61一维波动方程的达朗贝尔公式

1、第九章第九章 行波法与积分变换行波法与积分变换法法李莉李莉1n求解定解问题求解定解问题q分离变量法分离变量法求解有限区域内定解问题：解的区求解有限区域内定解问题：解的区域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示）干个只含有一个坐标变量的方程表示）q行波法行波法求解无界区域内波动方程的定解问题求解无界区域内波动方程的定解问题q积分变换法积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无不受方程类型的限制，主要用于无界区域，但对有界区域也能应用界区域，但对有界区域也能应用29.1 一维波动方程的一维波动方程的DAlember(达朗

2、达朗贝尔贝尔)公式公式n就一维波动方程建立通解公式就一维波动方程建立通解公式一维波动方程：一维波动方程：22222uuatx(6.1.1)作如下的变换：作如下的变换：xatxat(6.1.2)利用复合函数微分法则有：利用复合函数微分法则有：uuuuuxxx22222222uuuuuuuuxxx 222222222uuuuat (9.1.3)(9.1.4)322222uuatx22222222uuuuuuuuxxx 222222222uuuuat (9.1.1)（9.1.1)化为：化为：20u （9.1.5）将式（将式（9.1.5）对）对 积分，得：积分，得： ( )uf再将此式对再将此式对 积

3、分，得：积分，得： 212( , )( )( )()()u x tfdff xatfxat（9.1.6）其中其中 都是任意二次连续可微函数。都是任意二次连续可微函数。12,ff(9.1.3)(9.1.4)4212( , )( )( )()()u x tfdff xatfxat（9.1.6）式（式（9.1.6）就是方程（）就是方程（9.1.1）的通解。）的通解。在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 与与 的具体形式。的具体形式。1f2f为此，必须考虑定解条件。为此，必须考虑定解条件。下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已

4、知。下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。2222200( ), ( )ttuuatxuuxxt（9.1.7）将式（将式（9.1.6）中的函数代入式（）中的函数代入式（9.1.7）中，得：）中，得：12( )( )( )f xfxx（9.1.8）12( )( )( )a f xa f xx（9.1.9）512( )( )( )f xfxx（9.1.8）12( )( )( )a f xa f xx（9.1.9）式（式（9.1.9）两端对）两端对 积分一次，得：积分一次，得： x1201( )( )( )xf xfxdCa （9.1.10）由式（由式（9.1.8）与式（）与式（

5、9.1.10）解出）解出12( ),( )f xfx1011( )( )( )222xCf xxda 2011( )( )( )222xCfxxda 把确定出来的把确定出来的 代回到式（代回到式（9.1.6）中，即得到方程（）中，即得到方程（9.1.1）在）在条件（条件（9.1.7）下的解：）下的解：12( ),( )f xfx11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda （9.1.11）无限长弦自由振动的无限长弦自由振动的DAlembert（达朗贝尔）公式。（达朗贝尔）公式。611( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda （9.

6、1.11）DAlembert解的物理意义：解的物理意义：n先讨论初始条件只有初始位移情况下先讨论初始条件只有初始位移情况下DAlembert解的物理意义。解的物理意义。此时式（此时式（9.1.11）给出）给出1( , ) ()()2u x txatxat先看第二项，设当先看第二项，设当t=0时，观察者在时，观察者在x=c处看到的波形为：处看到的波形为： ()(0)( )xatcac若观察者以速度若观察者以速度a沿沿x轴的正向运动，则轴的正向运动，则t时刻在时刻在x=c+at处，他所看到处，他所看到的波形为：的波形为：()()( )xatcatatc由于由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中

7、随时可看到相同的波为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形，说明波形和观察者一样，以速度形，说明波形和观察者一样，以速度a沿沿x轴的正向传播。轴的正向传播。 7所以所以 代表以速度代表以速度a沿沿x轴的正向传播的波，称为轴的正向传播的波，称为正行正行波波。而第一项。而第一项 则代表以速度则代表以速度a沿沿x轴的负向传播的波，轴的负向传播的波，称为称为反行波反行波。正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。()xat()xatn再讨论只有初速度的情况。此时式（再讨论只有初速度的情况。此时式（9.1.11）给出：）给出：1( , )(

8、)2x atx atu x tda 设设 为为 的一个原函数，即的一个原函数，即( )x( )2xa01( )( )2xxxda 则此时有则此时有( , )()()u x txatxat 由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的叠加（相减）给出弦的位移。叠加（相减）给出弦的位移。综上所述，综上所述，DAlembert解表示正行波和反行波的叠加解表示正行波和反行波的叠加。8n例例1 求解下列初值问题求解下列初值问题21000,0( , )|cos ,( , )|.ttxxtttua uxtu x txux te 解：解： 本

9、题中本题中1( )cos ,( ),xxxe直接应用直接应用DAlembert 公式，有：公式，有：111( , )cos()cos()22cos()cos.x atx atu x txatxate datatxe9*9.2 三维波动方程的三维波动方程的Poisson公式公式n三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：222222222100(), ,0,( , , ),( , , ).ttuuuuax y zttxyzuux y zx y zt 这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于

10、坐标变量有三个，不能直接利用接利用6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。10 9.2.1 三维波动方程的球对称解三维波动方程的球对称解n球对称：球对称：u与与 都无关。都无关。, 在球坐标系中，三维波动方程为：在球坐标系中，三维波动方程为：22222222221111sinsinsinuuuurrrrrrat当当u不依赖于不依赖于 时，这个方程可简化为：时，这个方程可简化为：, 2222211uurrrrat或写成或写成222222uururrrat11222222uururrrat222221()2uururrrat22222()1()ru

11、rurat这是关于这是关于ru的一维波动方程，其通解为：的一维波动方程，其通解为：12()()rufratfrat或或12()()( , )f ratfratu r tr12 6.2.2 三维波动方程的三维波动方程的Possion公式公式n对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数u本身，而本身，而是考虑是考虑u在以在以M(x,y,z)为球心、以为球心、以r为半径的球面上的平均为半径的球面上的平均值，则这个平均值当值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与暂时固定之后就只与r,t有关了。有关了。这个平均值可以写成：这个平均值可以写成：1_211( ,

12、)( , , , )( , , , )44MMrSSu r tut dSut dr 其中其中 表示表示以点以点 为中心、以为中心、以r为半径的球面；为半径的球面；MrS( , , )M x y z表示表示r=1的单位球面。的单位球面。1MS13sincos ,sinsin ,cos ,xryrzr 1_211( , )( , , , )( , , , )44MMrSSu r tut dSut dr 是球面是球面 上点的坐标，上点的坐标， 是是 上的面积元素。上的面积元素。 是单位球面上的面是单位球面上的面积元素。积元素。MrSdSMrSd在球坐标系中，在球坐标系中，sindd d 显然有显然有

13、2dSr d由平均值由平均值 的定义和的定义和u的连续性可知，的连续性可知，_( , )u r t_0lim ( , )(, )ru r tu M t_(0, )(, )utu M t14经过推导，可得经过推导，可得 满足的微分方程：满足的微分方程：_( , )u r t_22222( , )( , )r u r tr u r tatr这是一个关于这是一个关于 的一维波动方程，它的通解为：的一维波动方程，它的通解为： _( , )r u r t_12( , )()()r u r tf ratfrat其中其中 是两个二次连续可微的任意函数。是两个二次连续可微的任意函数。12,ff由初始条件定得：

14、由初始条件定得：_101011( )( )( )2af rrrdCa _201011( )( )( )2afrrrdCa 15于是于是_001()()()()1( , )( )22r atr atratratratratu r tdrar 将将 拓广到拓广到r0的范围内，并且使的范围内，并且使 。_( , )u r t_(, )( , )ur tu r t即即 是偶函数。是偶函数。_( , )u r t同理，同理， 与与 也是偶函数。也是偶函数。 _0( ) r_1( ) r因此，可将上式写成：因此，可将上式写成：_001()()()()1( , )( )22r atr atratratatr

15、atru r tdrar 16令令 利用利用LHospital（洛必塔）法则得到：（洛必塔）法则得到：_001()()()()1( , )( )22r atr atratratatratru r tdrar 0r _00101202121(0, )()()()()()()(sincos ,sinsin ,cos , )1() sin4(sincos ,sinsin ,cos , )() sin4()MatSutatatattatatattata txyztatd da tatxyzttatat MatSd d 或简记成或简记成0111(, )44MMatatSSu M tdSdSa trar上

16、式称为三维波动方程的上式称为三维波动方程的Poisson公式。公式。17n例例2 求解定解问题求解定解问题223200, ,0 ,0.tttttuaux y ztuxy zu 解：这里解：这里3201, , ,0 x y zxy zx y z将这些给定的初始条件代入到将这些给定的初始条件代入到Poisson公式并计算其中的积分，就公式并计算其中的积分，就可以得到问题的解：可以得到问题的解： 0220002320032 222 21, , ,4, ,1sin41sincossinsincossin43.MatSMu x y z tdSa tatatd da tattxatyatzatd dtxa

17、 t xy za t z 189.3 Fourier积分变换法求定解问题积分变换法求定解问题( )( , ) ( )baF pk x p f x dx所谓积分变换，就是把某函数类所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数中的函数f(x)经过某种可逆的积分运算经过某种可逆的积分运算变成另一函数类变成另一函数类B中的函数中的函数F(p)。F(p)称为称为f(x)的像函数，而的像函数，而f(x)称为称为F(p)的像的像原原函数函数。k(x,p)是是x，p的已知函数，称为积分变换的核。在这种变换下，原来的的已知函数，称为积分变换的核。在这种变换下，原来的偏微分方程可以偏微分方程可以减少自变量的个数减少自变

18、量的个数，直至变成常微分方程。，直至变成常微分方程。原来的常微分方程，可以变成代数方程，从而使在函数类原来的常微分方程，可以变成代数方程，从而使在函数类B中的运算简中的运算简化，找出在化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，便得到原来要在中的一个解，再经过逆变换，便得到原来要在A中所求的解。中所求的解。19 9.3.1 预备知识预备知识Fourier变换及性质变换及性质1.Fourier变换变换函数函数f(x)的的Fourier变换：变换： ( )( )( )i xF f xGf x edx( )G称为称为f(x)的像函数。的像函数。Fourier逆变换逆变换:11 ( )( )( )2i xF

19、Gf xGedf(x)称为称为 的像原函数。的像原函数。( )G因此，当因此，当f(x)满足满足Fourier积分条件时，有积分条件时，有1( ) ( ( )f xFF f x202.三维三维Fourier变换变换若记若记112233123123,( )( , , ),eeere xe ye zf rf x y zdrdxdydz dddd 则三维则三维Fourier变换及反演公式分别：变换及反演公式分别： ( )( )( )jrF f rGf r edr 131 ( )( )( )(2 )jrFGf rGed 213.Fourier变换的性质变换的性质设设 ( )( )F f xG（1）线性

20、性质线性性质为任意常数，则任意函数为任意常数，则任意函数 和和 有：有： , 1f2f1212()()()FffF fF f（2）延迟性质延迟性质为任意常数为任意常数000( )()ixF ef xG22（3）位移性质位移性质 设设 为任意常数为任意常数0 x00 () ( )i xF f xxeF f x（4）相似性质相似性质a为不为零的常数为不为零的常数1 ()F f axGaa（5）微分性质微分性质 若若 时，时，x (1)( )0,( )0nf xfx1,2,n 则则2( )( ) ( ),( )() ( ),( )() ( ).nnF fxi F f xF fxiF f xF fxi

21、F f x23（6）积分性质积分性质01( ) ( )xxFfdF f xi（7）卷积性质卷积性质卷积定义：卷积定义：已知函数已知函数 和和1( )f x2( )fx1212( )( )( )()f xfxffxd卷积定理为：卷积定理为：1212( )( )( )( )F f xfxF f xF fx（8）象函数的卷积定理象函数的卷积定理12121( )( )( )( )2F f xfxF f xF fx24 9.3.2 Fourier变换法解定解问题变换法解定解问题n例例1 求解弦振动方程的初值问题求解弦振动方程的初值问题2(,0),( ,0)( )(),( ,0)0().ttxxtua u

22、xtu xxxu xx 解：视解：视t为参数，将方程和相应的条件对为参数，将方程和相应的条件对x进行进行Fourier变换，并记变换，并记)()();,(),(xFtutxuF则则2222,( ,0)( ),( ,0)0.td uaudtuu 252222,( ,0)( ),( ,0)0.td uaudtuu 这是带参数这是带参数 的常微分方程的初值问题。的常微分方程的初值问题。解得：解得：tatucos)(),(再进行反演，得到原定解问题的解为：再进行反演，得到原定解问题的解为：11()()( , ) ( , ) ( )cos1( )cos21( )41 ()().2i xix atix a

23、tu x tFutFa ta tedeedxatxat 26n例例2 求无界杆的热传导问题求无界杆的热传导问题2( , )(,0),( ,0)( )().txxua uf x txtu xxx 解：对方程和定解条件两端关于解：对方程和定解条件两端关于x分别进行分别进行Fourier变换，并记变换，并记),(),(tutxuF),(),();()(tftxfFxF则：则：22( , ),( ,0)( ).duauftdtu 这是带参数这是带参数 关于变量关于变量t的常微分方程的初值问题，解得：的常微分方程的初值问题，解得：defetutatta)(02222),()(),(27应用反演公式，得原

24、定解问题的解为：应用反演公式，得原定解问题的解为：22222222111()01111()0( , ) ( , ) ( )( , ) ( )() ( , )().tatatattatu x tFutFeFfedFFxF FeFF f xF Fed 再由卷积定理再由卷积定理deFxfeFxtxuttata0)(11)(),()()(),(2222而而222222222214011()(cossin)2211cos.2atati xatxata tFeeedexix dexdeat28这里利用了积分公式这里利用了积分公式)0(21cos4022aaebxdxeabax所以所以ttaxtaxttax

25、taxddetfadetadetaxfetaxtxu0)(4)(4)(0)(4422222222),(21)(21)(21),(21)(),(由此例看到，用由此例看到，用Fourier变换解方程时不必像分离变量法那样区分齐次变换解方程时不必像分离变量法那样区分齐次方程和非齐次方程，都是按同样的步骤求解但是反演往往比较困难。方程和非齐次方程，都是按同样的步骤求解但是反演往往比较困难。 29 9.4 Laplace变换法解定解问题变换法解定解问题 9.4.1 Laplace变换及其性质变换及其性质1.Laplace变换变换定义：定义：0 ( )( )( )ptL f tF pf t edt逆变换（

26、或称反演）：逆变换（或称反演）：11 ( )( )( )2iptiLF pf tF p e dpi 1( ) ( )f tLL f t302.Laplace变换的性质变换的性质（1）线性性质线性性质1212()()()LffL fL f（2）延迟性质延迟性质0000( )(),Re()p tL ef tF pppp( ) ( )F pL f t其中其中（3）位移性质位移性质0则则 () ( )pL f teL f t31若若 时，时，（4）相似性质相似性质( ) ( )F pL f t0a 则则1 ()pL f axFaa（5）微分性质微分性质x (1)( )0,( )0nf xfx1,2,n

27、 2( )12(1)( ) ( )(0),( ) ( )(0)(0),( ) ( )(0)(0)(0).nnnnnL f tpL f tfL ftp L f tpffL ftp L f tpfpff32（6）积分性质积分性质01( ) ( )tLfdL f tp（7）卷积定理卷积定理1212( )( )( )( )L f tf tL f tL f t其中，定义其中，定义12120( )( )( )()tf tf tff td33 9.4.2 Laplace变换法变换法n例例1 求解半无界弦的振动问题求解半无界弦的振动问题2(0,0),(0, )( ),lim ( , )0(0),( ,0)0,

28、( ,0)0(0).ttxxxtua uxtutf tu x ttu xu xx 解：对方程两边关于变量解：对方程两边关于变量t作作Laplace变换，并记：变换，并记：0( , ) ( , )( , )ptu x pL u x tu x t edt则则2222( , )( , )( ,0)( ,0)td u x pp u x ppu xu xadx342222( , )( , )( ,0)( ,0)td u x pp u x ppu xu xadx代入初始条件，得：代入初始条件，得：2222( , )0d upu x pdxa再对边界条件关于变量再对边界条件关于变量t作作Laplace变换，

29、并记：变换，并记：( ) ( )f pL f t则有：则有：(0, )( ),lim ( , )0.xupf pu x p352222( , )0d upu x pdxa上述常微分方程的通解：上述常微分方程的通解：12( , )( )( )ppxxaau x pC p eCp e代入到边界条件中，得：代入到边界条件中，得：21( )0,( )( )CpCpf p故：故：( , )( )xpau x pef p由位移定理：由位移定理：( )xpaxef pL fta所以：所以：110( , ) ( , )xtaxu x tLu x pLL ftxxafttaa36n例例2 求解长为求解长为l的均

30、匀细杆的热传导问题的均匀细杆的热传导问题210(0,0),(0, )0,( , )(0),( ,0)(0).txxxua uxl tutu l tutu xuxl解：对方程和边界条件（关于变量解：对方程和边界条件（关于变量t）进行）进行Laplace变换并考虑到初始变换并考虑到初始条件，则有：条件，则有：20222111000(0, )0,( , ).xptptud upudxaaupuuu l pu edtepp 3720222111000(0, )0,( , ).xptptud upudxaaupuuu l pu edtepp 其中方程的通解为：其中方程的通解为：012( , )( )si

31、n( )cosppuu x pC phxCphxpaa由边界条件定由边界条件定 ，得：，得：)(),(21pCpC010cos( , )cosphxuuuau x pppphla38由变换公式由变换公式0011(1)1ptptLedtepp 知知111pL又有又有2222(21)141cos4( 1)(21)1cos212cosakktlkphxkxaLeklpphla 2222(21)14114( 1)(21)( , ) ( , )cos212akktlkkxu x tLu x puekl所以所以从上面的例题可以看出，用从上面的例题可以看出，用Laplace变换法求解定解问题时，无论方程与变换法求解定解问题时，无论方程与边界条件是齐次与否，都是采用相同的步骤。边界条件是齐次与否，都是采用相同的步骤。Laplace变换同样可以用来变换同样可以用来求解无界区域内的问题。求解无界区域内的问题。39n例例3 在传输线的一端输入电压信号在传输线的一端输入电压信号 ，初始条件均为零，初始条件均为零，求解传输线上电压的变化求解传输线上电压的变化( )g t解：这是个半无界问题，定解条件如下：解：这是个半无界问题，定解条件如下：000()0(0,0),( )0,0,0.tttxxxtttRGuLGRC uLCuuxtug txuuu 且在内将方程和边界条件施以关于将方程和边界条件施以关于t的