利率期限结构

1、第第15章章 利率的期限结构利率的期限结构主要内容主要内容v15.1 收益曲线收益曲线 312v15.2 收益曲线和远期利率收益曲线和远期利率 314v15.3 利率的不确定性和远期利率利率的不确定性和远期利率 317v15.4 期限结构理论期限结构理论 318v15.5 对期限结构的说明对期限结构的说明 319v15.6 作为远期合约的远期利率作为远期合约的远期利率 322v什么是利率期限结构？什么是利率期限结构？利率期限结构是指具有利率期限结构是指具有相同风险及流动性的债券相同风险及流动性的债券，其收益率随到期日的时间长短而具有不同的关系。其收益率随到期日的时间长短而具有不同的关系。由于投

2、资者关心的并不是债券的票面利率而是实际由于投资者关心的并不是债券的票面利率而是实际得到的收益率，因而，得到的收益率，因而，收益率期限结构才是本质上收益率期限结构才是本质上的利率期限结构。的利率期限结构。分析利率期限结构，可以分析资金在不同市场间的分析利率期限结构，可以分析资金在不同市场间的流动趋势，对确定一组即期利率有重要帮助，而即流动趋势，对确定一组即期利率有重要帮助，而即期利率又是对固定收益证券估值的基础；分析利率期利率又是对固定收益证券估值的基础；分析利率期限结构，还有助于对未来利率变动进行预期。期限结构，还有助于对未来利率变动进行预期。15.1 收益曲线收益曲线收益曲线收益曲线v不同期

3、限的债券具有不同的利率不同期限的债券具有不同的利率, ,由此形成利率期由此形成利率期限结构问题限结构问题, ,其反映的是不同期限债券利率之间的其反映的是不同期限债券利率之间的关系。关系。v注意注意: : 第一第一, ,收益曲线分析对象仅指收益曲线分析对象仅指同质债券同质债券, ,即债券风即债券风险、信用等级、税收待遇及变现能力等基本相同险、信用等级、税收待遇及变现能力等基本相同, ,惟期限不同惟期限不同, , 即只分析其他条件相同而只有期限即只分析其他条件相同而只有期限不同的债券利率之间的关系。不同的债券利率之间的关系。第二第二, ,研究债券利率期限结构实质上是研究研究债券利率期限结构实质上是

4、研究债券收债券收益率益率期限结构期限结构, ,因为投资者关心的是实际收益率而因为投资者关心的是实际收益率而不是票面利率。不是票面利率。正收益率曲线正收益率曲线收益率%期限正收益率曲线表示在正常的情况下，短期债券的收益率低于正收益率曲线表示在正常的情况下，短期债券的收益率低于长期债券，债券期限越长，收益率越高。长期债券，债券期限越长，收益率越高。债券的正收益率曲线是在整个经济运行正常、不存在通货膨债券的正收益率曲线是在整个经济运行正常、不存在通货膨胀压力和经济衰退危机的条件下出现的。胀压力和经济衰退危机的条件下出现的。反收益率曲线反收益率曲线v 反收益率曲线，又称为下降收益率曲线。表示短期债券收

5、反收益率曲线，又称为下降收益率曲线。表示短期债券收益率较高，长期债券收益率较低。益率较高，长期债券收益率较低。v 反收益率曲线通常发生在紧缩信贷、抽紧银根的时候，由反收益率曲线通常发生在紧缩信贷、抽紧银根的时候，由于短期资金偏紧、供不应求，造成短期收益率急剧上升，于短期资金偏紧、供不应求，造成短期收益率急剧上升，抽紧银根又使人们对今后经济发展不很乐观，对长期资金抽紧银根又使人们对今后经济发展不很乐观，对长期资金需求下降，造成长期收益率下降。需求下降，造成长期收益率下降。收益率%期限平收益曲线平收益曲线前两种曲线互相替代过程中前两种曲线互相替代过程中, ,还会出现长短期债券收益率接还会出现长短期

6、债券收益率接近的状况。往往是正反收益曲线调整过程中的过渡近的状况。往往是正反收益曲线调整过程中的过渡, ,或者由市场自动调节或者由市场自动调节, ,或者由央行调控所致。或者由央行调控所致。收益率%期限拱收益曲线收益率%期限表示在某一时期之前债券的利率期限结构为正收表示在某一时期之前债券的利率期限结构为正收益曲线益曲线, ,在该期限之后又成反收益曲线在该期限之后又成反收益曲线. .这种曲线这种曲线的出现是在央行采取严厉紧缩政策时短期利率急的出现是在央行采取严厉紧缩政策时短期利率急剧上升所致剧上升所致. .债券定价债券定价3年息票可被认为是暗含三个零息债券的资产组合。年息票可被认为是暗含三个零息债

7、券的资产组合。零票债券收益是三个资产组合的收益组合。零票债券收益是三个资产组合的收益组合。纯收益曲线纯收益曲线(pure yield curve)指剥离零息国库券。指剥离零息国库券。新发行债券收益曲线新发行债券收益曲线(on-the-run yield curve)指的指的是以是以近期上市的以标准或近似标准价售出的息票债券到近期上市的以标准或近似标准价售出的息票债券到期期限作为自变量期期限作为自变量的曲线。的曲线。15.2 收益曲线和远期利率收益曲线和远期利率v相关术语相关术语零息债券到期收益叫做零息债券到期收益叫做即期利率即期利率(spot rate)。即期利率是指某个时点上零息债券的到期收

8、益率。即期利率是指某个时点上零息债券的到期收益率。给定时间间隔的短期利率给定时间间隔的短期利率指对在不同时间点内的指对在不同时间点内的间隔时间内的利率。间隔时间内的利率。例子中，今年的短期利率是例子中，今年的短期利率是5，下一年的短期利，下一年的短期利率将会是率将会是7.01。持有期收益持有期收益远期利率远期利率即期利率和短期利率即期利率和短期利率远期利率远期利率v远期利率的计算远期利率的计算nnnyfff)1()1()1)(1(211)1)(1 ()1 (21ffyfnnn已知一张已知一张3年期零息票债券的收益率是年期零息票债券的收益率是7.2%，第一年、第二年的远期利率分别为第一年、第二年

9、的远期利率分别为6.1%和和6.9%，那么第三年的远期利率应为多少？，那么第三年的远期利率应为多少？ 33%)2 . 71 ()1%)(9 . 61%)(1 . 61 (f%6 . 8086. 01%)9 . 61%)(1 . 61 (%)2 . 71 (33f15.3 利率的不确定性和远期利率利率的不确定性和远期利率v购买购买1年期债券：利率为年期债券：利率为4，到期本息为，到期本息为1000元的元的零息票债券零息票债券价格应该是多少？价格应该是多少？961.54元。元。确定的利率：持有债券确定的利率：持有债券到期到期v期限为期限为2年的债券，只持有年的债券，只持有1年，到时他的债券能给年，

10、到时他的债券能给他带来多高的收益？他带来多高的收益？取决于他可以按什么样的价格售出债券，而出售时的取决于他可以按什么样的价格售出债券，而出售时的债券价格则取决于当时的市场利率水平。债券价格则取决于当时的市场利率水平。实际上是一个实际上是一个不确定条件下远期利率不确定条件下远期利率的决定问题的决定问题练习：后期实际利率变动导致价格如何变化？练习：后期实际利率变动导致价格如何变化？v2年期零息票债券的价格为年期零息票债券的价格为961.54 ，假定第，假定第1年利年利率为率为4，第，第2年利率为年利率为5。问。问1年债券的价值为年债券的价值为多少？到期时的面值为多少？多少？到期时的面值为多少？1年

11、后该债券的价值应为年后该债券的价值应为1000元元961.54(1+0.04)债券到期时的面值应为债券到期时的面值应为1050元元1000 x(1+0.05)。v1年后利率升高，不是预期的年后利率升高，不是预期的5，而是实际的，而是实际的7，问，问1年后面值为年后面值为1050的零息票债券的价格？的零息票债券的价格？981.31元元1050/(1+0.07)。这就是说，投资者这就是说，投资者1年后出售债券时，只能得到本息年后出售债券时，只能得到本息981.31元，实际只得到了利息元，实际只得到了利息19.77元元(981.31-961.54)，折合成年利率仅为，折合成年利率仅为2.06(19.

12、77/961.54)，而不是期，而不是期望的望的4。什么时候愿意持有期限更长的债券？什么时候愿意持有期限更长的债券？v分析：当未来利率不确定时，投资者只愿意进行分析：当未来利率不确定时，投资者只愿意进行1年期的投资而不愿意选择两年期的债券年期的投资而不愿意选择两年期的债券(因为有因为有未来利率不确定的风险未来利率不确定的风险)v在什么情况下投资者才愿意投资于更长的债券呢在什么情况下投资者才愿意投资于更长的债券呢?只有让投资者获得一只有让投资者获得一个风险溢价个风险溢价，投资者才会愿，投资者才会愿意进行这种方式的投资。意进行这种方式的投资。投资者在进行投资决策时会进行投资者在进行投资决策时会进行

13、期望的未来短期期望的未来短期利率利率与远期利率的比较，远期利率大于未来期望与远期利率的比较，远期利率大于未来期望的短期利率的溢价也称作的短期利率的溢价也称作流动溢价流动溢价(Liquidity premium)。有风险补偿情况下的收益率计算有风险补偿情况下的收益率计算v当如果投资者购买当如果投资者购买2年期债券的价格不是年期债券的价格不是96154元，而是元，而是94340元，投资者愿意投资于这种元，投资者愿意投资于这种2年年期的零息票债券吗？期的零息票债券吗？一年后到期价格为一年后到期价格为1000元，则收益率为元，则收益率为6%。（风。（风险溢价为险溢价为2%）第二年的预期利率为第二年的预

14、期利率为E（r2）5%，f2为为7%利率不确定与远期利率利率不确定与远期利率v投资者偏好短期投资：投资者偏好短期投资： E（r2） f2v远期利率是否等于未来期望的短期利率远期利率是否等于未来期望的短期利率取决于投取决于投资者对利率风险的承受情况资者对利率风险的承受情况，也取决于他们对债，也取决于他们对债券期限长短的偏好。券期限长短的偏好。15.4 期限结构理论期限结构理论v未来的短期利率在当前时刻是不可知道的，所以未来的短期利率在当前时刻是不可知道的，所以以短期利率的期望值以短期利率的期望值E(ri)作为未来短期利率的无作为未来短期利率的无偏估计（偏估计（假设条件假设条件）。）。v短期利率的

15、期望值可以通过短期利率的期望值可以通过远期利率远期利率基于基于三种不三种不同的理论同的理论来估计。来估计。期望假说（市场期望理论）期望假说（市场期望理论）流动性偏好理论流动性偏好理论市场分割理论市场分割理论当前零息债券的价格当前零息债券的价格当前不同期限债券的到期收益率当前不同期限债券的到期收益率远期利率远期利率未来短期利率的期望值未来短期利率的期望值三种不同的假定：三种不同的假定：（1）市场期望理论）市场期望理论（2）流动性偏好理论）流动性偏好理论（3）市场分割理论）市场分割理论未来不同期限债券的到期收益率未来不同期限债券的到期收益率未来利率期限结构未来利率期限结构当前利率期限结构当前利率期

16、限结构未来利率期限结构未来利率期限结构v市场期望理论（市场期望理论（the market expectations theory）未来短期利率期望值远期利率未来短期利率期望值远期利率v流动性偏好理论（流动性偏好理论（the liquidity perference theory)长期债券必须有流动性溢价（长期债券必须有流动性溢价（liquidity premium）v市场分割理论（市场分割理论（the market segmentation theory)长期债券和短期债券分别适应于不同的投资者长期债券和短期债券分别适应于不同的投资者预期理论预期理论假设条件：假设条件： 投资者风险中性投资者风

17、险中性仅仅考虑（到期）收益率而不管风险仅仅考虑（到期）收益率而不管风险。 所有市场参与者都有相同的预期，金融市场是完所有市场参与者都有相同的预期，金融市场是完全竞争的；全竞争的；1. 在投资人的资产组合中，期限不同的债券是完全在投资人的资产组合中，期限不同的债券是完全替代的。替代的。v在上述的假定下，投资于两年到期的债券的总报在上述的假定下，投资于两年到期的债券的总报酬率，应等于首先投资于酬率，应等于首先投资于1年到期的债券，随后年到期的债券，随后 再转投资于另一个再转投资于另一个1年到期的债券所获得的总报年到期的债券所获得的总报酬率，即酬率，即221222(1)(1)(1)( )yyfE r

18、f根据远期利率公式有，则2212(1)(1)(1( )yyE r第第1年投资（已知）年投资（已知）第第2年投资（预期）年投资（预期）利率期望理论的结论若远期利率（f2,f3,.,fn）上升，则长期债券的到期收益率yn上升，即上升式利率期限结构，反之则反。有没有可能是水平式的结构？有没有可能是驼峰式？长期投资与短期投资完全可替代：1.投资于长期债券的报酬率也可由重复转投资（roll-over)于短期债券获得。12(1)(1),.,(1)12,3,.,nntyyfftn其中，( )ttfE r24nynnynnynnyn市场期望理论理论下的利率期限结构（曲线）市场期望理论理论下的利率期限结构（曲线

19、）流动性偏好理论流动性偏好理论v短期债券相对于长期债券的利率风险要小。短期债券相对于长期债券的利率风险要小。v对持有长期债券需要风险溢价。对持有长期债券需要风险溢价。v收益曲线一般表现为基于远期利率的正向偏离。收益曲线一般表现为基于远期利率的正向偏离。vE（r2） f2流动性报酬为流动性报酬为( )2,3,.,ltttlfE rtn，由于投资者不愿意投资长期债券，因此为了吸引投资者，由于投资者不愿意投资长期债券，因此为了吸引投资者，投资两年期债券的收益，应高于先投资投资两年期债券的收益，应高于先投资1年期债券后，年期债券后，再在下再在下1年再投资年再投资1年期债券的收益，即年期债券的收益，即2

20、212(1)(1)(1( )lyyE r221222(1)(1)(1),( )( ),2,3,.,llllttyyffE rfE rtn由于所以同理可证:例子：比较两个理论例子：比较两个理论112323238%,( )9%,( )10%,1%,10%,11%llyrE rE rllff假设则222222(1.08)(1.1)18.9%(1.08)(1.09)18.5%llyyyy 233323(1.08)(1.1)(1.11)19.66%(1.08)(1.09)(1.11)18.90%llyyyy 注意：不变的流动性溢价使收益率上升的更上升。注意：不变的流动性溢价使收益率上升的更上升。由期望理

21、论由期望理论得到得到v由上面的例子推广由上面的例子推广121223312( )( )2,3,.,(1)(1),.,(1)1(1)(1( )(1( ),.,(1( )1(1)(1( ),.,(1( )1lttttlnntnttntnfE rlE rtnyyffyE rlE rlE rlyE rE ry 由， = 流动性溢价使得市场期望理论下的利率期限结构流动性溢价使得市场期望理论下的利率期限结构（1）上升的更上升）上升的更上升（2）下垂的可能上升可能下降）下垂的可能上升可能下降1.不变的流动性溢价（不变的流动性溢价（l1=l2=,ln)，预期短，预期短期利率不变（上升）：上升式期利率不变（上升）

22、：上升式YieldsMaturity远期利率远期利率收益率曲线收益率曲线预期的短期利率预期的短期利率YieldsMaturity远期利率远期利率收益率曲线收益率曲线预期的短期利率预期的短期利率2.不变的流动性溢价（不变的流动性溢价（l1=l2=,ln)，预期短，预期短期利率下降：驼峰式期利率下降：驼峰式3.上升的流动性溢价（上升的流动性溢价（l1l2,ln)，预期短期利，预期短期利率下降：上升式率下降：上升式YieldsMaturity远期利率远期利率收益率曲线收益率曲线预期的短期利率预期的短期利率4.上升的流动性溢价（上升的流动性溢价（l1l2,当期收益率当期收益率票面利率票面利率 溢价发行

23、，则：到期收益率溢价发行，则：到期收益率当期收益率当期收益率票面利率票面利率3.可赎回条款：该条款的存在，降低了该类债券的内可赎回条款：该条款的存在，降低了该类债券的内在价值。在价值。 当赎回价格低于应付利息的现值时（利率降低时），发当赎回价格低于应付利息的现值时（利率降低时），发行人将赎回债券，从而与不可赎回债券扩大价差。行人将赎回债券，从而与不可赎回债券扩大价差。市场利率高时，赎市场利率高时，赎回风险可忽略不计，回风险可忽略不计，两种债券的价差可两种债券的价差可以忽略。以忽略。v税收待遇：税收待遇：享受免税待遇的债券的内在价值一享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券般略高

24、于没有免税待遇的债券, ,故其价格较高故其价格较高v流动性流动性:债券的流动性与债券的内在价值呈正比债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。例关系。 债券的流动性越大，价格越高债券的流动性越大，价格越高v违约风险越高，投资收益率也越高违约风险越高，投资收益率也越高 违约风险高，则信用等级低，价格低违约风险高，则信用等级低，价格低 16.1 利率风险利率风险v16.1.1 利率敏感性利率敏感性我们已经知道：我们已经知道：债券价格与市场收益率之间呈反向关系债券价格与市场收益率之间呈反向关系 市场利率是债券投资的机会成本市场利率是债券投资的机会成本 当债券的到期收益率为当债券的到期收益率为5，而市

25、场利率是，而市场利率是6的时的时候，人们不会用面值购买这种债券，此时，这种债候，人们不会用面值购买这种债券，此时，这种债券的价格一定会下跌，直到该债券的到期收益率上券的价格一定会下跌，直到该债券的到期收益率上升到具有竞争力的升到具有竞争力的6的水平为止；相反的过程也具的水平为止；相反的过程也具有一样的机制。有一样的机制。我们还需要了解我们还需要了解- 债券价格对市场利率变化的敏感性债券价格对市场利率变化的敏感性马儿凯尔（马儿凯尔（Malkeil）定理）定理v由公式可见，债券的由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及持有期限、利息、本金以及市场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值市场利率（或

26、者收益率）决定了债券的内在价值，若市场是有效的（无套利条件），则内在价值若市场是有效的（无套利条件），则内在价值价格。价格。v在市场有效的前提下，在市场有效的前提下，Malkeil的的5个定理总结了个定理总结了债券价格（现值）与这些因素的关系。债券价格（现值）与这些因素的关系。11(1)(1)(1)nnttntttCCFPViii债券价格与到期收益率债券价格与到期收益率 债券债券- -定价关系（法则）定价关系（法则）Burton G. Malkiel（1962)， Homerliebowitz(1972)1) 1) 债券价格与收益率债券价格与收益率的变动呈反向关系：当收益率增加时的变动呈反向关

27、系：当收益率增加时，债券价格下降；当收益率下降时，债券价格上升。，债券价格下降；当收益率下降时，债券价格上升。ABCDABCD2) 2) 债券到期收益率债券到期收益率上升上升导致价格下降的幅度低于与收益率导致价格下降的幅度低于与收益率的等程度的等程度下降下降导致价格上升的幅度。导致价格上升的幅度。 ABCDABCD3) 3) 长期债券价格比短期债券价格对利率更敏感，换句话说长期债券价格比短期债券价格对利率更敏感，换句话说，长期债券价格有更大的利率风险。，长期债券价格有更大的利率风险。ABAB债券债券- -定价关系（法则）定价关系（法则）Burton G. Malkiel（1962)， Home

28、rliebowitz(1972)4 4) ) 随着随着期限期限的增加，的增加，债券价格债券价格对收益率的敏感性以一个下对收益率的敏感性以一个下降的速率增加。降的速率增加。 BA BA （虽然到期时间延长，债券价格波虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增加，但增加的速度递减。动幅度增加，但增加的速度递减。 ）5) 5) 利率风险与债券的息票率呈反向关系，高息票率的债券利率风险与债券的息票率呈反向关系，高息票率的债券价格与低息票率的债券价格相比，前者对利率变化的敏感价格与低息票率的债券价格相比，前者对利率变化的敏感性较低。性较低。 BC BC6) 6) 债券价格对收益率的敏感性与出售时的初始到期收益

29、率债券价格对收益率的敏感性与出售时的初始到期收益率呈反向关系。呈反向关系。 CD CD 了解债券价格与息票利率、到期收益率、到期期限之间了解债券价格与息票利率、到期收益率、到期期限之间的关系十分重要。的关系十分重要。v定理定理1：债券价格与市场利率具有反向相关关系。：债券价格与市场利率具有反向相关关系。v定理定理3：若利率不变，则债券的到期时间与债券价格若利率不变，则债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正相关关系。的波动幅度之间成正相关关系。 11111111111(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111(1)(1)(1)1(1)nntnntntnntnntn

30、nntnnnnCCFPViiiF kF kFiiiF kF kF kFPViiiikikiF kFFkFiiiii证明： 当时，有，则11,nnnnPVPVikPVPV从而。同理，当时，。因此，同样的市场利率变化给长期债券造成的波动更剧烈原因：原因：长期长期债券由于期债券由于期限长，利率限长，利率对其价格的对其价格的作用大。作用大。v 定理定理2：对于既定期限的债券，由利率下降导致的债券价对于既定期限的债券，由利率下降导致的债券价格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升导致的债券价格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升导致的债券价格下降的幅度。格下降的幅度。 证明：任取证明：任取t时刻现金流时刻现金

31、流Ct的折现值，只要证明每个时刻的折现值，只要证明每个时刻的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。,(1)(1)(1)(1)(1)(1)1()1,1 ()()()2 () ()ttttttttttttttttttCCCCCCudiiiiiiiiiaaaudaiaiaaaaaiaiaiai 令再令由于2/2220,() ()1()()()21 12ttttttudiiaaaaiaiaiaaudaiaiududPVPV 又由于则有从而即，对于任意 时刻，则所有现金流的现值也满足v定理定理4：虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增：虽然到期时间延长，

32、债券价格波动幅度增加，但增加的速度递减。加，但增加的速度递减。n2年与年与n+1年的差异小于年的差异小于n1年与年与n年之间的差异年之间的差异(1)(1)nnnF kFPVii,111(1)(1)(1)n nnnnF kF kFPViii,2122(1)(1)(1)(1)n nnnnnF kF kF kFPViiii证明：分别观察证明：分别观察n年期、年期、n+1年期和年期和n2年期债券投资者年期债券投资者最后最后1年、年、2年和年和3年现金流的现值年现金流的现值,111(1)(1)(1)n nnnnnF kFFPVPViii,2,1221(1)(1)(1)n nn nnnnF kFFPVPV

33、iii由于由于则有则有,2,1,1111n nn nn nnPVPVPVPVi原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小，当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但增重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但增速递减。速递减。v定理定理5：除折现债券和永久债券外，息票率越低：除折现债券和永久债券外，息票率越低的债券受市场利率的影响越大。的债券受市场利率的影响越大。息票率越低，付本金前所有利息收入的现值在息

34、票率越低，付本金前所有利息收入的现值在整个债券价格构成中占比重越低，本金现值的比整个债券价格构成中占比重越低，本金现值的比重越大。重越大。本金是现金流最主要的组成部分，其现值（绝本金是现金流最主要的组成部分，其现值（绝对数）受利率的影响最大。对数）受利率的影响最大。1.由由1、2即有定理即有定理5。表表 16-1,2 息票率为息票率为8%和零息债券价格和零息债券价格Table 16.2 Prices of Zero-Coupon Bond (Coupons Paid Semiannually)v到期日越短，则价格变化越小。到期日越短，则价格变化越小。v息票率越大，则价格变化越小。息票率越大，则

35、价格变化越小。v提前支付的利息具有更短的到期日。提前支付的利息具有更短的到期日。v我们要寻找一个债券的平均到期日，以评价其价我们要寻找一个债券的平均到期日，以评价其价格敏感性。格敏感性。 久期是久期是1938年由弗雷德里克年由弗雷德里克麦考里（麦考里（F. R.Macaulay）提出的）提出的，用来衡量，用来衡量债券现金流支付的平均到期时间，可以对债券的有效期限进行正债券现金流支付的平均到期时间，可以对债券的有效期限进行正确的概括。确的概括。 其中其中: t为第为第t次现金流，次现金流，Wt为为t次现金流占整个现金流的比重，次现金流占整个现金流的比重，CFt为第为第t次现金流次现金流,y,y为

36、债券的到期收益率，为债券的到期收益率，P P债券的价格债券的价格。 16.1.2 久期（久期（Duration）PyCFTtTtttttwtD)1/(*11*久期：现金流现值翘翘板的支点久期：现金流现值翘翘板的支点时间时间现值现值久期：久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！次现金流发生时间加权平均的结果！例子例子v 例如，某债券当前的市场价格为例如，某债券当前的市场价格为950.25美元，收美元，收益率为益率为10%，息票率为，息票率为8%，面值，面值1000美元，三美元，三年后到期，一次性偿还本金。年后到期，一次性偿还本金。

37、 72.73 166.122811.40 3950.252.78(D 年）练习：计算久期练习：计算久期v找出找出6息票债券的久期，每年支付息票，离到息票债券的久期，每年支付息票，离到期还有期还有3年，且到期收益为年，且到期收益为6。如果到期收益为。如果到期收益为10，久期是多少，久期是多少?(1)(2)(3)(4)(5)偿还年限现金流现金流现值 ( 6%)权重 (1) (4)1$60.00$56.600.05660.05662$60.00$53.400.05340.10683$1,060.00$890.000.89002.6700Column Sums$1,000.001.00002.8334

38、(1)(2)(3)(4)(5)偿还年限现金流现金流现值 (=10%)权重 (1) (4)1$60.00$54.550.06060.06062$60.00$49.590.05510.11023$1,060.00$796.390.88442.6532Column Sums$900.531.00002.8240v在上题中，如果每半年支付息票，找出债券的久在上题中，如果每半年支付息票，找出债券的久期。期。(1)(2)(3)(4)(5)Time until Payment (years)Cash FlowPV of CF (Discount rate = 3%)WeightColumn (1) Colu

39、mn (4)1$3.00$2.9130.029130.029132$3.00$2.8280.028280.056563$3.00$2.7450.027450.082364$3.00$2.6650.026650.106625$3.00$2.5880.025880.129396$103.00$86.2610.862615.17565Column Sums$100.0001.000005.57971久期的意义久期的意义久期久期是固定收益证券组合管理的一个重要概念，是固定收益证券组合管理的一个重要概念，原因在于原因在于:- 是资产组合有效平均期限的一个简单测度指标。是资产组合有效平均期限的一个简单测度

40、指标。- 可以测度债券组合的利率敏感性可以测度债券组合的利率敏感性。- 是资产组合管理中利率免疫是资产组合管理中利率免疫（immunization)策略的策略的一个重要一个重要 工具。工具。久期是资产组合利率敏感性的一种测度久期是资产组合利率敏感性的一种测度v具体地说，当利率变化时，债券价格变化的比率具体地说，当利率变化时，债券价格变化的比率与到期收益率的变化相关与到期收益率的变化相关v债券价格变化的百分比等于修正久期与债券到期债券价格变化的百分比等于修正久期与债券到期收益率的变化之积。收益率的变化之积。修正久期可以用来测度债券修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险暴露程度。在利率变化时的

41、风险暴露程度。 债券久期债券久期: : 期限、息票利率、到期收益率期限、息票利率、到期收益率 16.2.1 什么决定久期什么决定久期- 附息债券久期小于其到期时间；附息债券久期小于其到期时间；- 零息票债券的久期等于本身的期限；零息票债券的久期等于本身的期限；- 票面利率越低，久期就越长；票面利率越低，久期就越长；- 债券期限越长，久期也越长；债券期限越长，久期也越长；- 到期收益率越高，久期越短；到期收益率越高，久期越短；- 每年付息次数越多，久期越短；每年付息次数越多，久期越短；久期久期（Duration）特点）特点久期法则：久期法则：v久期法则久期法则1：零息票债券的久期等于它的到期时：

42、零息票债券的久期等于它的到期时间。间。v久期法则久期法则2：到期日不变时，债券的久期随着息：到期日不变时，债券的久期随着息票利率的降低而延长。票利率的降低而延长。v久期法则久期法则3：当息票利率不变时，债券的久期通：当息票利率不变时，债券的久期通常随着债券到期时间的增长而增长。常随着债券到期时间的增长而增长。v久期法则久期法则4：在其他因素都不变的情况下，债券：在其他因素都不变的情况下，债券的到期收益率较低时，息票债券的久期较长。的到期收益率较低时，息票债券的久期较长。v久期法则久期法则5：无限期限债券的久期为：无限期限债券的久期为(1+ y)y如果在价格与收益率之间存在着线性关系，那么，可以

43、预期，两如果在价格与收益率之间存在着线性关系，那么，可以预期，两年期债券价格的百分比变化应该正好是年期债券价格的百分比变化应该正好是1年期债券价格变化的两倍年期债券价格变化的两倍。但事实并非如此。同样地，。但事实并非如此。同样地，3年期债券价格变化的百分比也并不年期债券价格变化的百分比也并不是是1年期债券的年期债券的3倍，而是倍，而是497。1年期债券的价格年期债券的价格变化是变化是1.82，2年期债券的价格变年期债券的价格变化了化了3.4716.2 凸性凸性v凸性、债券价格变化与收益率变化凸性、债券价格变化与收益率变化 yDPP到期收益率的变动到期收益率的变动(%)债券价格债券价格变动幅度变

44、动幅度(%)020-20-5-4-3-2-10123456604080100-40-60-80-100久期近似值久期近似值实际价格波动实际价格波动息票利率为息票利率为8%的的30年期债券的价格变化与收益率变化之间的关年期债券的价格变化与收益率变化之间的关系系 近似久期（直线）总是低于债券的价值。当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度；当收益率上升时，它高估债券价格 的下跌程度。v由此可以得出三个结论：由此可以得出三个结论：利率上升会导致债券价格下跌；利率上升会导致债券价格下跌；到期期限越长，债券的价值变化就越大；到期期限越长，债券的价值变化就越大；较长期债券的价值增加比例会越来越小，也就是较

45、长期债券的价值增加比例会越来越小，也就是说，存在着定价曲率或称凸性现象。说，存在着定价曲率或称凸性现象。练习：练习：v假设一债券的面值为假设一债券的面值为1000美元，每年支付美元，每年支付5的的固定利息，正好固定利息，正好4年到期，当前同类债券的收益年到期，当前同类债券的收益率是每年率是每年5。如果预期利率上涨如果预期利率上涨200个基点，请分别用久期和债个基点，请分别用久期和债券定价模型估计债券价格。券定价模型估计债券价格。v基于久期，价格为基于久期，价格为1000-70.92=929.08美元。美元。v可见，久期高估了债券价格的下跌幅度，由此可可见，久期高估了债券价格的下跌幅度，由此可得

46、出结论：得出结论：如果利率上升，存续期会高估价格变化如果利率上升，存续期会高估价格变化如果利率下跌，存续期则会低估价格变化。如果利率下跌，存续期则会低估价格变化。16.2 凸性凸性凸性、债券价格变化与收益率变化凸性、债券价格变化与收益率变化 考虑到凸性，债券价格可以修正为：考虑到凸性，债券价格可以修正为： P/P = -DP/P = -D* * y + (1/2) y + (1/2)* *凸性凸性* *(y)(y)2 2 提前偿还债券的久期和凸性提前偿还债券的久期和凸性16.3 消极债券管理消极债券管理v16.3.2 免疫免疫用不同到期日的债券组合的方法，可以使债券组用不同到期日的债券组合的方

47、法，可以使债券组合在未来的某一确定时间的总价值不随市场利率合在未来的某一确定时间的总价值不随市场利率的变化而变化，这就是债券的利率免疫。的变化而变化，这就是债券的利率免疫。构造这样一种投资组合，以至于任何构造这样一种投资组合，以至于任何由利率变化由利率变化引起的资本损失引起的资本损失(或利得或利得)都能被再投资的回报都能被再投资的回报(或损或损失失)所弥补所弥补。原理在于一只给定久期的附息债券可以精确地近原理在于一只给定久期的附息债券可以精确地近似于一只久期相同的零息债券。似于一只久期相同的零息债券。Question： 如果投资人用来投资的资金是借来的，则他应该如何进行固如果投资人用来投资的资

48、金是借来的，则他应该如何进行固定收益证券组合投资以使他从投资中他所收到的现金流必须能够定收益证券组合投资以使他从投资中他所收到的现金流必须能够偿还各个期限上的债务？偿还各个期限上的债务？ 使他投资形成的资产的久期等于负债的久期。使他投资形成的资产的久期等于负债的久期。 这就是所谓的免疫策略。这就是所谓的免疫策略。目标期免疫目标期免疫免疫练习题免疫练习题v 假设某债券资产管理人收到的债券投资额为假设某债券资产管理人收到的债券投资额为8820262元，元，承诺给债券投资人的年利率为承诺给债券投资人的年利率为125，期限为，期限为55年。年。这意味着这意味着55年后，该资产管理人必须向债券投资人一次

49、年后，该资产管理人必须向债券投资人一次性支付本息性支付本息17183033元。元。v 如果这位管理人在市场上购买了一种如果这位管理人在市场上购买了一种55年到期、息票利年到期、息票利率为率为12.5、按面值出售的面额为、按面值出售的面额为8820262元的债券，并元的债券，并持有到期，那么，持有到期，那么，5.5年后，该管理人能实现年后，该管理人能实现17183033元元的目标价值吗的目标价值吗?免疫练习题免疫练习题v假设该管理人按假设该管理人按8820262元的票面价值购买期限为元的票面价值购买期限为15年年、票面利率为、票面利率为125、到期收益率也为、到期收益率也为125的债券的债券，他

50、能否实现目标价值呢，他能否实现目标价值呢?v再假设管理人投资于一种到期收益为再假设管理人投资于一种到期收益为125、1年到期年到期、息票利率为、息票利率为125、以面值出售的面额为、以面值出售的面额为8820262元元的债券。这时，债券到期的本息立刻再投资债券，到的债券。这时，债券到期的本息立刻再投资债券，到55年时可再获得一份利息收入。年时可再获得一份利息收入。v假设该管理人投资于一种期限为假设该管理人投资于一种期限为8年、到期收益率为年、到期收益率为125、息票利率为、息票利率为10125、出售价格为、出售价格为8820262元的元的债券。债券。v 对上述四种债券求一下的久期对上述四种债券求一下的久期(分别为分别为414年、年、712年年、050年和年和55年年)便可以发现，正是债券久期与持有便可以发现，正是债券久期与持有期相同期相同(55年年)的债券，才保证了不管市场收益率如何变的债券，才保证了不管市场收益率如何变动，都将实现其目标价值。动，都将实现其目标价值。Question: 免