金融数学引论答案第二版

1、金融数学引论答案第二版【篇一：北大版金融数学引论第二章答案】第二章习题答案1 某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5 万元。如果它们前十年每年底存款 1000 元，后十年每年底存款1000+x 元，年利率7%。计算 x 。解：s = 1000s?7%+xs?7%20p10p20px = 50000 ? 1000s?7% = 651.72s?p7%102 价值10,000 元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250 元，期限4 年。 月结算名利率18% 。计算首次付款金额。解： 设首次付款为x ，则有10000 = x + 250a?p1.5%48解得x = 1489.3613 设有n

2、年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =n解：p v = na?npi= 1nn+2 =(n + 1)nn2n4已知：a?pn= x ， a?p2n= y 。试用 x 和 y 表示 d 。解： a?p2n= a?pn+ a?p (1 ? d) 则nny ? xd = 1 ? ( x ) n5已知：a?p7= 5.58238, a?= 7.88687, a?= 10.82760 。计算 i11p18p解：a?p = a?p + a?p v718711解得i = 6.0%10?p +a 0°?p6. 证明：11?v10s s10?p北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，

3、翻版必究证明：10s?p + a 0°?p s?10p10+101 = 107 已知：半年结算名利率6% ，计算下面10 年期末年金的现值：开始 4 年每半 年 200 元，然后减为每次100 元。解：p v = 100a?+ 100a20?8p3% p3% = 2189.7168 某人现年40 岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000 元，共计 25 年。然后，从 65 岁开始每年初领取一定的退休金，共计15 年。设前25年的年利率为8%，后 15 年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为x,选择65岁年初为比较日解得x = 8101.658。1解： d = 10%

4、 ，则 i1?d? 1 =981 ? v8nnv；nnnn1nn1n1ni+ 1? vnn1+i所以nn(1+nni)n(1+i)n?1=(1+i)?1 nd ? 1i1+i i+ (1 + i)n所以nn版权所有，翻版必究12 .从 1980 年 6 月 7 日开始，每季度年金100 元，直至1991 年 12月 7 日，季结算名利率 6%，计算：1 )该年金在1979 年 9 月 7 日的现值；2)该年金在1992 年 6 月 7 日的终 值。解：p v = 100a49?p1.5% ? 100a?2p1.5% = 3256.88av = 100s?1.5% ? 100s?p1.5% =

5、6959.3749p213 .现有价值相等的两种期末年金a和b。年金a在第1 10年和第 21 30 年中每年 1 元，在第11 20 年中每年2 元；年金b 在第 1 10 年和第 21 30 年中每年付款金额为 y ，在第 11 20 年中没有。已知：v= ，计算 y 。102解： 因两种年金价值相等，则有a?i+a?iv10=y a? ?iy a10?piv1030p10p30p所以 y =31030.814 .已知年金满足：2 元的 2n 期期末年金与3 元的 n 期期末年金的现值之和为36；另外，递延n 年的 2 元 n 期期末年金的现值为6。计算 i 。1+v10?2v30= 1解

6、： 由题意知，2a?pi+ 3a?pi = 362nn2a?pivn= 6n解得73xi = 8.33%yzp a?p a?p + s?= 15. 已 a?p a?p + s?p 。求 x， y 和 z。知解： 由题意得1 ? v11 (1 + i)z ? vy解得x = 4, y = 7, z = 4117x3153016. 化简 a15?p (1 + v+ v) 。解：a?p (1 + v+ v) = a?p15301545北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页版权所有，翻版必究17.计 算 下 面 年 金 在 年 初 的 现 值：首 次 在 下 一 年 的 4 月 1 后每半年一次 2

7、000 元，半年结算名利率9%。4.5% 解： 年金在 4 月 1 日的价值为p =2000 = 46444.44 ，则1+4pp v =(1 + i)2+= 41300.657318. 某递延永久年金的买价为p ，实利率解：设递延时间为t,有1 p = i vtln解得t = ? ln(1+i)19.从现在开始每年初存入1000 元，一直进行20 年。从第三十年底开始每年领取一 定的金额x,直至永远。计算X。解：设年实利率为i,由两年金的现值相等，有x ?=i29解得x = 1000(1 + i)? (1 + i)301020.某人将遗产以永久年金的方式留给后代a、b、c、和d：前n年,a、

8、 b 和 c 三人平分每年的年金，n 年后所有年金由d 一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1 + i) 。n解：i,那么a,b,c得到的遗产的现值为i ,而d得到遗产的现值为v。由题意得3?pi nn1 ? v= v 3n n 所以(1 + i)= 4n21.永久期末年金有a、b、c、和d四人分摊，a接受第一个 n 年， b 接 受 第 二个 n 年， c 接受第三个n 年， d 接受所有剩余的。已知：c 与 a 的份额之比为0.49，求 b 与 d 的份额之比。版权所有，翻版必究解： 由题意知那么p vc = a?n= 0.49p vav2np vb =a?pn= 0.61na?

9、 n3vnp vdi22.1000 元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100 元，直至还清，如果最后一次的还款大于100 元。计算最后一次还款的数量和时间。vnp4.5%41000 100a?解：100an+1?p4.5%v4100016解得 n = 172列价值方程解得+100a?p4.5%xv1 = 1000x = 146.0723.36 年的期末年金每次4 元，另有18 年的期末年金每次5 元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n 年内将增加一倍，计算n 。由题意，(1 + i)= 2 解得 n = 9183624. 某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还10

10、0 元， 5 年还清； k 个月后一次还 6000 元。已知月结算名利率为12% ，计算k。解： 由题意可得方程100a?p1% = 6000(1 + i)?k60解得k = 2925. 已知 a?pi= 1.75 ，求 i。2解： 由题意得1 ? v= 1.75i2解得i = 9.38%26. 某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10 年期末年金可以每年得到 1538 元， 20 年 的期末年金为每年1072 元。计算年利率。解：【篇二：金融数学引论北大版第4 章答案】现有 1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6% ，计算第 2 年底的未结贷款余额。解： 设每个季度还款

11、额是r ，有ra(4)5p6%= 1000解得 r ，代入 b2 的表达式b2 = ra(4)3p6% = 635.32 元2 设有 10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。解：n =100002000= 5= 4917.72 元3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。解： 以季度为时间单位，i = 2.5% 。b0 = bl ? v + 1500a4pi= 16514.4 元4 某贷款将在15 年内分期偿还。前5 年每年底还4000

12、元，第二个5 年每年底还3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款余额的表达式。解： 对现金流重新划分，有b7 = 2000a8p + 1000a3p北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知第 4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。解： 设原始贷款额为l ，每次还款为r ，以半年为时间单位，有?5000 = ra3P4% l = ra7 P4% 整理得：l = 5000 ? a7pa3p= 10814.16 元6 现有 20000 元贷款将

13、在12 年内每年底分期偿还。若(1+i)4 = 2 ，计算第 4 次 还款后的未结贷款余额。解： 设第 4 次还款后的未结贷款余额为l ，每次还款为r ，有?20000 = r ? a12pi l = r ? a8pi 把 (1 + i)4 = 2 代入整理得：l = 5000 ? 1 ? (1 + i)?81 ? (1 + i)?12= 17142.86 元7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺，随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20 年内还清。计算调整后的每次还款额。解： 设正常每次还款为r ，调整后每次还款x ，

14、以当前时间和第5年底为比较日，有?20000 = ra20pxa13p ? v2 = ra1 5p整理得：x = 20000 ? al5P a20p? (1 + i)2al3p8 某贷款 l 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第 10 次的 还款中每次多付k 元，结果提前5 年还清贷款。试证明：k =a20p ? al5pa215p a5p l证： 以第 20 年年底为比较日，设每次还款为r ，有?l = ra25pks5p (1 + i)10 = ra5p整理即得。9 设 bt 表示未结贷款余额，证明：(1) (bt ? bt+1)(bt+2 ? bt+3) = (bt+

15、1 ? bt+2)2;(2) bt + bt+3 bt+1 + bt+2证： (1)(bt ? bt+1)(bt+2 ? bt+3) = (r + bt+11 + i? bt+1) ? (bt+2 ? (1 + i)bt+2 ? r) r ? ibt+11 + i? (r ? ibt+2)= (r ? ibt+1) ? r ? i(1 + i)bt+1 ? r)1 + i= (r ? ibt+1)2= (bt+1 ? bt+2)22 2)bt ? bt+1 = r ? ibtr ? ibt+2= bt+2 ? bt+3) bt + bt+3 bt+1 + bt+2默认每次还款额是相同的！10

16、某贷款按季度分期偿还。每次1000 元，还期5 年，季换算名利率 12% 。计算 第 6 次还款中的本金量。解：p6 = b5 ? b6=1000a20?5P3% ？1000a20?6P3%= 641.86 元11 n 年期贷款，每年还款1 元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和 ) 。 解： 设第 t 年支付的利息为it ，有it = ibn+1?t=ian+1?tp= 1 ? vn+1?t支付利息的总现值为：i =t=1itvtt=1(1 ? vn+1?t)vt=anp ? nvn+112 设 10000 元贷款 20 年还清，年利率10%，证明第11 次中的利息为 10001 + v10

17、元。此处有改动10000 改成 1000证： 设每期还款额为r ，由上题的结论有i11 = r(1 ? v10)10000a20p (1 ? v10)= 10000 ? i1 + v1010001 + v1013 设有 20 次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额最小。解： 不妨设每次还款额为1 。pt ? it = vnt+1 ? (1 ? vn?t+1)= 2vn?t+1 ? 1由2vn?t+1 ? 1 = 0 ? t 弋 12.96验证 t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。14 现有 5 年期贷款，分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为

18、100元，季换算的名利率10% 。计算最后5 次还款中的本金量之和。解：以一季度为时间单位，设每次还款额为r,由题意得rv20?3+1 = 100? r =100v18于是最后5 次本金总额为r(v1 + ? ? ? + v5) = 724.59 元15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10 年的年利率为 i ，后 10 年的年利率为j 。计算：(1) 第 5 次偿还中的利息量；(2) 第 15 次偿还中的本金量。解： 设初始贷款量为1 ，每年还款额为r ，有：1 = ra10pi + ra10pj (1 + i)?10) r =1a10pi+ (1 + i)?10a10pj(1

19、) i5 = ib4=ir(a6pi + (1 + i)?6a10pj)(2) p15 = b14 ? b15=ra6pj ？ ra5pj = r(1 + j)?616 原始本金为a 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还k ，且最后一次将不足部分一次还清。计算：(1) 第 t 次偿还的本金量；(2) 摊还表中的本 金部分是否为等比数列？解： 设总还款次数为n ，最后一次还款中不足部分设为b 。(1) 利用追溯法可得bt =?a(1 + i)t ? ks tp , t n0, t = n故pt =?(k ? ia)(1 + i)t?1, t n(k ? ia)(1 + i)n?1 + b,

20、t = n(2) 显然前 n ? 1 次本金呈等比数列，最后一次与前面没有等比关系。17 现有 20 年的抵押贷款分年度偿还，每次1 元。如果在第7 次正常还款的同时，额外偿还原摊还表中第8 次的本金，而且今后的还款仍然正常进行。(正常的意思是依然按照摊还表进行，改变期限，每次还款的金额不变)。证明：还贷期间节约的利息为1 ? v13 。证： 在第 7 次额外多还以后，第n 次还款刚好对应原摊还表中第n+ 1 次的还 款。所以节约的利息为原摊还表中第8 次还款中的的利息量，为1 ? v13 。18 总量为 l 的贷款分10 年偿还，已知v5 =23。计算：(1) 前 5 次偿还中的本金之和；(

21、2) 如果最后5 次还款因故取消，计算第10 年底的未结贷款余额。解： (1) 由题意得前5 次偿还本金之和为r(v10 + ? ? ? + v6) = rv6 1 ? v51 ? vlal0pv1 ? vv5(1 ? v5)l1 ? v10 v5(1 ? v5)= 0.4l2 2) 利用追溯法b10 = l(1 + i)10 ? rs 5p (1 + i)5【篇三：金融数学引论答案第一章_北京大学出版1】解 : 把 t = 0 代入得 a(0) = 3 于是 :a(t) =a(t)/a(0)= ( t2 + 2t + 3 ) /3 in = a(n) ? a(n ? 1)= (n2 + 2n

22、 + 3) ? (n ? 1)2 + 2(n ? 1) + 3)= 2n + 12. 解 :?1?i?a(n)?a(t)?in?in-1?it?1?n(n? 1)/2?t(t? 1)/2 (2)i?a(n)?a(t)?k?t?1?ink? 2n?1?2t?13. 解 : 由题意得a(0) = 1, a(3) =a(3)/a(0)= 1.72? a = 0.08, b = 1. a(5) = 100a(10) = a(0) ? a(10) = a(5) ? a(10)/4. 解：(1)i5 =(a(5) ? a(4)/a(4)=5120 弋 4.17%i10 =(a(10) ? a(9)/a(9

23、)=5145 弋 3.45%(2)i5 =(a(5) ? a(4)/a(4)100(1 ? 0.1)5?100(1 ? 0.1)4? 10%100(1 ? 0.1)4i10?(a?10?a?9?)/a?9?100(1 ? 0.1)?100(1 ? 0.1)? 10%100(1 ?0.1)91095. 解 :a(7) = a(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7)= 1190.916. 解 : 设年单利率为i500(1 + 2.5i) = 615解得i =9.2%设500 元需要累积t年解得t =3 年 4个月7. 解 : 设经过 t 年后，年利率达到2.5%1 ? 4%?t? (

24、1 ? 2.5%)tt 弋 36.3678. 解 :(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = xy 39. 解 : 设实利率为i600(1 + i)2 ? 1 = 264解得 i = 20%. a(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元10.解 : 设实利率为i11?1 n2n(1?i)(1?i)解得 (1 + i)-n=1 21?23?)?22 所以 (1 + i)2n于是 pv =100001000010000 ?204060 (1 ?i)(1 ?i)(1 ?i) ?23?4= 3281.2512 解 :(1 + i)a = 2 (1)3(1 + i)b = (2

25、) 2c(1 + i) = 5 (3)3(1 + i)n = (4) 2(4) ? n ? ln (1 + i) = ln 5 ? ln 3故 n = c ? (a + b)13 .解 :?a ? i = 336a ? d = 300i ? d = i ? d? a = 280014 .解 : (1)d5 =a?5?a?4? a510% 1 ? 5?10%= 6.67%(2)a-1(t) = 1 ? 0.1t? a(t) = 1= 1?0.1ta?5?a?4? d5 = a5= 16.67%15 .解 :由i(3)3d(4)(?4)(1?)?(1?)34 3(3)i?d(4)?4?1?(1?)

26、43由i(6)6d(12)(?12)(1?)?(1?)612 (12)d?i(6)?6?(1?)?2?1124*24 ) = 112.65 元17. 解 : 利用 1/d(m)? 1/i(m) = 1/m? m = 8aa(t)0.1?aa(t)1?0.1t(aa?1b?1ba?1a(t)?1?0.05t?b?(t)0.05?(t)1?0.05t t = 519.解 : 依题意，累积函数为a(t) = at2 + bt + 1? a(0.5) = 0.25a +0.5b + 1 = 1.025a(1) = a + b + 1 = 1.07?a = 0.04b = 0.03由 ?a(t)?b(t

27、)2t2? 21 ?t1 ?t? t 1 ?d? 8% ,设复利下月实贴现率为 d,单利下实利率为d0o21 解：4 全部采用复利：8%(1?d)3? 1? 2pv? 5000(1?d)25? 4225.25 前两年用复利：1?3d0? 1?8% 2pv? 5000(1?d)24(1?d0) ? 4225.466%4)?1 ? 6.14% 4设第3年初投入x,以第3年初为比较日，列价值方程4 22 .解：i? 6% ，则 i? (1 ?2000(1 ?i)2? 2000(1 ?i) ?x? 2000v2? 5000v8 解得 x = 504.67 元23解： 对两种付款方式，以第5 年为比较日，列价值方程：200 ?500v5? 400.94 解得 v5? 0.40188 所以p? 100(1 ?i)10? 120(1 ?i)5? 917.76224解：1000?1 ? 6%? 2?1000?1 ? 4%? 解得： t = 36 年25解： 列价值方程为100vn? 100v2n? 100 解得 n = 6.2526解：?t?t0tt1 ，得基金b 的积累函数为6tt2ab(t) ?exp(?sds) ?exp() 欲使aa(t) ?ab(t) 则 121?