第三章：31微分中值定理ppt课件

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三章微分中值定理微分中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔定理拉格朗日中值定理导数的应用 第三章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、微分中值定理一、微分中值定理第一节二、洛必达法则二、洛必达法则 微分中值定理 洛必达法则 第三章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1(罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理)如果函数 f (x)满足:(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyOab)(xfy 在( a , b ) 内至少存在

2、一点一、微分中值定理一、微分中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 罗尔定理的几何意义是： 如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于x轴的切线，标相同，且两端点处的纵坐那么其上至少有一点处的切线平行于x轴.Oxy)(xfy abAB 实际上, 切线与弦线 AB 平行.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 验证函数验证函数2( )2f xxx2( )2f xxx(0)(2)0,ff( )22,fxx在闭区间0，2上满足罗尔定理，并求出定理中的.解解是多项式函数,)(xf在 0 , 2 上 连续 ,又所以f(x)在0,2上满足罗尔定理的三个条件.由于解得x=1,即在开区间(0,2)内存在

3、一点=1(02),有( )0.f因为故在(0 , 2 )内可导,令( )0,fx即2x-2=0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2(拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)(1) 在闭区间 a , b 上连续如果函数 f (x)满足:(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 拉格朗日中值定理的几何意义是:如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于x轴的切线， 由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称该定理为微分中值定理.曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线.那么该曲线上至少有一

4、点，机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 若函数在区间 I 上满足,0)( xf那么)(xf在 I 上必为常数.)(xf证证: 在在 I 上任取两点上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值定理 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上为常数 .结论：( )0fx( )f xC这是证明函数等式的基础机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明等式证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论

5、可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所证等式在定义域 上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经历经历: 欲证Ix时,)(0Cxf只需证在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明对任意实数证明对任意实数a,b,都有都有证证: 如果a =b,不等式显然成立.即所以故sinsin.baba考虑ab情形,不妨设a共有 27 卷.其中最重要的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有

6、创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.其他类型的未定式其他类型的未定式 型未定式型未定式和和00 第三章 二、洛必达(LHospital)法则1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(limxgxf微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化00( 或 型)()(limxgxf本节研究本节研究:机动 目录 上页 下页 返回 结束 001) lim( )lim( )0 xxxxf xg x0(

7、)3) lim( )xxfxAg x (A可以是有限数,也可以是 )00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxAg xg x2)( )f x( )0g x定理定理 3.型未定式型未定式00(洛必达法则) 与 在 内可导,且( )g x0()x1.和和如果函数 f (x)和g (x)满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定理 3 中0 xx换为0,xx0,xx,xx之一,2.假设( )lim( )fxg x00满足定理3的条件, 那么( )( )limlim( )( )f xfxg xg x( )lim( )fxgx条件 2) 作相应的修改 , 定理 3 仍然成立.,x0

8、0( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x洛必达法则( ),( )fxg x仍属型或型,且说明：说明：对于型未定式也有相应的洛必达法则.也就是说,如果条件成立, 洛必达法则可以使用多次.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求01lim.xxex解解: 01limxxex型000lim1xxe1.当x0时，1xex01limxxex机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx16

9、6lim1x332x1232 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求.arctanlim12xxx解解: 原式 limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx考虑考虑: 如何求如何求 nnn12arctanlim( n 为正整数) ?型机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求求. )0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例例9. 求求解解:原式01limnxxnxe2(1)limnxxn nxe!limxxnelim( ).nxxxnNe型机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 0lnsinlimlnxxx

10、型解解:0lnsinlimlnxxx0cos /sinlim1/xxxx0lim cossinxxxx00lim coslimsinxxxxx1机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.其他类型的未定式其他类型的未定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例11. 求求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化011lim.1xxxe例例12. 求求解解:01lim(1)xxxe

11、xx e型01lim1xxxxexee0lim2xxxxexee1.2011lim1xxxe机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求求0lim.xxx型00解解: 0limxxxln0limxxxe0e1通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化0limlnxxxe0limln0 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例14. 求求10lim cos.xxx1型解解10lim cosxxx1lncos0limxxxeln, (0)xxex0型00sincoslim1xxx0lncoslimxxxe又0lncosl

12、imxxx0,所以10lim cosxxx0e1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例15. 求求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型002201sin1lim3cosxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1用洛必达法则1) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题计算问题 . 机动 目录 上页 下页

13、 返回 结束 2) 假设( )lim( )fxg x( )( )limlim.( )( )f xfxg xg x不存在()时,例例16. 求求201coslim.sinxxxx201coslimsinxxxx解解01limcossinxxxxx1 0 0.若使用洛必达法则，有若使用洛必达法则，有201coslimsinxxxx0112 cossinlim,cosxxxxx极限不存在极限不存在洛必达法则不是万能的洛必达法则不是万能的但没有洛必达法则是万万不能的但没有洛必达法则是万万不能的有界函数与无有界函数与无穷小的乘积仍穷小的乘积仍为无穷小为无穷小因此不能使用洛必达法则求得原极限.机动 目录

14、上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设设)()(limxgxf是未定式极限 , 假如)()(xgxf不存在 , 是否)()(xgxf的极限也不存在 ? 举例说明 .极限)1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(cos