复变函数课件,第1章

1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第四章第四章 级数级数第五章第五章 留数留数第六章第六章 保角映射保角映射第七章第七章 FourierFourier变换变换第八章第八章 LaplaceLaplace变换变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续i为虚数单位， 复数：形为复数：形为 z=x+ i y的数称为复数。的数称为复数。yx ,12i1）实部Rez=x；虚部Imz=y2）复数无大小3）

2、复数相等：设 则：222111,iyxziyxz212121,yyxxzz4）复数、实数、虚数的关系 复平面复平面一对有序实数（x，y）平面上一点P，向量复数 z = x + i y xyz = x + i yO实轴、 虚轴、复平面Z 平面、 w 平面opzr 复数的 模z Arg复数的 幅角1）z=0的辐角不定2）主辐角3）辐角4) 辐角有无穷多个-rctanyAx复数的三角形式与指数形式复数的三角形式与指数形式利用极坐标来表示复数z，sincosryrx22rctanrxyyAx则复数 z 可表示为：三角式三角式：sincosirzirez 指数式指数式：复数的四则运算复数的四则运算规定：

3、规定：)()(212121yyixxzz)()(2121212121xyyxiyyxxzz221121iyxiyxzz22222211iyxiyxiyxiyx222221122121 yxyxyxiyyxxb) 按上述定义容易验证按上述定义容易验证 加法交换律、结合律加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律乘法交换律、结合律和分配律 均成立。均成立。几何意义：几何意义：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。xyO21zz 1z2z2121zzzz加法运算xyO21zz 1z2z2z2121zzzz减法运算复数乘法设),sin(cos1111irz)sin(co

4、s2222irz)sin)(cossin(cos22112121iirrzz)sin()cos(212121irr定理：2121zzzz)()()(2121zArgzArgzzArgxyO1z2z21zz指数形式表示)(2121212121iiierrererzz推广至有限个复数的乘法)(2121212121 nnininiinerrrerererzzz除法运算除法运算01z1122zzzz 1122zzzz1122 Arg Arg Argzzzz ,1212zzzz1212 Arg- Arg Argzzzz)(121212ierrzz或者利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。例：已知

5、正三角形的两个顶点为例：已知正三角形的两个顶点为, 11ziz 22求三角形的另一个顶点。xyO1z2z3z31213)(iezzzz)2321)(1 (iiiz2312333iz2312333i231231c) 共轭复数：共轭复数：iyxz,iyxz互为共轭复数, zz 22yxz z,Re22zxzzziiyzzIm222121zzzz2121zzzz2121zzzz容易验证1）2）3）复数的乘幂复数的乘幂n个相同复数z的乘积称为z的n次幂nz)sin(cosninrzzzznn复数的方根复数的方根设irez 为已知复数，n为正整数，则称满足方程zwn的所有w值为z的n次方根，并且记为nz

6、w 设,iew 则iinnreerniinee,nr,2kn, 2, 1, 0k即,nr,2nk, 2, 1, 0k)2sin2(cos12nkinkrerwnnkin当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：)sin(cos10ninrwn)2sin2(cos11ninrwn) 1(2sin) 1(2(cos11nninnrwnn)4sin4(cos12ninrwn例：例：38)sin(cos283i)32sin32(cos283kik2 , 1 , 0k即2103123183kkkii复平面点集与区域（1）邻域),(00zzzzU（2）去心邻域0 ),(000zzzzzU（3）内点点z是点

7、集E的内点存在z的某个 邻域含于E内，即EzU),(0（4）外点点z是点集E的外点存在z的某个 邻域不含E内的点EzU),(0（5）边界点点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。（6）开集点集E中的点全是内点（7）闭集开集的余集空集和整个复平面既是开集，又是闭集。（8）连通集E中任意两点可以用一条全在E中的折线连接起来。（9）区域非空的连通开集（10）有界区域如果存在正数M，使得对于一切E中的点z，有Mz （11）简单曲线、光滑曲线简单曲线、光滑曲线ttiytxtzzz),()()(点集称为z平面上的一条有向曲线。)(tzz )(

8、zA )(zB 则称 E为有界区域。简单曲线：简单曲线：)()(,2121tztztt简单闭曲线：简单闭曲线：光滑曲线：光滑曲线：存在、连续且不全为零)(),(tytx（12）单连通区域设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域单连通区域，否则称多连通区域。没有交叉点。（方向）平面图形的复数表示 求平面图形的复数形式的方程（或不等式）；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。例：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Rz Z平面上以 为中心、R为半径的圆周方程为Rzz00z（1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为) 10(

9、),(121tzztzz（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为)( ),(121tzztzz（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为)(t ,1213为一非零实数tzzzz例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。（1）22ziz该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y = x。（2）4)Im( zi设 z = x+ iy,4)1 (Im()Im(yixzi3y（3）4)arg(iz)arg(iz 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴正

10、向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）（4）1Re2zixyyxiyxz2)()(22221Re222yxz例： 指出不等式4arg0iziz中点z的轨迹所在范围。解：222222) 1(2) 1(1yxxiyxyxiziz因为,4arg0iziz所以0) 1(2) 1(1222222yxxyxyx于是有xyxyxx21010222222) 1(102222yxyxx它表示在圆2) 1(22yx外且属于左半平面的所有点的集合i复复 变变 函函 数数 设 D 是复平面内的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，在另一个复平面有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的

11、复变函数复变函数，记做D)(z )(zfw单值函数单值函数 f(z):对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。多值函数多值函数 f(z):对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。我们主要考虑单值函数注：定义集合D所在的复平面称作z平面，函数值集合 所在的复平面称作w平面f D映射映射f(z)是单射单射（或一对一映射）对于任意,21zz ).()(21zfzff(z)是满射满射GDf)(f(z)是双射双射f(z) 既是单射，又是满射。单射，又是满射。G)(D )(zfw象 、原象wzG)D ()(zfwiyxz),(),(yxivyxuivuw22iyxzwi222xyyx例：xyy

12、xvyxyxu2),(,),(22一个复变函数等价于两个二元实函数0rz 2zw 20rw zarg0r2argw20r平面z平面w复变函数的几何意义2zw ayx22bxy 2au bv 2zw 复变函数的极限与连续函数的极限函数的极限定义：设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域,00rzz如果有一确定的数A存在，对于任意给定的, 0相应地必有一正数,使得当 时有00zz Azf)(那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作Azfzz)(lim0)(zfw 几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。注意注意：z趋于z0的

13、方式是任意的平面z平面w定理一ibaAzfzz)(lim0ayxuyyxx),(lim00byxvyyxx),(lim00定理二)(lim)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz关于极限的计算，有下面的定理。例证明函数zzzfRe)(当z趋于0时的极限不存在。解法一令z=x+iy, 则22Re)(yxxzzzf0),(,),(22yxvyxxyxu2220011)(lim),(limkkxxxyxukxyxkxyx所以极限不存在。解法2利用复数的三角表示式coscosRe)(rrzzzf当z沿着不同的射线zarg趋于零时，f(z) 趋于不同的值。如0argz2argz1)(zf0)(zf极限不存在。函数的连续函数的连续),()(lim00zfzfzz如果那么f(z)在z0处连续。如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。定理： f(z)在z0处连续的充分必要条