固定收益证券4创新

1、 债券价格的波动性债券价格的波动性 债券价格的利率敏感性 基点价格值和价格变化的收益值 债券的久期 债券的凸性 债券价格的利率敏感性债券价格的利率敏感性n 债券价格的利率敏感性债券价格的利率敏感性 定义定义：利率变化导致的债券价格的变化，反映了利率的价格风险。n最重要的普遍性规律（复习） 1）债券价格与投资者要求的收益率之间存在反向变动关系：当收益上升时，债券价格下降；当收益下降时，债券价格上升；2）随着到期日的临近，债券的价格趋向于面值票面利率贴现率 价格面值 折价债券票面利率=贴现率 价格= 面值 平价债券票面利率贴现率 价格面值 溢价债券 债券定价法则债券定价法则n债券定价法则债券定价法

2、则关于债券价格的利率敏感性，以下4条法则已经得到证明：1.除除永久债券永久债券外，外， 债券的债券的票面利率票面利率越低，越低，由收益率变动引起的价格变动的百分比越由收益率变动引起的价格变动的百分比越大，利率风险就越大。也就是说，票面利大，利率风险就越大。也就是说，票面利率较低的债券，其价格的利率敏感性高于率较低的债券，其价格的利率敏感性高于票面利率较高的债券。票面利率较高的债券。n例例1：A、B两种债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，还有零息债券C，相关资料如下： A B C票面利率 8 10 0%面值（元） 100 100 100信用评级 Aa Aa Aa到期时间 10年 10年 10

3、年收益率 8 8 8价格（元） 100.00 113.59 45.64请计算收益率上升两个百分点时债券的价格波动百分比？n解：当收益率上升到10时， PA=41-(1+5%)-20/5%+100/(1+5%)20 =87.54（元）PB=51-(1+5%)-20/5%+100/(1+5%)20 =100（元）Pc=100/ (1+5%)20 =37.69（元）VA=(87.54-100)/100=-12.46%VB=(100-113.59)/113.59=-11.96%VC=(37.69-45.64)/45.64=-17.42%票面利率的大小与利率风险票面利率的大小与利率风险n票面利率越低，利

4、率风险越大 $0$50$100$150$2001%3%5%7%9%11%13%15%RatePrice低利率高利率n原因：原因：息票率越低，付本金前所有利息息票率越低，付本金前所有利息收入的现值在整个债券价格构成中占比收入的现值在整个债券价格构成中占比重越低，本金现值的比重越大。本金是重越低，本金现值的比重越大。本金是现金流最主要的组成部分，其现值受利现金流最主要的组成部分，其现值受利率的影响最大率的影响最大 。1(1)(1)ntntCFVrrn永久性债券nP0=C/R0 P1=C/R1 n(P1-P0)/P0n=(C/R1- C/R0)/C/R0n=(R0-R1)/R1 与C无关2.债券的债

5、券的偿还期偿还期越长，收益率变动越长，收益率变动引起的价格变动的百分比越大，引起的价格变动的百分比越大，利率风险就越大。即长期债券比利率风险就越大。即长期债券比短期债券具有更强的利率敏感性。短期债券具有更强的利率敏感性。但随着偿还期的延长，敏感性增但随着偿还期的延长，敏感性增大的速度在下降。大的速度在下降。例例2： A、B、C三种债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，D为无限期债券相关资料如下： A B C D票面利率 8 8 8% 8% 面值（元） 100 100 100 100信用评级 Aa Aa Aa Aa到期时间 5年 10年 15年 无限期收益率 8 8 8 8价格（元） 100

6、100 100 100请计算收益率上升两个百分点时债券的价格波动百分比？n解：当利率上升到10时， PA=41-(1+5%)-10/5%+100/(1+5%)10 =92.28（元）PB=41-(1+5%)-20/5%+100/(1+5%)20 = 87.54（元）Pc= 41-(1+5%)-30/5%+100/(1+5%)30 =84.63（元）PD=4/5%=80（元）VA=(92.28-100)/100=-7.72%VB=(87.54-100)/100=-12.46%VC=(84.63-100)/100=-15.37%VD=(80-100)/100=-20%nAs maturity in

7、creases, price sensitivity increases at a decreasing rate See previous ex. The price change for B is 4.74% higher than A, but the price change for C is only 2.91% higher than B.债券期限长度和利率风险债券期限长度和利率风险n债券期限越长，利率风险越大$0$50$100$150$200$2500%2%4%6%8%10%12%14%16%RatePrice15 Year10 Year5 Year 原因原因1：长期债券由于期限

8、长，利率对其长期债券由于期限长，利率对其价格的作用大。价格的作用大。n原因原因2：本金是最大数量的现金流，它受：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。当期限增加时，市场利率的影响最大。当期限增加时，本金现值占总现值的比重变小，重要性本金现值占总现值的比重变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但虽然加大，但增速递减增速递减。3. 当债券的当债券的初始初始收益率（市场利率收益率（市场利率or 到期到期收益率）越低时，价格的利率敏感性越高，收益率）越低时，价格的利率敏感性越高，利率的风险越大。利率的风险越大。例3： 有A债券，一年付息一次

9、，下一次付息在一年后，相关资料如下： A 票面利率 6 面值（元） 100 到期时间 10年 收益率 6（贴现率） 价格（元） 100 请计算收益率分别为6、5、4、3、2时，当利率增长0.25时，债券价格变动的百分比？到期收益率到期收益率 价格（元）价格（元） 波动率波动率 2% 135.93 2.25% 133.25 -1.97% 3% 125.59 3.25% 123.16 -1.93% 4% 116.22 4.25% 114.02 -1.90% 5% 107.72 5.25% 105.72 -1.86% 6% 100.00 6.25% 98.18 -1.82% 价格 收益率4、债券收益

10、变化引起的价格变化具有、债券收益变化引起的价格变化具有不对不对称性称性，由收益上升引起的价格下降幅度低，由收益上升引起的价格下降幅度低于由收益的等规模下降引起的价格上升的于由收益的等规模下降引起的价格上升的幅度。即债券价格对于收益率的降低比对幅度。即债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更敏感。收益率的上升更敏感。例4：例2中的A、B、C三种债券，收益率都为8，分别计算收益率上升两个点至10和下降两个点至6时债券价格的波动率。债券债券 到期收益率到期收益率 价格（元）价格（元） 波动率波动率 A 8% 100.00 A 10% 92.28 -7.72% A 6% 108.53 8.53% B

11、 8% 100.00 B 10% 87.54 -12.46% B 6% 114.88 14.88% C 8% 100.00 C 10% 84.63 -15.37% C 6% 119.60 19.60% 价格 收益率 影响利率敏感性的因素 上述4条法则中的前面3条指出了影响利率敏感性的三个主要因素，即到期期限、息票利率到期期限、息票利率和初始收益率初始收益率。从下表中的数据可以看出这三个因素是如何影响利率敏感性的。同时，第4条法则也能够由表中的数据得到体现。 表1: 9种债券的价格息票利率（）到期期限（年）收益率（）10.009.008.007.000.00561.3964.3967.5670.

12、890.001523.1426.7030.8335.630.00305.357.139.5112.698.00592.2896.04100.00104.168.001584.6391.86100.00109.208.003081.0789.68100.00112.4710.005100.00103.96108.11112.4710.0015100.00108.14117.29127.5710.0030100.00110.32122.62137.42 基点价格值基点价格值（Price Value of a Basis Point）n定义：定义：基点价格值(PVBP)是指要求的到期收益率变化一个基

13、点，也就是0.01个百分点时，债券价格的变化额。它是一个绝对值指标。n例5：期限5年，票面利率8%（半年支付），面值100元，平价发行。求该债券的基点价格值。 n解：目前的到期收益率为8%。到期收益率增加1个基点，为8.01% ,债券新的价格n基点价格值 = 99.9595 100 = -0.0405元n到期收益率减少1个基点，为7.99% ,债券新的价格n基点价格值 = 100.0406 100 = 0.0406元10101410099.9595(10.04005)1.04005ttP101014100100.0406(10.03995)1.03995ttPn例6：A、B、C三种债券，半年付

14、息一次，下次付息在半年后， A B C 票面利率 8 8 8% 面值（元） 100 100 100 信用评级 Aa Aa Aa 到期时间 5年 10年 15年 收益率 8 8 8 价格（元） 100 100 100 请计算收益率变动100个基点时债券的价格波动值。债券债券 到期收益率到期收益率 价格（元）价格（元） 价格变动价格变动 波动平均值波动平均值 A 8% 100.00 （价格波动值） A 9% 96.0436 -3.9564 A 7% 104.1583 4.1583 4.0574 B 8% 100.00 B 9% 93.4960 -6.5040 B 7% 107.1062 7.106

15、2 6.8051 C 8% 100.00 C 9% 91.8556 -8.1444 C 7% 109.1960 9.1960 8.6702不对称性，债券价格对收益率的下降更敏感 n例7:求以下债券组合的基点价格值： A B C每张债券基点价格值 0.0406 0.0680 0.0865持有量（张） 100 300 1000每种债券基点价格值 4.06 20.40 86.50组合的基点价格值（元） 4.0620.40+86.50=110.96 价格波动的收益率价值价格波动的收益率价值（Yield Value of a Price Change）n定义：定义：价格波动的收益率价值，是指债券价格发生

16、一定金额变化所对应的到期收益率变化的幅度。它仍然是一个绝对值指标。价格变化的收益值越大，基点价格值越小。n例8：期限5年，票面利率9%（半年支付）， 收益率为9% ，对应价格为$100。价格上升1/32，收益率的变动值。n价格波动的收益率价值= 8.992%9%=-0.008%n思考：价格波动的收益率价值是对称的吗？1010114.510010032(1/2)(1/2)8.992%ttyyyPVBP的应用套期保值n例9：一个交易者买了一张面值为10000元的债券，他计算了当时债券的PVBP是5.46元，问他需卖出多少面值为10000元，PVBP是2.73元的债券以规避利率变动风险？n解：5.4

17、6/2.73=2 21000020000（元）n当利率上升一个基点时，他在持有的债券上将损失5.46元，在卖空债券上赚回5.46元。n由于PVBP会随着利率水平的变化而变化，因而交易者应根据利率变化的情况随时调整套保头寸。 PVBP的局限性的局限性nPVBP的局限性：假设投资者持有一种债券的PVBP是5.50元，持有另一种债券的PVBP是4.00元，我们无法说前一种债券的利率敏感性大于后一种债券，因为我们不知道其持有量各是多少（由于其是一个绝对值指标）。因此，找一个不依赖于持有量的价格敏感度度量方法很重要。 Exercisen1. 一个债券期限4年，票面利率9（半年支付），价格为100元，平价

18、发行n1）求债券的基点价格值；n2）求收益率变动100个基点时的价格波动值；n2.一个投资者买了100张债券，他计算了手中债券的PVBP是3.54元，问他需卖出多少张PVBP是0.0118元的债券以规避利率变动风险？ 债券的久期债券的久期n久期的含义久期的含义 久期（duration)也称为麦考利期限，也有将其译为持续期。它是衡量债券价格风险的重要指标，用以测度债券的利率敏感性。 D=-(P/P)/(1+Y)/(1+Y) =-(P/P)/Y/(1+Y) P/P-D/(1+Y) YP: 价格价格Y: 收益率收益率 久期的推导久期的推导1(1)TtttC FPy1111/(1)1(1)TTtttt

19、tttCFtCFdP dyyyy 11(/)(1/)(1/)1(1)TttttCFdP dyPPyy 一张T年期债券，t时刻的现金支付为CFt(1tT)，与债券的风险程度相适应的收益率为y。则债券的价格为：continued11 /(1)TttttC FDPy债券久期为：nMacaulay（麦考利）久期是债券现金流（每期息票利息或本金支付）时间的加权平均，权重是每一时点的现金流的现值在总现值（即债券价格）中所占的比例。它是债券的有效到期时间。Duration: CalculationtttwCFyice()1PrCFCash Flowforperiodtt1Pr(1)tTtticeyCF1Tt

20、tDt wExamplen例10：面值1000元，到期期限2年，半年付息，票面利率为8和零息票两种债券，到期收益率10。下表给出了这两种债券久期的计算。 名称(1)至支付的时间/期(2)支付/元(3)现值/元 (4)权重(5)(1)(4)久期债券A8债券 1 40 38.095 0.0395 0.0395 2 40 36.281 0.0376 0.0752 3 40 34.553 0.0358 0.1074 4 1040 855.611 0.8871 3.5484总计 964.540 1.0000 3.7705债券B 3.7705/2=1.8853零息票债券 13 0 0 0 0 4 1000

21、 822.70 1.0 4总计 822.70 1.0 4/2=2CF/(1+y)t(3)/Pn结果表明，零息票债券的久期就等于它的到期期限，而息票债券的久期比它的到期期限短，Why?n思考：在上面的例子中，2年期息票债券的久期（年）为1.8853。如果有期限为1.8853年的一张零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？n思考：结合上例，如何来理解久期与到期期限的区别？ 久期与到期期限久期与到期期限n我们知道，到期期限是影响利率敏感性的一个重要指标（越长，敏感性越大），但用其作为测量利率敏感性大小的指标是不完善的。对于无期权的息票债券而言，久期是债券对利率变动敏感性的更高的测度标准。n到期期限仅考

22、虑最后的现金流，而久期还包括了其他的因素，诸如息票支付的规模、时间以及利率(到期收益率)水平。n久期不同于到期期限，它将告诉我们对于一给定的到期收益率的变动，债券价格的大致变动比例。Why duration is important?nMeasures the interest rate risk of a bondnAllows comparison across bonds that differ in coupon rate, yield and maturitynAn essential concept in bond portfolio management, particularl

23、y in immunization strategies (protecting bond portfolios from interest rate risk) Macaulay久期法则久期法则 影响利率敏感性的因素包括到期期限、息票利率和到期收益率。以下的法则归纳了久期与这三个因素之间的关系。 久期法则久期法则1：零息票债券的久期等于它的到期时间。 久期法则久期法则2：保持其他因素不变，票面利率越低，息票债券的久期越长。 久期法则久期法则3：保持其他因素不变，债券的到期收益率越低时，息票债券的久期越长。 久期法则久期法则4：保持其他因素不变，债券的久期通常随着债券到期期限的增加而增加，但久

24、期的增加速度慢于到期期限的增加速度。 n思考：将下列两类债券按久期长短排序。n1. 债券A：息票率为8%，2 0年到期，按面值出售。债券B：息票率为8%，2 0年到期，折价出售。nA: YTM=8%， nB: YTM8%（可能是信用风险不同）nA的久期长于B的久期n2. 债券A: 2 0年期，不可赎回债券，息票率为8%，按面值出售。债券B: 2 0年期，可赎回债券，息票率为9%，也按面值出售。n息票率：AB，A的久期大于B的久期；nB可赎回，期限可能短于20年，A的久期大于B的久期。n所以，A的久期大于B的久期。 久期法则久期法则5：息票债券的久期可用下式简化计算 这里，c为每期票面利率，T为

25、支付次数，y是每期到期收益率。 久期法则久期法则6：当息票债券以面值出售时，票面利率与到期收益率相等，法则5可简化为 11()(1)1TyyT cyycyy111(1)Tyyy 久期法则久期法则7：稳定年金（无本金偿还）的久期由下式给出： 这里，T为支付次数，y是每个支付期的年金收益率。久期法则久期法则8：无限期债券(永续年金)的久期为： 1yy1(1)1TyTyyExamplen例11-1：面值为100元，票面利率为8的三年期债券，半年付息一次，下次付息在半年后，年到期收益率为10，计算它的久期。n解： 即：久期（年）2.717561 5%(1 5%) 6 (4% 5%)()5.43495%

26、4%(1 5%)15%D 半年Continuedn例11-2：假设其平价出售，则到期收益率为8，久期（半年）为：n即：久期（年）2.7259。61 4%115.45184%(1 4%)Continuedn例11-3：假设11-1中该债券无本金偿还，是3年期的每半年支付一次的普通年金，求久期（半年）n例11-4: 如果假设是永续年金，求久期（半年）61 5%63.35795%(1 5%)115215 修正久期修正久期(Modified Duration) 久期公式推导中有式令D*=D/(1+y)，上式可以写为 通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期” 。上式表明，债券价债券价格变化的百分比恰好

27、等于修正久期与债券到期收益率变格变化的百分比恰好等于修正久期与债券到期收益率变化（绝对额）的乘积。化（绝对额）的乘积。因此，修正久期可以用来直接测度债券在利率变化时的风险暴露程度。*PDyP 1PDyPyModified Duration/Price RelationshipnModified Duration can be used to estimate the percentage change in price for a given change in yield:yDPP* Example: y = +100 basis points, D* = 5 P/P = - 5 x 0.0

28、1 = -0.05 or 5% 可赎回债券的久期可赎回债券的久期n对于以可赎回债券为代表的具有“内含期权”的债券，要根据麦考利的定义来分析他们的久期是比较困难的。主要原因在于：由于期权的存在，未来现金流由于期权的存在，未来现金流变得不可测知。变得不可测知。现金流的随机性，使我现金流的随机性，使我们无法对未来现金流的时间做加权平均，们无法对未来现金流的时间做加权平均，也就无法计算麦考利久期。也就无法计算麦考利久期。 有效久期有效久期n华尔街的惯例是计算内含期权债券的有效久期(effective duration)n有效久期定义为债券价格变化率与市场利率变化量之比 有效久期-(P/P)/rExam

29、plen例例12：假设有一种赎回价格是1050美元的可赎回债券以980美元的价格出售。如果市场利率上升0.5%，债券价格降至950元；如果下降0.5%，债券价格升至1030元。计算有效久期。nr0.5%- (-0.5%)=1%=0.01 P=950-1030=-80美元 有效久期（年）-(P/P)/r-(-80/980)/0.01 =8.16当前利率变化1%将引起债券价格变化8.16%(近似解近似解) 资产组合的久期资产组合的久期n资产组合的久期是个别债券的久期以价值为权重求得的加权平均值。例例13：投资组合包括三种债券，已知各债券的市场价值和修正久期 债券债券当前当前市值市值权重权重修正修正

30、久期久期加权加权值值收益收益率率变化变化价值价值变化变化收益收益率率变化变化价值价值变化变化A50 0000.334.831.61-0.5%1206.50-0.5%1206.50B78 9000.535.172.72-0.5%2039.17-0.6%2447.00C21 1000.147.491.05-0.5%789.77-0.1%-157.95总额150 0001.00 5.38-0.5%4035.443495.55n组合的价值变化当前市场值组合的修正久期收益率变化值，n只有投资组合中所有债券的市场要求收益率都发生相同幅度的改变时，在计算组合价值变化时，加权平均的修正久期才适用。当收益率变化

31、对不同的债券不同，则组合的价值变化不能用组合的修正久期计算。 利用久期估计价格波动利用久期估计价格波动n例例14：一债券面值为100元，票面利率为8，到期时间为5年，半年付息一次，到期收益率为8，利用久期计算收益率变动1个、100个基点时，债券的价格波动（久期可采用简化计算公式）。n解： D （半年） = (1+4%)/4%1-1/(1+4%)10=8.4353 D* （半年） =8.4353/(1+0.04)=8.1109 1）上升1个基点，从88.01， -8.11090.005%-0.0406% 2）下降1个基点，从87.99， -8.1109(-0.005%)0.0406%n实际波动百

32、分比分别为-0.0405%和0.0406%，与利用修正久期计算的结果基本一致。P/PP/P3）上升100个基点，从89， -8.11090.5%-4.0555%4）下降100个基点，从87， -8.1109(-0.5%)4.0555%n实际波动百分比分别为-3.9564%和4.1583%，当收益率变动较大时，利用修正久期计算的结果与实际相差较大。n利用久期估计不能体现价格波动的不对称性。P/PP/PnDURATION(settlement,maturity,coupon,yld,frequency,basis)nMDURATION(settlement,maturity,coupon,yld,

33、frequency,basis) Exercise n1. 一种收益率为10%的9年期债券，久期为7.194年。如果市场收益率改变50个基本点，债券价格改变的百分比是多少？n2. 已知一种息票率为6%的债券每年付息，如果它离债券到期还有三年且到期收益率为 6%，求该债券的久期。如果到期收益率为10%，久期又为多少？n3. 一种债券的息票率为6%，每年付息，修正久期（年）为10，以800元售出，按到期收益率8%定价。如果到期收益率增至9%，利用久期的概念，估计价格会是多少？ 久期的局限性久期的局限性 n久期的局限性 根据式 ，债券价格变化的百分比作为到期收益率变化的函数，其图形是一条斜率为-D*

34、的直线。因此，当债券收益变化时，可以用这条直线对新产生的价格进行估计。*PDyP n特点特点1：债券价格变化的百分比与收益变化之间的关系并不是线性的，这使得对于债券收益的较大变化，利用久期对利率敏感性的测度将产生明显的误差。n债券A和债券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲线在这一点相切。n对于债券收益的微小变化，久期可以给出利率敏感性的精确测度。n随着收益变化程度的增加，对应于债券A和债券B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔”不断扩大，表明久期法则越来越不准确。n特点特点2：久期近似值总是在债券实际价格的下方。也就是说，当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债券价

35、格的下跌程度。n对于较大的收益变化，债券A比债券B有更大的价格增长或更小的价格下跌。这是因为债券A比债券B具有更大的凸性。 凸性的数学推导凸性的数学推导n收益率变化导致价格的变化，用泰勒级数展开：n泰勒级数公式：2221/ 2()dPd PdPdydydydy( )20000000( )( )( )( )( )()().()0!1!2!nnf xf xf xfxf xx xx xx xn 2221()( )()2dPd PP yyP ydydydydyn两边同除以P，得到：n令C表示凸性n上式写为：n凸性是对债券价格利率敏感性的二阶估计。在价格收益率出现大幅度变动时，它们的波动幅度呈非线性关系

36、。由久期作出的预测将有所偏离。凸性就是对这个偏离的修正。21*()2PDyCyPP 221dPCd yP222111/ 2()dPdPd PdydyPdy PdyPP*1dPDdy P *PDyP 凸性实际上是价格-收益曲线斜率的变化率，即价格收益曲线的弯曲度。 由此可知，对于有一正凸性的债券（不含期权的债券都有正的凸性），无论收益率是上升还是下降，第二项总是正的。这就解释了久期近似值为什么在收益率下降时低估债券价格的增长程度，而在收益率上升时高估债券价格的下跌程度。凸性的修正会在一定程度上消除这种高估或低估。 n由此定义，可得付息周期数为N，周期收益率为y的普通债券的凸性计算公式如下(求二阶

37、导数）：令：则：21(1)1(1)(1)Ttttt tCFCPyy(1)tttCFWyP2211()(1)NttCttWy221dPCd yP11/1(1)TttttCFdP dyyy n例例15：面值1000元，票面利率为10的5年期债券，一年付息一次，下一次付息在一年后。如果到期收益率为14，计算其久期和凸性。n解：11 /(1)TttttCFDPy21(1)1(1)(1)Ttttt tCFCPyy 时间(年)现金流（元） 现值（元）权重久期 t权重 t(t+1)凸性t(t+1)权重12345总计(s)100 87.7193 0.1017 0.1017 2 0.2034100 76.946

38、8 0.0892 0.1784 6 0.5352100 67.4972 0.0782 0.2346 12 0.9384100 59.2080 0.0686 0.2744 20 1.3720 1100 571.3055 0.6622 3.3110 30 19.8660 862.6768 1 4.1001 22.9150 D=4.1001 C=22.9150/(1+14%)2=17.6323 思考思考：如果是半年付息一次，凸性？ 利用下面的公式可把分期限计算的凸性转化为按年计算的凸性： 其中m为每年的付息次数。 对于零息票债券，有2m凸性(分期限算)凸性(按年算)2(1)(1)T Ty零息票债券凸

39、度n例14：一债券面值为100元，票面利率为8，到期时间为5年，半年付息一次，收益率为8，利用久期计算收益率变动1个、100个基点时，债券的价格波动（久期可采用简化计算公式）。n解： D= (1+4%)/4%1-1/(1+4%)10=8.4353（半年） D*=8.4353/(1+0.04)=8.1109 （半年） 1）上升1个基点，从88.01， -8.11090.005%-0.0406% 2）下降1个基点，从87.99， -8.1109(-0.005%)0.0406%n实际波动百分比分别为-0.0405%和0.0406%，与利用修正久期计算的结果基本一致。P/PP/P3）上升100个基点，

40、从89， -8.11090.5%-4.0555%4）下降100个基点，从87， -8.1109(-0.5%)4.0555%n实际波动百分比分别为-3.9564%和4.1583%，当收益率变动较大时，利用修正久期计算的结果与实际相差较大。n利用久期估计不能体现价格波动的不对称性。P/PP/Pn例16：对例14中的债券考虑凸性，计算其收益率变动后的价格波动。n解：计算出其半年期凸性为80.7543. 1）上升1个基点，从88.01， -8.11090.005%+1/280.7543(0.005%)2-0.0405% 2）下降1个基点，从87.99，-8.1109(-0.005%) %+1/280.

41、7543(-0.005%)2 0.0406%与实际价格波动一致，体现了价格波动的不一致性。P/PP/P21*()2PDyCyPP 3）上升100个基点，从89， -8.11090.5%+1/280.7543(0.5%)2 -3.9545% 4）下降100个基点，从87， -8.1109(-0.5%) %+1/280.7543(-0.5%)2 4.1564% 实际价格波动分别为-3.9564%和4.1583%，用久期估计的结果为-4.0555%和4.0555%，考虑了凸性的估计结果与真实价格波动更接近。 凸性的引入提高了债券价格估计的准确性P/PP/P 凸性的特征总结凸性的特征总结n久期是收益率

42、-价格曲线在某一点的斜率：一阶导数；凸性是收益率-价格曲线斜率的变化率，衡量的是曲线的弯曲程度：二阶导数。n非含权债券都有正的凸性n凸性会随着到期收益率的增加而降低。n正的凸性是受投资者欢迎的，Why?221dPCd yP*1.dPDdyP n正的凸性会给投资者带来额外的利益。n凸性越大，价格收益率曲线越弯曲，同等收益率条件下，债券价格越高。久期和凸性PriceDurationPricing Error from durationYield Convexity nProperty: The greater a bonds convexity, the greater its capital gains and the smaller its capital losses for given absolute changes in yields.YTMPB0y0PB0YTMy1y2K GainK Lossy0y1y2K GainK Lossyyyy1020 可赎回债券的凸性可赎回债券的凸性负凸性区间负凸性区间正凸性区间正凸性区间价格价格赎回价格赎回价格收益率收益率可赎回债券的凸性可赎回债券的凸性 A Bn在负凸性期间，到期收益率越低，债券的久期越小，价格的利率敏感性越弱。n在负凸性期间，价格收益率曲线表现出不具吸引力的不对称性：n不对称