第三章导数与微分1ppt课件

1、基本要求基本要求准确叙述导数定义并深刻理解它的实质准确叙述导数定义并深刻理解它的实质会用定义求导数会用定义求导数熟记求导基本公式熟记求导基本公式掌握复合函数求导掌握复合函数求导掌握隐函数和对数求导法掌握隐函数和对数求导法理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性一、变速直线运动的速度一、变速直线运动的速度二、切线问题二、切线问题设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为 vttfttfts)()(00就是

2、物体在t0时刻的瞬时速度，即0limtts t越小，近似的程度就越好。所以当t0时，极限 0|ttv0limtts0limtttfttf)()(00。 0|ttv0limtts ttfttfts)()(00。v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， 解：落体在t0到t0+t这段时间内的平均速度为 落体在t=t0时的瞬时速度为 vttsttsts)()(00ttsttsts)()(00 在t=t0时的瞬时速度。 tgtttg202021)(21tggt210tgtttg202021)(21tggt210。 0|ttvtst0lim000)21(limgttggtt0|ttvtst0lim000)

3、21(limgttggtt0|ttvtst0lim000)21(limgttggtt。 例例 1 已知自由落体的运动方程为221gts ，求落体 当x0时，动点M1将沿曲线趋向于定点M,割线也将随之变动而趋向于切线. tg 0limxtg 0limxxy0limxxxfxxf)()(00。 求曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线的斜率。 在曲线上另取一点M1(x0+x, y0+y)，作割线MM1，设其倾角为j 。观察切线的形成：)T )T f(x0+x)x0+xM1x0My=f(x)Ox y f(x0) )M1)M1 此时割线MM1的斜率趋向于切线MT的斜率： 一、导数的定义一、导数

4、的定义导数符号与导数的定义导数符号与导数的定义导函数、基本初等函数的导数导函数、基本初等函数的导数二、导数的几何意义二、导数的几何意义三、左、右导数三、左、右导数四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系定义定义3.1 设函数设函数y=f(x)在点在点 x0的某个邻域内有定义。假的某个邻域内有定义。假如如 极限极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导，且称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数，记为 f (x0)，即xxfxxfxyxx)()(limlim0000 xxfxxfxyxx)()(limlim0000 xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000。 若上述极限不存在，则

5、称 f(x) 在点 x0 处不可导。 0|xxy，0 xxdxdy或0)(xxdxxdf。 导数的其它符号：导数的其它符号：xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000。 函数的导数：函数的导数：导数的其它定义式：导数的其它定义式：000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfhxfhxfxfxxh。000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfhxfhxfxfxxh 例1求函数y=x2在点x=2处的导数。解：解： 方法一 f (2)0limxxfxf)2()2( xxx2202)2(lim 0limx(4x)4。 f (2)2limx2)2()(xf

6、xf22lim222xxx)2(lim2xx2limx2)2()(xfxf22lim222xxx)2(lim2xx2limx2)2()(xfxf22lim222xxx)2(lim2xx。 方法二，)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 设 f(x)在区间(a, b)内可导，则对于区间(a, b)内每一点 x，都有一个导数值与它对应，这就定义了一个新的函数，称为函数y=f(x)在区间(a, b)内对x的导函数，简称为导数，记作导函数：导函数： y，f (x)，dxdy，或dxx

7、df)(。 如果函数 f(x)在区间(a, b)内每一点都可导，则称f(x)在区间(a, b)内可导。导函数的定义式：导函数的定义式：hxfhxfxxfxxfyhx)()(lim)()(lim00。 例例1. 求函数求函数f(x)=CC为常数的导数。为常数的导数。 f (x)0limhhxfhxf)()(解：解：0limhhCC0。 即 (C ) =0。 例4 求yx1的导数。 例例2例 5 求 yx的导数。 例例3xxxxx0lim)(lim0 xxxxxxxxxx1lim0 xxxxx0lim)(lim0 xxxxxxxxxx1lim0 x21。 解：yxxxxx0lim)(lim0 xx

8、xxxxxxxx1lim0例例4求函数求函数f(x)=x n (n为正整数为正整数)在在x=a处的导数。处的导数。axlim(x n1ax n2 a n1) na n1。 更一般地，有 (x m)=m x m-1(其中m为常数)。axlimaxafxf)()(axlimaxaxnn(x n1ax n2 a n1) na n1。 把以上结果中的a换成x得f (x)=nxn-1，即 (xn)=nxn-1。解：f (a)axlimaxafxf)()( 解：解：例例5求函数求函数 f(x)=sin x 的导数。的导数。0limhhxfhxf)()(0limhhxhxsin)sin( 2sin)2cos

9、(21lim0hhxhh)2cos(lim0hxh2sin)2cos(21lim0hhxhh)2cos(lim0hxh 22sinhhcosx。解：f (x)0limhhxfhxf)()( 解：解：例例6求对数函数求对数函数y=log ax的导数。的导数。 )1 (log1lim0 xxxaxxaxxx10)1 (loglim)1 (log1lim0 xxxaxxaxxx10)1 (loglim xae1logaxln1。 解：(log ax)xxxxaaxlog)(loglim0 解：解：例例 9. 用定义讨论函数0 00 1sin)(xxxxxf在点 x0 处的连续性与可导性。 函数y=f

10、(x)在点x0处的导数f (x0)就曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线的斜率。 由导数的几何意义及直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)上点(x0, y0)处的切线方程为： y-y0=f (x0)(x-x0)。x0My=f(x)Ox y f(x0)T 例例10.求曲线yx1在点(1, 1)处的切线方程。 定义定义3.2 设函数设函数y=f(x)在在x0的某邻域内有定义。的某邻域内有定义。 如果极限xxfxxfx)()(lim000存在，则称此极限 为f(x)在点x0处的左导数，记作f -(x0)。 如果极限xxfxxfx)()(lim000存在，则称此极限 为f(x)在点x0处的右

11、导数，记作f +(x0)。 显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相等时，函数在该点才是可导的。 函数f(x)在a, b上可导，指f(x)在开区间(a, b)内处处可导，且存在f -(b)及f +(a)。函数在闭区间上的可导性：函数在闭区间上的可导性：导数与左右导数的关系：导数与左右导数的关系： f (x0) xxfxxfx)()(lim000， f (x0) xxfxxfx)()(lim000。 左、右导数：左、右导数： ) )1cos ,0,0.xxfxxx ) )fx0 x ) ) ) )0001ff ) ) ) )00ff 定理定理3.1 如果函数如果函数 y=f(x) 在点在点

12、x0 处可导，则它在处可导，则它在点点x0处一定连续。处一定连续。 这是因为注意：注意： 这个定理的逆定理不成立，即函数这个定理的逆定理不成立，即函数y=f(x)在点在点x0处处 连续，但在点连续，但在点x0处不一定可导。处不一定可导。00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx。 解：因为解：因为 f +(0)f -(0)， 所以函数y=|x|在x=0处不可导

13、。 但它在x=0处是连续的。xO y y=-x y=x例 1 讨论 yf(x)|x|0 0 xxxx在 x0 处的可导性。 例例11 f (0)xyx0limxxx|lim0 xxx0lim f (0)xyx0limxxx|lim0 xxx0limxyx0limxxx|lim0 xxx0limxyx0limxxx|lim0 xxx0lim1， xyx0limxxx|lim0 xxx0limxyx0limxxx|lim0 xxx0lim1， 在点x=0及x=1处的连续性与可导性。例例12.12.讨论函数 f (x)21 110 20 12xxxxxx例例13. 在点 x=0 连续性和可导性.解：

14、解：, 1|1sin| x01sinlim0 xxnx00 xy( n N )又 当 nN 时，函数在在点 x=0 处连续.)( 0 , 0 0 , 1sin Nnxxxxyn讨论当 n =1 时，0limxyx 不存在，故 n =1 时，函数在 x=0 处不可导.当 n 1 时，故 n 1 时，函数在x=0处可导. 其导数为0limxyx 00 xy01sinlimxxxx 01lim sinxx 01sinlimnxxxx 101limsinnxxx 0例例14.知知 y=a+bx, x0在x=0可导，求a, b之值.e-x, x0解：解： f (x)在在 x=0 可导，可导，又 1lim

15、)(lim00 xxxexf故 a=1. f (x)在 x = 0连续，且f (0) = a由可导性：故 b = 1.0(0)(0)limxfxfx 0(0)(0)limxfxfx 01limxxex 0limxxx 1 0(1) 1limxb xx b1以下各项正确的有( )。(A)x=0； (B)f (a)=f (x)|x=a；(C)(cos p)=-sin p=0； (D)(e 3)=3e 2；(E)sinx=cos x。练习：练习：2以下各项正确的有( )。(A)常数C的导数为(C) =0； (B)ln x的导数为ln x；(C)若f(x)在x0不可导，则曲线y=f(x)在点x0处无切

16、线(D)若f(x)在x0可导，则0limxxf(x)f(x0)。 1. 导数的定义导数的定义3. 导数的几何意义导数的几何意义:4. 可导必连续可导必连续, 但连续不一定可导但连续不一定可导;5. 基本求导公式基本求导公式 :6. 判断可导性判断可导性不连续不连续, 一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.axf )(02. axfxf )()(00切线的斜率切线的斜率;一、函数的和、差、积、商的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则二、复合函数的导数二、复合函数的导数 三、反函数的导数三、反函数的导数 四、隐函数的导数四、隐函

17、数的导数 五、取对数求导法五、取对数求导法 六、导数公式小结六、导数公式小结若u(x)、v(x)都是x的可导函数，则u(x)与v(x)的和、差、积、商(分母不为零时)也是x的可导函数，且 )()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu。 和差公式的推广：和差公式的推广： (u1+u2+ +u n) = u1+u2+ +u n。乘积公式的推广：乘积公式的推广： (u1u2un) =u1u2 un+u1u2 un+ + u1u2 un。 特别，当u=c(c为常数)时，有 y=(c v)=c v。u(x)v(x)=u(x)v(x)， u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)，

18、 部分例题部分例题 例例1求函数求函数y=x3-5的导数。的导数。 例例2求函数求函数y=(1+2x)(3x3-2x2)的导数。的导数。 解：解：y=(x3-5)x3)5)3x203x2。 解：解：y12x)3x32x2)23x32x2)12x)9x2x)2x33x2x。12x)3x32x2)222222) 1() 1)(1() 1() 1(xxxxxy 222222) 1() 1)(1() 1() 1(xxxxxy 2222) 1(2) 1() 1(2xxxxx22) 1(4xx222222) 1() 1)(1() 1() 1(xxxxxy 2222) 1(2) 1() 1(2xxxxx22

19、) 1(4xx。 解：222222) 1() 1)(1() 1() 1(xxxxxy 解：解：例 3 求函数1122xxy的导数。 例例3正切余切、正割余割函数的导数：正切余切、正割余割函数的导数： 例例4求函数求函数 tan x 的导数。的导数。 xxx222cossincosx2cos1类似地可求得(cot x)=-csc2x，(sec x)=sec xtan x， (csc x)=-csc xcot x。 解：解：(tg x)xxcossinxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxcossinxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxcossinxxxxx2c

20、os)(cossincos)(sin xxcossinxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincosx2cos1sec2 x。 (tan x)例例5. 知知3| ),3)(2)(1(xyxxxy求解解: )3)(2)(1( )3()2)(1()3)(2() 1(xxxxxxxxxy)2)(1()3)(1()3)(2(xxxxxx2)23)(13()33)(13()33)(23(|3xy故 dxdyf (u)(x)，或写成yxyuux 。 所以当x0时，u0。于是即 dxdyf (u)(x)。 若u=j(x)在点x处可导，y=f(u)在对应点u=j(x)处可导

21、，则复合函数y=fj(x)的导数为f (u)(x)，或写成yxyuux 。 证明：证明： 因为可导函数u=j(x)是连续的， xyx0limxuuyx0limxuuyxx00limlimxyx0limxuuyx0limxuuyxx00limlimxyx0limxuuyx0limxuuyxx00limlim xuuyxu00limlimf (u)(x)， 例例6. y = sinax, 求求y解：解： y = sinu, u = ax(sin)yaxcosu a(sin ) ()uuaxcosaax例例7. y=e5x, 求求 y解：解：5()xye5( 5 )xex55.xe 例例8. ),l

22、n(22yaxxy求解解:22(ln()yxxa221xxa221xxa221ax 22()xxa22(1)xxa解：解：例例9 , 求求 y 2sin2xy )2sin2xy)(sin2ln22sin2xx2sin2ln2xxxx2cos2ln22sin22cosx2()x 例例10解解: )1(arctanxy .112x)1(1222xxx2111 ( )x1arctan, yyx求1( )x例例11. ,2cotyxy求解：解：12 cot2yx21)2csc(2cot212xx2tan2csc412xx(cot)2x12 cot2x2( csc)2x( )2x例例12. , 1| ,

23、 1ln2yxxy求设解解: 按复合函数求导法则按复合函数求导法则)1(ln2xy)1|(| .12xxx12212xx)1ln(21(2x例例13. 设设y=f (x)可导，写出下列函数关于可导，写出下列函数关于 x 的导数的导数(1) y=sinf (x)(2) y=e f (x)(3) y=lnf (x) (f (x)0)(4) y=f (sinx)()( xfxfy (5) y=f (ex)(6) y=f (lnx).1)(lnxxfy y=cosf (x)f (x)y=ef (x)f (x)y=f (sinx)cosxy=f (ex)ex例例14. 证明：在证明：在(a, a)内可导

24、的奇内可导的奇(偶偶)函数的导数函数的导数是偶是偶(奇奇)函数函数.证：设证：设f (x)为为( a, a)内的偶函数，那么内的偶函数，那么 f (x)=f (x).()() ()()( )fxfxxfxfx ()( ) fxfx 即 偶函数的导数是奇函数.同理可证，奇函数的导数是偶函数. 设函数 y=f(x) 在点 x 处有非零导数 f (x)，且其反函数 x=f -1(y) 在相应点处连续，那么 f -1(y) 存在，且：证明：证明： 因为因为x=f -1(y)连续，所以当连续，所以当y0时，时，x0， 于是于是 f 1(y) f 1(y)xyyxxy1limlim00 xyx0lim1)

25、(1xf xyyxxy1limlim00 xyx0lim1)(1xf xyyxxy1limlim00 xyx0lim1)(1xf xyyxxy1limlim00 xyx0lim1)(1xf 。 f 1(y)(1xf 或 f (x) )(11yf。 反三角函数的导数：反三角函数的导数： 类似的， (arcsin x) (arcsin x)yycos1)(sin12211sin11xyyycos1)(sin12211sin11xyyycos1)(sin12211sin11xyyycos1)(sin12211sin11xy。 (arctan x)211x，(arccot x)，(arccos x)

26、211x， ，(arccot x)211x。 解：因为解：因为 y=arcsin x是是x=sin y的反函数。所以的反函数。所以例例11求函数求函数 y=arcsin x 的导数。的导数。 例例14方程方程 x2+y2-7=0 确定了一个以确定了一个以 x 为自变为自变量，以量，以 y为因变量的函数。为因变量的函数。为了求为了求 y 对对 x 的导数，将上式两边逐项对的导数，将上式两边逐项对 x 求导，求导，并将并将 y2 看作看作 x 的复合函数，则有的复合函数，则有于是得 yxdxdy。 即 2x2ydxdy0， dxd(x2)dxd(y2)dxd(7 )0， 例例15 求由方程求由方程

27、0),(yxeexyyxF(x0)所确定的隐函数的导数y，并求 。0 xy解：解： 方程两边关于方程两边关于 x 求导：求导：0yeeyxyyx故xeyeyyx由方程可得：F(0, y) = 0ye0 + ey = 0从而00 xy100 xyxxxeyey例例16设方程设方程x2+xy+y2=4确定确定y是是x的函数，求其的函数，求其曲线上过点曲线上过点(2, -2)处的法线方程。处的法线方程。解：方程两边同时对解：方程两边同时对x求导，得求导，得 2x+y+xy+2y y=0，解出y，即得 yxyxy22。 所求切线的斜率为 k=y|x=2, y=-2=1，于是所求法线为 y-(-2)=-

28、1(x-2)，即 y=-x。 例例17求函数求函数y=a x (a0, a1)的导数。的导数。 解：对解：对y=a x两边取对数，得两边取对数，得 ln y=x ln a，于是 y=y ln a=a x ln a，即 (a x)=a x ln a。 特别地，(ex)=ex。 y1yln a， 将此式两边对x求导，得五、指数函数的导数：五、指数函数的导数： 例求函数例求函数y=x x的导数。的导数。 解：将解：将y=x x两边取对数得两边取对数得 ln y=x ln x， 两为对两为对x求导数，得求导数，得 y1yln xx于是得 y=y(ln x+1)=x x(ln x+1)。另： y=x x

29、=exln x， y =exln x(x ln x) exlnxlnx1)xxlnx1)。y1yln xxx1x1ln x1， 将函数y=f(x)两边取对数，化成隐函数求导数，这种方法称之为“取对数求导法”。例例 .的导数求xxysin解：运用取对数求导法解：运用取对数求导法xxxyxlnsinlnlnsin两边关于x求导：xxxxyysinlncos故)sinlncos(sinxxxxxyx ln y21ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)， 解：两边同时取对数，得解：两边同时取对数，得 y1y上式两边对上式两边对x求导，得求导，得y121(11x21x31x41x)， 例 2

30、求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数。 例例.于是于是y2y(11x21x31x41x) (16) (arctan x)211x。(1) (C)=0，(2) (xm)=m xm-1，(3) (sin x)=cos x，(4) (cos x)=-sin x，(5) (tan x)=sec2x，(6) (cot x)=-csc2x，(7) (sec x)=sec x tan x，(8) (cscx)=-csc xcot x，(9) (ax)=ax ln a ，(10) (ex)=ex，基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：(12) (ln x)x1， (13) (arcsin

31、x)211x， (14) (arccos x)211x， (15) (arctan x)211x， (11) (log a x)axln1(a0, a1)， ，dxdududydxdy或 y (x)f (u) (x)，函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则-Reviews(1) (u v)=u v，(2) (Cu)=Cu (C是常数是常数)，(3) (uv)=uv+u v， (4) 2)(vvuvuvu (v0)。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 反函数求导法：反函数求导法： 其中 yf(u)，u(x)。 f 1(y)(1xf ( f (x)0)。一、高阶导数的

32、定义一、高阶导数的定义二、如何求高阶导数二、如何求高阶导数 如果函数 yf(x)的导数 yf (x)仍然是 x的可导函数，则把 yf (x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数，记作 类似地，二阶导数y=f (x)的导数叫做函数y=f(x)的三阶导数，记作 y，f (x)，或22dxyd， y，f (x)， 或33dxyd， 即即 y(y)， f (x)f (x)，或)(22dxdydxddxyd。 即即 y(y)，f (x)f (x)， 或)(2233dxyddxddxyd。 一般地，函数y=f(x)的(n1)阶导数的导数叫做函数y=f(x)的n阶导数，记作 y (n)，f (n)(x)，或n

33、ndxyd， 我们把yf(x)的导数f (x)叫做函数yf(x)的一阶导数，把二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数。 即即y (n)y (n1)， f (n)(x)f (n1)(x)，或nndxyd)(11nndxyddxdxxfxxfxfynnxnn)()(lim)() 1() 1(0)()( 一般地，可得 y ( n) e x，即 (e x)( n) e x。例例1 1若若y yx4x4，求，求y yx4x4的各阶导数。的各阶导数。 y(5)y(6) 0。 解： y4 x3， y12 x2， y24x， y(4)24，例例2 2求函数求函数y ye x e x 的的n n阶导数。阶导数。y

34、( 4) e x，y e x，y e x， 解：解：y e x， 120121nnnnnya xa xa xaxasolution1230121(1)(2)nnnnyna xna xna xa2301422(1)(1)(2)(2)(3)nnnnyn na xnna xnna xa example5求多项式函数的求多项式函数的 n 阶导数。阶导数。 ( )0!,nyn a(1)0( !)0.nyn a每求一次导数每求一次导数, ,多项式的次数降低一次多项式的次数降低一次; ; n 次多项式的次多项式的 n 阶导数为一常数阶导数为一常数;大于多项式次数的任何阶数的导数均为大于多项式次数的任何阶数的

35、导数均为0 .0 . 在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。”难怪有时人们会用 e 比喻坚定不移的爱情！例例3 3求正弦函数和余弦函数的求正弦函数和余弦函数的n n阶导数。阶导数。一般地，可得 y (n)sin)2 ( nx，即 (sin x)(n)sin)2 ( nx。 用类似方法，可得)2 cos()(cos)(nxxn。 )2 sin(cosxxy )

36、2 2sin()2 2 sin()2 cos( xxxy )2 3sin()2 2cos( xxy)2 sin(cosxxy， )2 2sin()2 2 sin()2 cos( xxxy)2 2sin()2 2 sin()2 cos( xxxy， )2 3sin()2 2cos( xxy， 解：ysin x，2)2()3(yyyey32)2()3(yyey 例例4求由方程求由方程y1xe y确定的隐函数确定的隐函数y的二阶导数。的二阶导数。 解：方程两边求导数得：解：方程两边求导数得： ye y xe yy， yyyxee1) 1(1yeyyey2 y2)2()()2(yyeyyeyy yyx

37、ee1) 1(1yeyyey2yyxee1) 1(1yeyyey2； 2)2()3(yyyey32)2()3(yyey。 例例5. y = esinx,求求y.解：解： y = esinxcosxy ).sin(cos2sinxxexsin2cosxexsin( sin )xex1,1yx 1()1yx21(1)yx (4)32!(1)yxsolutionexample6求函数求函数 的的 n 阶导数。阶导数。ln(1)yx21,(1) x 2(1) x 32!,(1)x32!(1) x43!,(1)x ( )1(1)!( 1)(1, 0!1)(1)nnnnynx 由数学归纳法，得exampl

38、e7求函数求函数 的的 n 阶导数。阶导数。11yxsolution11()(1) 1yxx21,(1)x21(1)(1)xx 21( 1)(1)x 21(1)yx32!,(1)x312(1)(1)xx 312( 1)(1) x 32!(1)yx43!,(1)x42!3(1)(1)xx 42!3( 1)(1)x 一、微分的定义一、微分的定义 二、微分的几何意义二、微分的几何意义 三、微分法则三、微分法则 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用 设边长为x的正方形，其面积为S，显然Sx2。数学意义：当数学意义：当Dx0时，时，(Dx)2o(Dx); 2xDx是是Dx的线性函数，当的

39、线性函数，当x很小很小时时, DS的近似值为的近似值为2xDx，其误差为其误差为o(Dx)。 2xDx称为称为S的微分，的微分，记作记作dS=2xx。xx x x y=x2如果边长改变x，则面积的改变量为Sxx)2x)22xxx)2。2xDx(Dx)2微分的定义：微分的定义： 对于自变量在点对于自变量在点x处的改变量处的改变量x，如果函数，如果函数y=f(x)的相应改变量的相应改变量y可以表示为可以表示为 DyADxo(Dx)，其中其中A与与Dx无关，则称函数无关，则称函数yf(x)在点在点x处可微。处可微。并称并称ADx为函数为函数yf(x)在点在点x处的微分，记作处的微分，记作dy或或df

40、(x)，即，即 dydf(x)=ADx。 微分是自变量的改变量x的线性函数，通常称为函数改变量y的线性主部。ydyyAxo(x)，1)(limlim00 xAxoxAdyyxxydyyAxo(x)，1)(limlim00 xAxoxAdyyxx。 函数f(x)在点x可微的充分必要条件是函数f(x)在点x可导，且当函数f(x)在点x 可微时， dyf (x)Dx。反之，若f(x)在点x可导，那么其中a0(当Dx0)。若f(x)在点x可微，略证：略证：则有DyADxo(Dx)， 0limxxyxxoxAx)(lim00limx0limxxyxxoxAx)(lim00limx0limxxyxxoxA

41、x)(lim00limx(Axxo )()A。 xxo )()A。 0limxxyf (x)，f (x)，xyf (x)，yf (x)xx， f (x)，yf (x)xx， 函数可微的条件：函数可微的条件：自变量的微分：自变量的微分： dxdyf (x)。 说明：说明： 函数的微分函数的微分dy与自变量的微分与自变量的微分dx之商是函数的之商是函数的导数：导数：结论：函数结论：函数f(x)可微可微函数函数f(x)可导，且可导，且 dyf (x)Dx。因而，导数也叫做“微商”。 故函数yf(x)的微分又可记作 dyf (x)dx。 假如 y=x，那么 dy=xx=x，即dxDx。 例例1求函数求

42、函数yx 2当当x由由1改变到改变到1.01时的微分。时的微分。 例例2 2求函数求函数y=lnlnxy=lnlnx的微分。的微分。当x=1，dx=0.01时dy x2)dx2xdx，dy 210.010.02。 解：函数的微分为 当|Dx|很小时，|Dydy|比|Dx|小得多。因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。当Dy是曲线yf(x)上的点M处纵坐标的改变量时，dy就是过M点的切线上点M处纵坐标的相应改变量。yxMNx0 x0 +DxTxyOyf(x)dyydyd(log ax)d(ln x) d(arcsin x)基本初等函数的微分公式：基本初等函数的微分公式：d(xm)m x m1dx，d(sin x) cos xdx，d(tg x)sec2xdx，d(ctg x)csc2xdx，d(sec x) sec x tg xdx，d(cos x)sin xdx，d(csc x)csc x ctg xdx，d(a x)a xln adx，d(e x)exdx，(log ax)axln1dx， (ln x)x1dx， d(arcsin x)2