2021年考研数学三模拟试题及答案(五)

1、2021考研数学三模拟试题及答案、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)若limx (sin x0ex(cosx b)(2)设函数fu , v)由关系式f xg(y), y=x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且(4)设 f (x)2fxex2121222 f(x21)dx二次型 f (Xi,X2,X3)(XiX2)2(Xz Xb)2 G3 Xi)2的秩为设随机变量X服从参数为入的指数分布，则PX VDX(6)设总体X服从正态分布N(g, o2)，总体Y服从正态分布 N(泣，o2), X1,X2, Xn和丫，丫2, Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样

2、本，则nl(Xi X) (Yj Y) i 1j 1n1n2 2二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)函数f(x) |X|Sin(X 2。在下列哪个区间内有界.x(x 1)(x 2)2(A) (?1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1，2).(D)(23).(8)设 f (x)在(?？ , +?)内有定义，且 lim f(x) a, g(x) x 1f(?,x 0,则0 ,x 0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点(C) x = 0必

3、是g( x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.(9)设 f ( x) = | x(1 ? x)| ,则(A) x= 0是f( x)的极值点，但(0,0)不是曲线y =f( x)的拐点.(B) x= 0不是f ( x)的极值点，但(0,0)是曲线y =f( x)的拐点.(C) x= 0是f( x)的极值点，且(0,0)是曲线y= f(x)的拐点.(D) x= 0不是f ( x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f ( x)的拐点.(2)(u2n 1 u2n)收敛，则1unn 1收敛.Un收敛，则1un 1000 收敛.n 1若 lim un-1,nun则un发散.

4、n 1若 (un Vn)收敛，则 n 1unn 1Vn都收敛.1(10)设有下列命题:则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D)(1) (4).(11)设 f (x)在a , b上连续，且f (a)0, f (b) 0,则下列结论中错误的是(A)至少存在一点 x0 (a,b),使得 f(x0)> f ( a).(B)至少存在一点 x0 (a,b),使得 f(x0)> f( b).(C)至少存在一点X0 (a,b),使得f (xo) 0.(D)至少存在一点 x0 (a,b),使得 f(x0) = 0. D (12)设n阶矩阵A与

5、B等价，则必有(A)当 |A| a(a 0)时，|B| a. (B)当 |A| a(a 0)时，|B| a.(C)当 |A| 0 时，|B| 0.(D) 当 |A| 0 时，|B| 0.(13)设n阶矩阵A的伴随矩阵A 0,若&, &, &, 4是非齐次线，f方程组 Ax b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax 0的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的a (0,1),数Ua满足PX Uj a,若P| X | x a,则x等于(A) U

6、a .(B) u a .(C) Ui a .(D) Ui一1 -一222三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) (15)(本题满分8分)21 cos x、 求 hm(-2- -2). x 0 sin x x求(«x2y2 y)d ,其中D是由圆xDy24和(x 1)2y2 1所围成的平面区域(如图).(17)(本题满分8分)设f ( x) , g( x)在a , b上连续，且满足xxf(t)dt g(t)dt , x ? a , b),aabaf(t)dtb ag(t)dt.b证明：axf (x)dxbaxg(x)dx .(18)(本题满分

7、9分)设某商品的需求函数为Q = 100 ? 5P ,其中价格 P ? (0,20), Q为需求量.(I)求需求量对价格的弹性Ed ( Ed > 0)；dR(II)推导 Q(1 Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时, dP降低价格反而使收益增加(19)(本题满分9分)的和函数为S(x).求:(I) S(x)所满足的一阶微分方程;(II) S(x)的表达式.(20)(本题满分13分)设 %(1,2,0)T,民2(1, a 2, 3o)T,匹(1, b 2, a 2b)T,0 (1,3, 3)T ,试讨论当a,b为何值时，(I )0不能由oq, 02,饱线性表示(n

8、) B可由a，a2,饱唯一地线性表示,并求出表示式(出)B可由巧,H2, g线性表示，但表示式不唯一,并求出表示式(21)(本题满分13分)设n阶矩阵(I )求A的特征值和特征向量(n)求可逆矩阵P,使得P1AP为对角矩阵 (22)(本题满分13分)111设A, B为两个随机事件，且P(A) - , P(B|A) - , P(A|B)一,令 432求(I )二维随机变量(X ,Y)的概率分布；(n)X与Y的相关系数PXY ；(出)Z X2 Y2的概率分布.(23)(本题满分13分)设随机变量X的分布函数为其中参数a 0, 0 1.设X3X2, ,Xn为来自总体X的简单随机样本(I )当a 1时

9、，求未知参数 0的矩估计量；(n )当a 1时，求未知参数0的最大似然估计量(出)当B 2时，求未知参数a的最大似然估计量参考答案一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)sin x若 lim n(cosx b) 5,则 a=1,b =4.x 0ex a 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为 lim sin x (cosx b) 5,且 lim sin x (cosx b) 0 ,所以 x 0 ex ax 0lim (ex a) 0,得a = 1.极限化为 x 0sin xxlim (cosx b) lim - (cos x b) 1 b 5,得

10、b = ?4.x 0ex ax 0x因此，a = 1 , b = ?4.【评注】一般地，已知lim f3 = A, g(x)(1)若 g(x) ? 0 ，贝U f (x) ? 0 ；(2)若 f (x) ? 0 ，且 A ? 0 ,贝U g(x) ? 0.x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且(2)设函数f ( u , v)由关系式f xg( y) , y=g(y) ? 0 ，g (v)则f u【分析】令u = xg(y), v = y,可得到f ( u , v)的表达式，再求偏导数即可【详解】令u = xg(y), v = y,则f ( u ,v)=ug(v)g(v) ,所以,f

11、12fug(v)u vg (v)g2(v)(3)设 f(x)xex21 x21x -2122 .22 ,则 1 f(x21)dx【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元:x ? 1 = t ,再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.211【详解】令 x ? 1 = t,1 f (x 1)dx 1 f (t)dt2 f (x)dt2221八17111=2 xex dx 1 ( 1)dx 0 (-)-.1 ，222 2【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解222(4) 一次型 f(x1，x2,x3) (x x2)(x2 x3)(x3 x1)的秩为 2 .【分析】二次型

12、的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数，于是利用初等变换或配方法均可得到答案【详解一】因为f(x1,x2,x3)(Xx2)2Mx3)2(x3x1)2于是二次型的矩阵为112112由初等变换得A 0 33033033000从而 r(A) 2,即二次型的秩为2.【详解二】因为f(x1,x2,x3)(X1 X2)2 (X2 X3)2 (X3 X1)22y12其中y11X1 X22X3,丫2X2X3 .所以二次型的秩为2.(5)设随机变量x服从参数为 入的指数分布，则px JDX-.e【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案1【详解】由于DX 7 , X的分布函数为故PX DX 1

13、PX . DX 1 PX 1 1 F(1) 1.入入 e【评注】本题是对重要分布，即指数分布的考查，属基本题型.(6)设总体X服从正态分布N (a02)，总体Y服从正态分布 N(国, 02),X1,X2, Xn1和丫1,匕，工2分别是来自总体 X和Y的简单随机样本，则n1_ 2n2_ 2(Xi X)(Yj Y)i 1j 12E (Tn1 n2 2【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案n2_ I22E;(Yj Y)2人n21 j 11 nl【详解】因为E (Xi X)2o2,ni 1 i i故应填02.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查二、选择题(本题共6小题，每小题4分，

14、满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 函数f(x)|x|sin(x 2。在下列哪个区间内有界.x(x 1)(x 2)2(A) (?1，0).(B) (0，1).(C) (1，2).(D)(2,3).A 【分析】如f(x)在(a , b)内连续，且极限lim f(x)与lim f(x)存在，则函数f ( x) x asin 318sin 24lim f (x) x 0在(a , b)内有界.【详解】当x? 0 , 1 ,2时，£(刈连续，而lim f (x) x 1sin 2lim f (x) , lim f (x), lim f

15、 (x),x 04 x 1x 2所以，函数f ( x)在(?1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间a , b上连续，则f (x)在闭区间a , b上有界；如函数f ( x)在开区间(a , b)内连续，且极限lim f(x)与lim f(x)存在，则函数f (x) x ax b在开区间(a , b)内有界.(8)设 f (x)在(? , +?)内有定义，且 lim f (x) a, xg(x) f(；),x °,则0 ,x 0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点(C) x = 0必是g( x)的连续

16、点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与 a的取值有关.D 【分析】考查极限lim g(x)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元u 1,x 0x可将极限lim g(x)转化为lim f(x). x 0x11【详解】因为 lim g(x) lim f(-) lim f(u)= a(令u )，又 g(0) = 0 ,所以，x 0 x 0 xux当a = 0时，lim g(x) g(0),即g(x)在点x = 0处连续，当a ? 0时， x 0lim g (x) g(0),即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性x 0与a的取值有关，故选(D).

17、【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性(9)设 f ( x) = | x(1 ? x)| ,则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0,0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f ( x)的极值点，但(0,0)是曲线y = f ( x)的拐点.(C) x = 0是f ( x)的极值点，且(0,0) 是曲线y = f ( x)的拐点.(D) x = 0不是f ( x)的极值点，(0,0) 也不是曲线y = f ( x)的拐点.C 【分析】由于f ( x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f ( x)在x = 0的左、右

18、两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况 【详解】设 0 < ? < 1 ，当 x ? (? , 0) ? (0 , ?) 时，f ( x) > 0 ,而 f (0) = 0 ，所以 x=0 是 f ( x)的极小值点.显然，x = 0 是 f (x)的不可导点.当 x? (? , 0)时，f (x) = ?x(1 ? x), f (x) 2 0,当 x ? (0 , ?) 时，f (x) = x(1 ?x), f (x)2 0,所以(0,0)是曲线 y = f ( x)的拐点.f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查(1

19、0) 设有下列命题： 右(u2n 1u2n)收敛，则 un收敛.n 1n 1(2)若Un收敛，则un 1000收敛.n 1n 1(3)若lim近11 ,则 Un发散. n unn 1若 (unvn)收敛，则 un ,n 1n 1则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B)(2) (3).B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明vn者B收敛. n 1(C) (3) (4).(D)(1) (4).4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令un (1)n,显然，Un分散，而(U2nl U2n)收敛.n 1n 1(3)是正确的，因为由lim比 nun一1是错误的，如令Un 1,Vnn(2

20、)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性1可得到Un不趋向于零(n ? ?)，所以Un发散.n 11工，皿一一,显然， Un ,vn都发放，而nn 1 n 1(UnVn)收敛.故选(B).n 1【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型(11)设f (x)在a , b上连续，且f (a) 0, f (b) 0,则下列结论中错误的是(A)至少存在一点X0(a,b),使得 f(x0)> f (a).(B)至少存在一点x0(a,b),使得 f(x0)> f (b).(C)至少存在一点x0(a,b),使得 f (x0)0.(D)至少存在一点x0(a

21、,b),使得 f (x0) = 0.【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项【详解】首先，由已知f (x)在a , b上连续，且f (a) 0, f (b) 0,则由介值定理,至少存在一点x0 (a,b),使得f (x0) 0；另外，f (a) lim f(x) f 0,由极限的保号性，至少存在一点x0 (a,b)x a x a使彳导 f(x0) f(a) 0,即 f(x0) f(a). 同理，至少存在一点 x0 (a,b) x0 a使得f (x0) f(b).所以，(A) (B) (C) 都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性

22、，有一定的难度 (12)设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当 |A| a(a 0)时，|B| a. (B) 当 |A| a(a 0)时，|B| a.(C)当 |A| 0 时，|B| 0.(D) 当 |A| 0 时，|B| 0. D 【分析】 利用矩阵A与B等价的充要条件：r(A) r(B)立即可得.【详解】因为当|A| 0时，r(A) n,又 A与B等价，故r(B) n,即|B| 0,故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查，属基本题型.(13)设n阶矩阵A的伴随矩阵A 0,若&, &, &, &是非齐次线T方程组 Ax b的互不相等的解，则对应的齐次

23、线性方程组Ax 0的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.B 【分析】 要确定基础解系含向量的个数，实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数 =n r(A),而且根据已知条件 A 0,于是r(A)等于n或n 1.又Ax b有互不相等的解,即解不惟一，故r(A) n 1.从而基础解系仅含一个解向量，即选(B).【评汪】本题是对矩阵A与其伴随矩阵A的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知 识点的综合考查.(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的a (0,1),数Ua满足P

24、X Uj a,若P| X | X a,则X等于(A) Ua .(B) U a .(C) U1 a .(D) U1 a .1 222C 【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得【详解】 由P| X | x a,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得PX x 、乌.故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质，严格地说它的上分位数概念的考查.(15)(本题满分8分)1求 lim (一2x 0 sin x2cos x2- x).【分析】先通分化为“9 ”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可 0【详解】lim (x 012sin x2cos x2- x2.2 2x sin

25、 xcos x lim 22x 0 x2sin2 xX2=lim x 0-sin2 2x44Xlimx 0n 1 . 42x sin4x234xlim1 cos4x6x2lim(4x)2x 0 6x【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16)(本题满分8分)求 (V,x2 y2 y)d ，其中D是由圆x2 y2 D4 和(x 1)2y21所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域 D分为大圆D1 (x, y) | x2 y2 4减去小圆D2 (x,y)|(x 1)2y21,再利用对称性与极坐标计算即可【详解】令D1 (x,y)|x2y2 4

26、, D2 (x,y)|(x 1)2 y2 1,由对称性，yd 0.D一一3一22 q2cos qd r dr 2 dr dr.00_02所以， (，x2 y2 y)dD2).)三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤对于二重积分，经常利用对称性【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型, 及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算(17)(本题满分8分)设f ( x) , g( x)在a , b上连续，且满足xxbbf(t)dt g(t)dt , x ? a , b),f(t)dt g(t)dt.aaaabb证明： xf(x)dx xg(x)

27、dx.aa 、【分析】令 F(x) = f ( x) ? g(x), G(x)可.F(t)dt ,将积分不等式转化为函数不等式即x【详解】令 F(x) = f ( x) ? g(x), G(x) F(t)dt, a由题设 Gx) ? 0 , x ? a , b,Ga)= qb) = o , G(x) F(x).从而bxF (x)dxab -_ baxdG(x) xG(x)abG(x)dxabG( x) dx,a由于 Gx) ? 0 , x ? a , b,故有b , ,_G(x) dx 0ab 即 xF(x)dx 0. abb因此 xf (x)dx xg(x)dx. aa ,【评注】引入变限积

28、分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为 Q = 100 ? 5P，其中价格P ? (0,20), Q为需求量.(I)求需求量对价格的弹性Ed ( Ed > 0);dR (II)推导dR Q(1 Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时, dP降低价格反而使收益增加.【分析】由于Ed > 0 ,所以EdP dQ 区 一 ;由 Q = PQ 及 EdQ dPP dQQ dP可推导dR dPQ(1 Ed).【详解】(I)EdP dQQ dPP20 P(II)由 R = PQ,得又由EddRdP喟 Q(1

29、AW Q(1 Ed).P20 P当 10 < P < 20 时,Ed > 1，于dR dP0,故当10 < P < 20 时，降低价格反而使收益增加【评注】当Ed > 0时，需求量对价格的弹性公式为Ed|PdQ|Q dPdQQ dP利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式:dRdRdR(1 A)* (1 Ed)Q，(1上,EdEREP1 Ed (收益对价格的弹性).(19)(本题满分9分)的和函数为S(x).求:(I) S(x)所满足的一阶微分方程;(II) S(x)的表达式.【分析】对S(x)进行求导,可得到S(x)所满足的一阶微分方程， 解方程

30、可得S( x)的表达式.4 _x【详解】(I) S(x)2 4易见S(0) = 0 ,S(x).因此S(x)是初值问题y xyy(0) 0的解.(II)方程y xyx3 ,-一的通解为2由初始条件y(0) = 0 ,得C = 1.e 21,因此和函数 S(x)2x21.【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题,2021年考过类似的题.(20)(本题满分13分)试讨论当(1,2,0)T,a2(1, a 2, 3o)T,网(1, b 2, a 2b)T,B (1,3, 3)T ,a,b为何值时,B不能由eq, 02, 03线性表示;(n ) B可由a，a2,饱唯一地线性表示,并求出表示式(出)

31、B可由巧,H2, g线性表示，但表示式不唯一,并求出表示式【分析】将B可否由 4口2,两线性表示的问题转化为线性方程组的k2& k3«3B是否有解的问题即易求解.【详解】设有数k1,k2,k3,使得k1 q k2 a2k3 附 0.(*)记A (o1, o2, o3).对矩阵(A, 0)施以初等行变换,有1111(A, B)2 a 2 b 230 3a a 2b 3(i )当a 0时，有(A, B)可知r(A) r(A, 0).故方程组(*)无解，0不能由 切 如色线性表示(n)当a 0,且a b时，有r(A) r(A, 0) 3,方程组(*)有唯一解：,1.1,k11一，

32、k2一，k3 0.aa此时B可由内,兔，兔唯一地线性表示，其表示式为1、10(1) O|52.aa(出)当a b 0时，对矩阵(A, 0)施以初等行变换,有1111(A, B)0 ab 11100 1-a10 11a0 000r(A) r(A, B) 2,方程组(*)有无穷多解,其全部解为k111,k2 ac,k3c, 其中c为任意常数.0 0 a b 0。 1、B (1 ) 0C1aB可由%02,03线性表示，但表示式不唯一，其表示式为,1( C) 02C 03 .a【评注】本题属于常规题型，曾考过两次(2021,2021).(21)(本题满分13分)设n阶矩阵(I )求A的特征值和特征向量

33、(n)求可逆矩阵P,使得P1AP为对角矩阵【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题，通常可由求解特征方程|正 A| 0和齐次线性方程组(正 A)x 0来解决.【详解】(I )1当b 0时，n 1=入 1 (n 1)b入(1 b),得A的特征值为1 1 (n 1)b,对A 1 (n 1)b,解得自 (1,1,1, ,1)T,所以A的属于入的全部特征向量为k&k(1,1,1,1)T ( k为任意不为零的常数).对& 1b,得基础解系为& (1, 1,0, ,0)T,& (1,0,1,0)T,3 (1,0,0,1)故A的属于的全部特征向量为(k2,k3,kn是

34、不全为零的常数)A|2 当b 0时,(入 1)n,特征值为入1 ,任意非零列向量均为特征向量.(n ) 1当b 0时，A有n个线性无关的特征向量，令P (&,&,，幻，则2 当b 0时，A E ,对任意可逆矩阵P ,均有P 1AP E .【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算，齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题 ，属于有一点综合性的试题.另外，本题的解题思路是容易的，只要注意矩阵中含有一个未知参数，从而一般要讨论其不同取值情况（22）（本题满分13分）11B为两个随机事件，且P(A) - , P(B|A) - , P(A|B)432,令二维随机变量（X,Y）的概率分布；(n)X与Y的相关系数pxy ;（出）_22 .Z X Y的概率分布.【分析】本题的关键是求出（X,Y）的概率分布，于是只要将二维随机变量（X,Y）的各取值对转化为随机事件 A和B表示即可.【详解】（I）因