统计决策专题讲座

1、统计决策理学院应用数学系理学院应用数学系数学建模专题讲座之三数学建模专题讲座之三 决策决策是指为了实现特定的目标，是指为了实现特定的目标，根据客观的可能性，在占有一定信息根据客观的可能性，在占有一定信息和经验的基础上，借助一定的工具、和经验的基础上，借助一定的工具、技巧和方法，对影响未来目标实现的技巧和方法，对影响未来目标实现的诸因素进行准确的计算和判断选优后，诸因素进行准确的计算和判断选优后，对未来行动做出的决定。对未来行动做出的决定。 3.1 3.1 概述概述例例3.1 3.1 一位收藏家拟收购一件古物，这件古物一位收藏家拟收购一件古物，这件古物标价为标价为30003000元。若这件古物是

2、真品，则值元。若这件古物是真品，则值60006000元；元；若是赝品，则一文不值。此外，没有买下一件真若是赝品，则一文不值。此外，没有买下一件真品古物会损害这位收藏家的名誉，其收益情况可品古物会损害这位收藏家的名誉，其收益情况可列表如下：列表如下：现在，这位收藏家需要决定是买还是不买这件古物？现在，这位收藏家需要决定是买还是不买这件古物？ 例例3.23.2 一位姑娘自己种花卖花，她每晚摘花第二一位姑娘自己种花卖花，她每晚摘花第二天去卖，每束花成本为天去卖，每束花成本为1 1元，售价可达元，售价可达5 5元。若当元。若当天卖不掉，因花枯萎而不能再卖。据经验，她一天卖不掉，因花枯萎而不能再卖。据经

3、验，她一天至少能卖天至少能卖5 5束鲜花，最多能卖束鲜花，最多能卖1010束鲜花。若将束鲜花。若将一天中卖出的花束数一天中卖出的花束数视作随机变量，且已知其视作随机变量，且已知其分布为分布为10. 020. 040. 015. 009. 006. 01098765现要研究她前一天晚上采摘几束鲜花为最优行为。现要研究她前一天晚上采摘几束鲜花为最优行为。统计决策：统计决策：广义上说，是依据统计的原理、原则和方广义上说，是依据统计的原理、原则和方法进行的决策法进行的决策；狭义地讲，是指将未来情况的发生视为狭义地讲，是指将未来情况的发生视为随随机事件，依据概率统计机事件，依据概率统计提供的理论和方法提

4、供的理论和方法进行的决策。进行的决策。统计决策提供了在未来情况具有不确定性统计决策提供了在未来情况具有不确定性时，处理问题的原理和方法。时，处理问题的原理和方法。决策问题的决策问题的三个基本要素三个基本要素状态集状态集行动集行动集行动空间行动空间决策目标决策目标,21m,21naaaA依统计决策论的观点，对决策有用的信息依统计决策论的观点，对决策有用的信息先验信息先验信息样本信息样本信息决策问题的分类决策问题的分类无数据无数据（无样本信息）（无样本信息）决策问题决策问题统计决策问题统计决策问题贝叶斯贝叶斯决策问题决策问题统计决策的显著特点是：统计决策的显著特点是： 统计决策建立在统计分析和统计

5、预统计决策建立在统计分析和统计预测的基础测的基础 上，是一种上，是一种定量决策定量决策 。 统计决策是在不确定情况下，应用统计决策是在不确定情况下，应用概率来进行决策的计算和分析，是一概率来进行决策的计算和分析，是一种种概率决策概率决策。 统计决策的分类统计决策的分类确定型决策确定型决策风险型决策风险型决策不确定型决策不确定型决策决策的自然决策的自然状态完全确状态完全确定，即在未定，即在未来情况已知来情况已知的条件下，的条件下，按照既定目按照既定目标和决策准标和决策准则选定方案则选定方案的决策。的决策。 事件中存在着两个以事件中存在着两个以上的不以决策者主观上的不以决策者主观意志为转移的自然状

6、意志为转移的自然状态，在几种不同的自态，在几种不同的自然状态中未来会出现然状态中未来会出现哪一种状态，决策者哪一种状态，决策者不能肯定，但各种状不能肯定，但各种状态出现的可能性即概态出现的可能性即概率，可由决策者预先率，可由决策者预先估计或计算出来。估计或计算出来。 决策者在对决策者在对未来情况未未来情况未知，对各种知，对各种自然状态及自然状态及其概率也一其概率也一无所知的情无所知的情况下所进行况下所进行的决策。的决策。 3.2 3.2 风险型决策风险型决策 具有明确的目标；具有明确的目标； 两个或两个以上的可能状态及不同可能两个或两个以上的可能状态及不同可能状态出现的概率；状态出现的概率；

7、两个或两个以上的行动方案以及不同方两个或两个以上的行动方案以及不同方案在不同可能状态下的损益值。案在不同可能状态下的损益值。进行风险型决策一般应具备的条件：进行风险型决策一般应具备的条件： 3.2.1 3.2.1 最大可能性准则决策最大可能性准则决策 在决策中选择概率最大的自然状态，在决策中选择概率最大的自然状态，将其它概率较小的自然状态予以忽略，将其它概率较小的自然状态予以忽略，然后比较各备选方案在这种概率最大然后比较各备选方案在这种概率最大的自然状态下的收益或损失值，选取的自然状态下的收益或损失值，选取收益最大或损失最小的方案作为行动收益最大或损失最小的方案作为行动方案。方案。 例例3.3

8、 3.3 对例对例3.23.2，按最大可能性准则方法，按最大可能性准则方法，该姑娘前一天晚上应采摘几束鲜花？该姑娘前一天晚上应采摘几束鲜花？ 例例3.23.2 一位姑娘自己种花卖花，她每晚摘花第二一位姑娘自己种花卖花，她每晚摘花第二天去卖，每束花成本为天去卖，每束花成本为1 1元，售价可达元，售价可达5 5元。若当元。若当天卖不掉，因花枯萎而不能再卖。据经验，她一天卖不掉，因花枯萎而不能再卖。据经验，她一天至少能卖天至少能卖5 5束鲜花，最多能卖束鲜花，最多能卖1010束鲜花。若将束鲜花。若将一天中卖出的花束数一天中卖出的花束数视作随机变量，且已知其视作随机变量，且已知其分布为分布为10. 0

9、20. 040. 015. 009. 006. 01098765现要研究她前一天晚上采摘几束鲜花为最优行为。现要研究她前一天晚上采摘几束鲜花为最优行为。解解 写出收益矩阵，如下表所示写出收益矩阵，如下表所示 如果在一组自然状态中，某一自然状态出如果在一组自然状态中，某一自然状态出现的概率比其它自然状态显著地大，而益现的概率比其它自然状态显著地大，而益损值差别又不很大时，采用最大可能性准损值差别又不很大时，采用最大可能性准则的决策效果较好。则的决策效果较好。 每天卖出每天卖出8 8束花的概率最大，达到束花的概率最大，达到0.400.40，在这种，在这种状态下，最大收益值为状态下，最大收益值为32

10、32，3232所对应的方案为每所对应的方案为每天采摘天采摘8 8束花，所以，该姑娘前一天晚上应采摘束花，所以，该姑娘前一天晚上应采摘8 8束鲜花。束鲜花。 3.2.2 3.2.2 期望值准则决策期望值准则决策 期望值准则决策，就是在考虑各种结期望值准则决策，就是在考虑各种结果对决策带来综合影响的情况下，选择果对决策带来综合影响的情况下，选择其中其中期望值最大期望值最大的方案作为最优方案的的方案作为最优方案的一种决策方法。一种决策方法。 期望值准则决策的步骤：期望值准则决策的步骤： u列出决策收益表；列出决策收益表； u以决策收益表为基础，根据各种自然状态以决策收益表为基础，根据各种自然状态的概

11、率计算出不同方案的期望损益值；的概率计算出不同方案的期望损益值；u从期望损益值中选择最大的值所对应的方从期望损益值中选择最大的值所对应的方案作为最优方案。案作为最优方案。 期望损益计算公式为期望损益计算公式为 njijjiVPAE1)( 例例3.3 3.3 利用表利用表3.33.3中的资料，按照期望值准中的资料，按照期望值准则方法，求该姑娘应选择何种采摘方案？则方法，求该姑娘应选择何种采摘方案？ ijV表示第表示第i i种方案在第种方案在第j j种状态下的益损值。种状态下的益损值。解：由表解：由表3.33.3和期望值准则决策计算公式得和期望值准则决策计算公式得 202010. 02020. 0

12、2040. 02015. 02009. 02006. 0)(6111jjjVPAE7 .232410. 02420. 02440. 02415. 02409. 01906. 0)(6122jjjVPAE88.262810. 02820. 02840. 02815. 02309. 01806. 0)(6133jjjVPAE45.293210. 03220. 03240. 02715. 02209. 01706. 0)(6144jjjVPAE35.293610. 03620. 03140. 02615. 02109. 01606. 0)(6155jjjVPAE6 .284010. 03520. 0

13、3040. 02515. 02009. 01506. 0)(6166jjjVPAE 因此各种情况平均起来考虑，方案因此各种情况平均起来考虑，方案A4A4收益的收益的期望值最高，故该方案为最优方案，即卖花姑期望值最高，故该方案为最优方案，即卖花姑娘前一天晚上应采摘娘前一天晚上应采摘8 8束鲜花。束鲜花。 收寄包裹数（个）收寄包裹数（个） 41-50 41-50 51-60 51-60 61-70 61-70 71-80 71-80 81-9081-90占的比例占的比例 10% 10% 15% 15% 30% 30% 25% 25% 20% 20% 例例3.4 3.4 某邮局要求当天收寄的包裹当天

14、处理完毕。某邮局要求当天收寄的包裹当天处理完毕。根据以往统计记录，每天收寄包裹的情况见下表根据以往统计记录，每天收寄包裹的情况见下表已知每个邮局职员平均每小时处理已知每个邮局职员平均每小时处理4 4个包裹，每小时个包裹，每小时工资为工资为5 5元。规定每人每天实际工作元。规定每人每天实际工作7 7小时。如加班工小时。如加班工作，每小时工资额增加作，每小时工资额增加50%50%，但加班时间每人每天不，但加班时间每人每天不得超过得超过5 5小时（加班时间以小时计，不足小时（加班时间以小时计，不足1 1小时的按小时的按1 1小时计算）。试确定该邮局最优雇佣工人的数量。小时计算）。试确定该邮局最优雇佣

15、工人的数量。每人每天正常处理的包裹数为每人每天正常处理的包裹数为4 47=287=28（个），（个），最多处理的包裹数量为最多处理的包裹数量为4 4（7+57+5）=48=48（个）。（个）。而每天需要处理的包裹数最多为而每天需要处理的包裹数最多为9090个，故我们个，故我们只考虑两个方案只考虑两个方案 （雇佣（雇佣2 2个工人）和个工人）和 （雇佣（雇佣3 3个工人）。个工人）。分析：分析：1A2A5, 4, 3, 2, 1,1040, 110)3(iiii表示收寄的包裹位于区间：表示收寄的包裹位于区间：支付工资 方案状态（概率）572=70 573=105 572+7.5=77.5 573

16、=105 572+7.54=100 573=105 572+7.56=115 573=105 572+7.59=137.5 573+7.52=120 表表3.4 决策损失表决策损失表1A2A)10. 0(1)15. 0(2)30. 0(3)25. 0(4)20. 0(5每小时每小时5 5元，每元，每天天7 7小时，小时，2 2人人742=5641,5041,5051,6051,602 2人正常处理人正常处理5656个邮件，还需个邮件，还需加班加班1 1小时小时61,7061,702 2人正常处理人正常处理5656个个邮件，还剩邮件，还剩1414个，个，需加班需加班4 4小时小时支付工资 方案状

17、态（概率）572=70 573=105 572+7.5=77.5 573=105 572+7.54=100 573=105 572+7.56=115 573=105 572+7.59=137.5 573+7.52=120 表表3.4 决策损失表决策损失表1A2A)10. 0(1)15. 0(2)30. 0(3)25. 0(4)20. 0(5若雇佣两个工人，则邮局的平均支付工资为：若雇佣两个工人，则邮局的平均支付工资为：)(875.1045 .13720. 011525. 010030. 05 .7715. 07010. 0)(1元AE若雇佣三个工人，则邮局的平均支付工资为：若雇佣三个工人，则邮

18、局的平均支付工资为：)(10812020. 010525. 010530. 010515. 010510. 0)(2元AE若雇佣两个工人，则邮局的平均支付工资为：若雇佣两个工人，则邮局的平均支付工资为：)(875.1045 .13720. 011525. 010030. 05 .7715. 07010. 0)(1元AE若雇佣三个工人，则邮局的平均支付工资为：若雇佣三个工人，则邮局的平均支付工资为：)(10812020. 010525. 010530. 010515. 010510. 0)(2元AE根据期望值准则，故从邮局的角度来看，最优雇佣根据期望值准则，故从邮局的角度来看，最优雇佣工人的数量

19、为工人的数量为2。)()(21AEAE因为3.2.3 3.2.3 决策树法决策树法 决策树法是通过把决策过程用图解方决策树法是通过把决策过程用图解方式显示出来，从而使决策问题显得更为式显示出来，从而使决策问题显得更为形象、直观，便于管理人员审度决策局形象、直观，便于管理人员审度决策局面，分析决策过程。面，分析决策过程。 决策树法不仅适用于单阶段决策问决策树法不仅适用于单阶段决策问题，而且可以处理多阶段决策中用图表题，而且可以处理多阶段决策中用图表法无法表达的问题。法无法表达的问题。 决策树的一般模型决策树的一般模型 （1 1）单阶段决策树法）单阶段决策树法 单阶段决策树法可分为两个步骤：单阶段

20、决策树法可分为两个步骤：l从左到右的建树过程；从左到右的建树过程；l从右到左的计算过程。从右到左的计算过程。 例例3.5 3.5 利用决策树法确定例利用决策树法确定例3.43.4中邮局最优雇中邮局最优雇佣工人的数量。佣工人的数量。例例3.5 3.5 利用决策树法确定例利用决策树法确定例3.43.4中邮局最优雇中邮局最优雇用工人的数量。用工人的数量。支付工资 方案状态（概率）572=70 573=105 572+7.5=77.5 573=105 572+7.54=100 573=105 572+7.56=115 573=105 572+7.59=137.5 573+7.52=120 1A2A)1

21、0. 0(1)15. 0(2)30. 0(3)25. 0(4)20. 0(57077.5100115137.51051051051051051A2A)10. 0(1)15. 0(2)30. 0(3)25. 0(4)20. 0(5决策决策 1A2A雇用雇用2 2个工人个工人雇用雇用3 3个工人个工人10. 017077.5100115137.515. 0230. 0325. 0420. 0520. 0510. 0110510510510512015. 0230. 0325. 04104.875108方案枝方案枝1A图图3.2 3.2 单阶段决策树图单阶段决策树图（2 2）多阶段决策树法）多阶段决

22、策树法 有些问题的统计决策带有阶段性，有些问题的统计决策带有阶段性，选择某种行动方案会出现不同的状态，选择某种行动方案会出现不同的状态，按照不同的状态，又需要作下一步行按照不同的状态，又需要作下一步行动方案的决策，以及更多的状态和决动方案的决策，以及更多的状态和决策，这些问题表现在决策树上为多个策，这些问题表现在决策树上为多个决策点，可以用多阶段决策树的方法决策点，可以用多阶段决策树的方法进行决策。进行决策。 例例 3.6 3.6 某高新技术集团企业拟生产某种新产品，某高新技术集团企业拟生产某种新产品，该企业有该企业有两个方案两个方案可供选择，可供选择，方案一是建设大方案一是建设大厂，需投资厂

23、，需投资32003200万元，建成后，若销路好，每万元，建成后，若销路好，每年可得利润年可得利润12001200万元，若销路差，每年则亏损万元，若销路差，每年则亏损400400万元；万元；另一个方案是建设小厂，需投资另一个方案是建设小厂，需投资20002000万元，如销路好，每年可得利润万元，如销路好，每年可得利润600600万元，销路万元，销路差，每年可得利润差，每年可得利润500500万元。万元。两个工厂的使用期两个工厂的使用期限都是限都是1010年。根据市场预测，这种产品在今后年。根据市场预测，这种产品在今后1010年内销路好的概率是年内销路好的概率是0.70.7，销路差的概率为，销路差的概率为0.30.3，该集团企业计划先建小厂，试销，该集团企业计划先建小厂，试销3 3年，若年，若销路好再投资销路好再投资10001000万元，加以扩建。扩建后可万元，加以扩建。扩建后可使用使用7 7年，后年，后7 7年中每年盈利增至年中每年盈利增至970970万元，应如万元，应如何决策。何决策。 解：这个问