1, a2因为a 0,舍去a 1

15、,所以a 1. 2选择题(每小题4分) abb(4)设三阶矩阵A b a b b b a(A) a b或 a 2b 0.(C) a b且 a 2b 0.解：(C)正确 *因为r(A) 1,故A不可逆，由，若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有(B) a b或 a 2b 0.(D) a b且 a 2b 0. *AA |A|E知A也不可逆，|A| 0,因此有a|A| b bbb (aa1bb_22b) 1ab(a 2b)(a b)1ba故可能a 2b 0,或a b 0事实上a b,这是因为若a b,则aaaA aaaaaa. 一 .一 . . . . . * . * -则A的二阶子式全为零，于是由伴随矩

16、阵 A O ,与r（A ） 1矛盾可见a b,于是必有a 2b 0所以（C）正确，（A）、（B）、（D）皆错误.（5）设%町L ,%均为n维向量，下列结论不正确的是（A）若对于任意一组不全为零的数kik,L人，都有兄0Gl卜2改L ks % 0, 则火，o2,L , 0cs线性无关.（B）若如qL , 均线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ki,k2,L ,ks,有 k1 中 k2 o2 L ks & 0.（C） % L ,%线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.（D）3孙L ,能线性无关的必要条件是任意两个向量线性无关.解：（B）不正确.因为对任意一组不全为零的数 ki,k2,

17、L ,ks, kii k2a2 L ks%都不是零向 量，它的等价说法是只有当ki,k2,L ,ks全为零时才有k1al k2 a2 L ks as 0这就说明伪，2,L , 0cs线性无关，因此（A）正确.对于（C）,当伪，如1 , %线性无关时，它即为自己的极大无关组，此向量 组的秩为s.反之,四,如L , &向量组的的秩为s,说明此向量组中有s个向量 线性无关，因此01, %,L ,能线性无关，故（C）正确.至于（D）,当卬孙L , 能线性无关时，把其中任意s 2个向量去掉后，剩下的两个向量一定线性无关. 如若不然，再把去掉的s 2个向量再加回来，就推出对孙L , %线性相关，矛

18、盾，所以（D）也是正确的.（B）中，若 见L ,%线性相关，只需要一组不全为零的数，而不是任意 一组不全为零的数k1,k2,L , ks,使k1的k2 a2 L ks % 0后者条件太强了 .因此（B）不正确，故选之.注意此题选择的是结论“不正确”，而非“正确”.九、 （本题满分i3 分）已知齐次线性方程组（ai b）xi a2x2a3x3 Lai xi(a2 b)x2 a3x3 Lan xn0,anxn0,LLLLLLLLai xia2x2a3x3 L(an b)xn 0,其中i 1(1)(2) 解:ai 0.试讨论a1, a2,L ,an和b满足何种关系时,方程组仅有零解；方程组有非零解，

19、在有非零解时, 方程组的系数行列式求此方程组的一个基础解系(1)a ba2a3Lana1a2 ba3Lana1a2a3 bLanMMMMa1a2a3Lanb0且bnai0时，秩(A) n ,|A|方程组仅有零解.当b0时，原方程组的同解方程组为i 1bn 1(bnai).i 1(2)a1X1a2X2 LaXn0.n由aii 1个基础解系为0可知，a/i 1,2,L,n)不全为零.不妨设备0，得原方程组的一a2% 一,1,0,L,0a1nai时, i 1naaii 111M1Ta?,0,1,L ,0 ,L ,踊 1a1T an ,0,0, L ,1 a1b 0 ,原方程组的系数矩阵可化为a210

20、M001M0由此得原方程组的同解方程组为X2X1, X3 X1,L ,XnX1 .原方程组的一个基础解系为a (1,1,1L ,1)T.an00 M111M1 01 0 M0 00 1 M0 000 M10十、(本题满分13分)设二次型f(X1, x2, x3) X TAX aX12 2X2其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,2x22bxix3 (b特征值之积为0),12. 235 (1)求 a,b值;(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应 的正交矩阵.解法1 (1)二次型f的矩阵为设A的特征值为Mi1,2,3).由题设，有- 243 3a2(2)1,a0b12 .

21、_ 20204a2bb 02解得a 1, b 2 .(2)由矩阵A的特征多项式20(2)2(3),210| E A| 0220得A的特征值12 2, 33.对于12 2,解齐次线性方程组(2E A)X 0,得其基础解系日 (2,0,1)T,& (0,1,0)T.对于33,解齐次线性方程组(3E A)X 0,得基础解系& (1,0, 2)T.由于&, &, &已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将 1 &, &单位化，由此得令矩阵T215°、5T1(0,1,0)T,地 忑Q,2 八 1505010,1八25 05T2：5 .

22、则Q为正交矩阵，在正交变换 X QY下，有2 00QTAQ 0200 03且二次型的标准形为2f 2y；解法2 (1)二次型f的矩阵为 aA 0 bA的特征多项式为a 0 b| E A| 020b 02设A的特征值为1, 2, 3,则1 2,_ 22y2-23y3.2) 2 (a 2)3 a 2,2, 3(2 a b2).(2a b2).由题设得1232 (a 2)1 ,_ _2_1 2 32(2a b )12.解得a 1, b 2.(2)由(1),可得A的特征值为122, 33.线性代数期末试卷四、填空题(每小题4分)(4) A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵2 0 2已知 AB 2A B

23、, B 0 4 02 0 2则(A E) 1 .0 0 1解：(A E) 10 1 01 0 0由AB 2AB得AB2AB,A(B2E)B002001B2E02020102001000 0 111(B 2E)-01021 0 0(5)同试卷五之一、(4).0 0 1(010是自逆的对合阵)1 0 0、选择题(每小题4分)(4)设矩阵0 0 1B 0 1 01 0 0已知矩阵A相似于B,则秩(A 2E)与秩(A E)之和等于(A) 2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.解：(C)正确因为A相似于B ,所以A与B有相同的特征值.01| E B| 01 0( 1)2(1) 010即B的特征值为1,1, 1所以A的特征值为1, 1,因为2不是特征值，故|2E A| 0, 2E A是非奇异矩阵,r（A 2E） r（2E A） 3由A相似于B ,则存在非奇异矩阵P ,使P 1AP B于是 P 1（A E）P B E这说明A E与B E相似，当然它们的秩相等1 011 0 1B E 0 0 00 0 01 010 0 0由B E的秩为1,得A E的秩为1, 所以（A 2E）与秩（A E）之和为4.故选（C） 九、（本题满分13分）设有向量组 ：的（1,0,2）T, 02 （1