多面体及棱柱授课

1、1.1.21.1.2棱柱、棱锥、棱台棱柱、棱锥、棱台的结构特征的结构特征 由若干个平面多边形围成的几何体称为由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体多面体。围成多面体的各个多边形称为围成多面体的各个多边形称为多面体的面多面体的面，相邻相邻两个面的公共边叫做两个面的公共边叫做多面体的棱多面体的棱，棱和棱的公共棱和棱的公共点叫点叫多面体的顶点多面体的顶点。一、多面体的有关概念一、多面体的有关概念观察下列图形，它们都是多面体ABDCABCD（2）体对角线与面对角线（1）多面体的面、棱、顶点的表示问题（3）蚂蚁爬行距离最短问题（体对角线的计算公式）（4）截面：一个几何体和一个平面相交所得平面图形（包括

2、其内部）叫做这个几何的截面把多面体的任何一个面伸展为平面，把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做这样的多面体叫做凸多面体凸多面体（2）多面体分类：）多面体分类：按多面体面数分类，按多面体面数分类，如四面体、五面体、六面体等。如四面体、五面体、六面体等。请大家想一想，我们身边常见的物体中哪些请大家想一想，我们身边常见的物体中哪些给人们以带棱的柱体的形象？这些棱柱有什么共同给人们以带棱的柱体的形象？这些棱柱有什么共同特征？特征？三棱镜三棱镜方砖方砖六角螺杆头六角螺杆头棱柱2 . 基本概念基本概念(1) 以运动的观点来

3、观察，棱柱是如何形成的呢？棱柱棱柱：可以看成一个多边形上各点都沿着同一个可以看成一个多边形上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体方向移动相同的距离所形成的几何体。棱柱有两个互相平行的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻的两个面的交线都互相平行。判断：两个面互相平行，且其它面是平行四边形的多面体是棱柱吗？ 基本概念基本概念(2) 底面：底面：侧面：侧面：侧棱：侧棱：对角线：对角线：高：高：两个互相平行的平面叫做棱柱的底面。两个互相平行的平面叫做棱柱的底面。其余各面叫做棱柱的侧面。其余各面叫做棱柱的侧面。两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。不在同一个面上的两

4、个顶点的连线不在同一个面上的两个顶点的连线。棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高。棱柱的表示方法棱柱的表示方法棱柱用棱柱用表示两底面的对应顶点的字母表示两底面的对应顶点的字母或者或者一条对角线端点的两个字母一条对角线端点的两个字母来表示来表示：表示：棱柱 ABCDE-ABCDE棱柱 AC高：HH注意：注意：“棱柱棱柱”二字必不可少二字必不可少 棱柱的性质棱柱的性质 棱柱棱柱：性质：（2）侧面都是平行四边形；（4）与底面平行的截面是与底面全等的多边形；（5）与侧棱平行的截面是平行四边形）与侧棱平行的截面是平行四边形。可以看成一个多边形上各点都沿着同一个可以看成一个多边

5、形上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体。方向移动相同的距离所形成的几何体。（1）底面互相平行（3）侧棱互相平行且相等按底面的边数分为：按底面的边数分为：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、边形、把这样的棱柱分别叫做把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、三棱柱、四棱柱、五棱柱、五棱柱、三棱柱四棱柱五棱柱棱柱的分类棱柱的分类棱柱的分类棱柱的分类1、按侧棱与底面是否垂直可分为：、按侧棱与底面是否垂直可分为：1） 侧棱不垂直于底的棱柱叫做侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱斜棱柱。2）侧棱垂直于底的棱柱叫做）侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱直棱柱。3） 底面是正

6、多边形的直棱柱叫做底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱正棱柱。 正棱柱是一类特殊的直棱柱棱柱的分类棱柱的分类 平行六面体平行六面体：底面是平行四边形.直平行六面体直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体.长方体长方体：底面是矩形的直平行六面体.正方体正方体：棱长都相等的长方体.四棱柱:底面为四边形的棱柱正四棱柱：底面为正方形的直平行六面体四棱柱的分类四棱柱的分类棱柱棱柱：四棱柱平行六面体平行六面体 直四棱柱直四棱柱 直平行直平行六面体六面体正方体正方体底面是平行四边形底面是平行四边形侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是平行四边形侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面底面是矩形底面是矩形底面是正

7、方形底面是正方形棱相等棱相等长方体长方体 正四棱柱正四棱柱可以看成一个多边形上各点都沿着同一个可以看成一个多边形上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体。方向移动相同的距离所形成的几何体。长方体对角线性质长方体对角线性质ABDCABCD已知：长方体已知：长方体AC 中，中，BD是一条对角线。是一条对角线。求证：求证：BD 2 = AB 2 +BC 2 +BB 2证明：连结证明：连结BDBBBDBD 2 =BD 2+BB 2又 BD 2 =AB 2 +AD 2=AB 2 +BC 2BD 2 = AB 2 +BC 2 +BB 2定理：长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点定理：长方体一条

8、对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。上三条棱的长的平方和。(有称之为有称之为“三度平方和三度平方和”)7. 棱柱练习棱柱练习(01)1、一个棱柱是正四棱柱的条件是（一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）A . 底面是正方形，有两个侧面是矩形底面是正方形，有两个侧面是矩形B . 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C . 底面是菱形，且每一个顶点处有两条棱互相垂直底面是菱形，且每一个顶点处有两条棱互相垂直D . 底面是正方形，每个侧面都是全等矩形底面是正方形，每个侧面都是全等矩形D 棱柱练习棱柱练习(02)2、判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确: 直

9、棱柱的侧棱长与高相等直棱柱的侧棱长与高相等; - -( ) 直棱柱的侧面及过不相邻的两条直棱柱的侧面及过不相邻的两条 侧棱的截面都是矩形；侧棱的截面都是矩形；- - - - ( ) 正棱柱的侧面是正方形；正棱柱的侧面是正方形；- - ( ) 如果棱柱有一个侧面是矩形，如果棱柱有一个侧面是矩形， 那么它是直棱柱；那么它是直棱柱；- - - - - - -( ) 如果棱柱有两个相邻侧面是矩形，如果棱柱有两个相邻侧面是矩形， 那么它是直棱柱。那么它是直棱柱。- - - - - - -( )思考：思考：棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正棱柱集合之间存在怎样的包含集合、正棱

10、柱集合之间存在怎样的包含关系？关系？斜棱柱斜棱柱直棱柱直棱柱正棱柱正棱柱棱柱棱柱棱锥的结构特征棱锥的结构特征棱锥：棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做几何体叫做棱锥棱锥。侧面侧面底面底面侧棱侧棱顶点顶点SDBAC棱锥：棱锥：S-ABCD S-AC2、棱锥的分类棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、锥、五棱锥、ABCDS3、正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，、正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面

11、中心且与底面它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上。垂直的直线上。 正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形,且高都相等的且高都相等的, 则经常叫斜高则经常叫斜高.例一：设计一个平面图形，使它能够折成一例一：设计一个平面图形，使它能够折成一个侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥。个侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥。 这样的正三棱锥又叫正四面体这样的正三棱锥又叫正四面体 四个面都是正三角形四个面都是正三角形 正四面体是正三棱锥正四面体是正三棱锥正三棱锥不一定是正四面体。正三棱锥不一定是正四面体。例二：已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为16，一条侧棱长为 ，计

12、算它的高和斜高。112解： 11210222 BMVBVMVA BCDMO2222 BMMOOBMOBRt中，中，在在622 OBVBVOVOBRt中中，在在中中，在在VOMRt 1.设棱锥的底面面积为设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面，那么这个棱锥的中截面(过棱锥的中点且平行于底面的截面过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是的面积是( ) (A)4cm2 (B) cm2 (C)2cm2 (D) cm2C2222. 一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小棱底面面积的四分之一，则锥体被截

13、面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为锥与原棱锥体积之比为( ) (A)1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 1 : 8 (D) 1 : 7 C1 1、棱台的概念：、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。叫做棱台。C C1 1 B B1 1A A1 1D D1 1上底面上底面下底面下底面侧面侧面侧棱侧棱顶点顶点2 2、由三棱锥、四棱锥、五棱锥、由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台，截得的棱台，分别叫做分别叫做 三棱台，四棱台，五棱台三棱台，四棱台，五棱台3、棱台的表示法：棱台的表示法： 棱台用表示上、

14、下底面各顶点的字母来表示棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示 如右图，如右图，棱台棱台ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 。C C1 1 B B1 1A A1 1D D1 1棱台棱台AC4、正棱台、正棱台 ? 由正棱锥由正棱锥 截得的棱台截得的棱台 , 叫正棱台叫正棱台. 正棱台的侧面上等腰梯形的高叫正棱台的斜高正棱台的侧面上等腰梯形的高叫正棱台的斜高.h/练习练习1、如图：在正四棱锥、如图：在正四棱锥 S-ABCD中中, SO是这个四棱锥是这个四棱锥 的高，的高，SM 是斜高，且是斜高，且SO=8 , SM=11 ， (1)求侧棱长；求侧棱长；(2)求一个侧面的面积（求一个侧面的面积（3）求底面的面积。）求底面的面积。SA BCDMO解解：（：（1） 22SOSMOMSOMRt 中中，在在OM=57 由勾股定理得：由勾股定理得：在在RtSMB中中，17822 MBSMSB