第1课实数的概念及运算

1、第1课 实数的概念及运算、【考纲解读】考试内容了解理解掌握运用有有理数、相反数、绝对值V理数轴、有理数的大小比较V数有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算V平方根、立方根、算术平方根V实开方运算V实数及其分类，实数与数轴，实数运算V数二次根式及其运算V近似数与有效数字，科学记数法V估算V二、【命题规律】实数是中考必考知识点，在考查内容上，主要围绕实数的有关概念。如：相反数、倒 数、数轴、绝对值等，还有实数的分类、实数的大小比较和实数的混合运算。不仅考查概 念的掌握情况，而且还考查运算能力。这些年又出现了给出结果由学生自行探究计算式结 构等类型的开放性、创新性的题目。解决这类问题的关键是准

2、确无误地理解与实数有关的概念，熟练掌握实数大小的比较 方法、科学记数法以及实数的运算法则和技巧。三、【知识梳理】1. 实数的分类：整数（包括:正整数、0、负整数）和分数（包括:有限小数和无限环 循小数）都是有理数.有理数和无理数统称为实数.2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上的点一 一对应.03. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作I a I,正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数.a的相反数是-a, 0的相反数是0.5. 有效数字：一个近似数，从左边笫一

3、个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有 的数字，都叫做这个近似数的有效数字6. 科学记数法：如:407000=4.07 105,0.000043=4.3 10T57. 大小比较：正数大于0,负数小于0,两个负数，绝对值大的反而小8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幕.9. 平方根：一般地，如果一个数 x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）.一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0只 有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.10. 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.11. 算术平方根：一般地，如果一个正数 x的平方等于

4、a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0.12. 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即 x3=a，那么这个数x就叫做 a的立方根（也叫做三次方根），正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的 立方根是0.13. 开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方.14. 有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两 数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0相加，仍得这个数.15. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.16. 有理数乘法法则： 17. 有

5、理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除;0除以任何非0的数都得0;除以一个数等于乘以这个数的倒 数.18. 有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号， 先算括号里面的.19. 有理数的运算律：加法交换律：abb a （a, b,为任意有理数）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）（a, b,c为任意有理数） 乘法法则：（1）交换律（2）（3） 、【基础自测】121十芦一2 .如果 盈利10%”记为+10%，那么 亏损6%'记为（）A、- 16%B、- 6%C、+6%D、+4%3.如图，是一个数值转换机若输入数为3，则输出数是 输入数

6、()2-1()2+1减去5输出数4.定义一种运算 ，其规则为a b= = + -a b，根据这个规则，计算2 3的值是（）51A.-B. C.5D.6655.已知数轴上A、B两点坐标分别为-3、-6，若在数轴上找一点C，使得A与C的距离为4；再找一点D，使得B与D的距离为1,则下列何者不可能为C与D的距离（）A、0B、2C、4D、6五、【题型详解】例1. （2013?南京）3的相反数是 ；3的倒数是1答案：3；13解析：负数的相反数为正数，绝对值相等，一个数的倒数是将原数分子与分母对换位置变式：(2013?常州)计算-(-3) =_, |- 3|=, (- 3)1=, (- 3) 2=.考点：

7、有理数的乘方；相反数；绝对值；有理数的减法.分析：根据相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幕，有理数的乘方的意义 分别进行计算即可得解.解答：解：-(-3) =3,|-3|=3,- 1 1(-3) 1= - - ,( - 3) 2=9 故答案为：3; 3; - - ; 9.33点评：本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幕，以及有理数的 乘方的意义，是基础题.例 2. (2013?曲 靖)若 a=1.9 >105，b=9.1 XI04,则 ab (填 Z”或考点：有理数大小比较；科学记数法一表示较大的数.分析：还原成原数，再比较即可.解答：解：a=1.9X105=190000

8、, b=9.1 X104=91000，190000> 91000，°a> b，故答案为：.点评：本题考查了有理数的大小比较和科学记数法的应用，注意：科学记数法化成aX10n的形式，其中1<a< 10，n是整数.变式：(2013?泰州)2013年第一季度，泰州市共完成工业投资 22300000000元，22300000000这个数可用科学记数法表示为 .考点：科学记数法一表示较大的数.分析：科学记数法的表示形式为aX10n的形式，其中1 <|a< 10, n为整数.确定 n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移 动的位数

9、相同.当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负解答：解：22 300 000 OOO=2.23X1O10.故答案为：2.23X1010.点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axi0n的形式,其中1<|a|< 10, n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n的值.例3. （2013?淮安）如图，数轴上 A、B两点表示的数分别为2和5.1,则A、B两点之间表示整数的点共有（）1 J51A . 6 个 B . 5个 C . 4个 D . 3个 考点：实数与数轴；估算无理数的大小.分析：根据 2比1大比2 小, 5.1比5大比6 小,即可得

10、出A、B两点之间表示 整数的点的个数.解答：解：T1<2 <2, 5<5.1<6,A、B两点之间表示整数的点有 2, 3, 4, 5,共有4个；故选C.点评：本题主要考查了无理数的估算和数轴， 根据数轴的特点，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多 复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想.AB匚1bC如果|a|> |b|> |c|,那么该数轴的原点 O的位置应该在（）A .点A的左边C.点B与点C之间变式：（2013?荷泽）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是 a、b、c,其中A

11、B=BC ,B.点A与点B之间D.点B与点C之间或点C的右边考点：数轴.分析：根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解.解答：解:v|a|>|b|> |c|,点A到原点的距离最大，点B其次，点C最小，又VAB=BC，原点0的位置是在点C的右边，或者在点B与点C之间，且靠 近点C的地方.故选D .点评：本题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键.例4.（2013?苏州）计算：（1）3 （. 3 1）0 . 9解答:解：（1）3（31）0.9=-1+1+3=3.考点:实数的运算；零指数幕.分析:按照实数的运

12、算法则依次计算，注意：(-1) 3= 1, ( 3+1) 0=1,9=3.点评:此题主要考查了实数运算，本题需注意的知识点是：负数的立方是负数，任何不等于0的数的0次幕是1.变式：(2013?菏泽)计算：2 1 3tan30° (. 2 1)0 、12 cos600解答：解：（1）原式=1 3 12 31232=2+.:;考点：实数的运算；零指数幕；负整数指数幕；特殊角的三角函数值.分析：求出每部分的值，再代入求出即可；点评：本题考查了二次根式的性质，零整数指数幕，负整数指数幕，特殊角的三角函数值.六、【课后练习】基础巩固1. （ 2013?盐城）如果收入 50元，记作+50元，那么

13、支出30元记作（）A. +30B. - 30 C. +80D. - 80解：收入50元，记作+50元，支出30元记作30元.故选B.本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量.2. （ 2013?苏州）2|等于（）11A. 2 B. - 2C . -D .-22解：根据绝对值的性质可知：|-2|=2 .故选A .此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实 际运算当中.绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值A、J v 0，正确，故本选项正确;C、ab v 0，故本选项错误；B、a - b v 0，故本

14、选项错误;D、a十b v 0，故本选项错误.是它的相反数；0的绝对值是0.3. （ 2013?曲靖）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（.? . 11 2Q40a小A . - v 0B .a- b>0C . ab>0D. a曲0b解：由图可知，-2 v a v- 1，0 v b v 1,故选A .本题考查了实数与数轴，有理数的乘除运算以及有理数的减法运算，判断出 a、 b的取值范围是解题的关键.根据数轴判断出 a、b的取值范围，再根据有理数的乘除法，减法运算对各选项分析判断后利用排除法求解.4. （ 2013?南通）某市2013年参加中考的考生人数约为85000人，

15、将85000用科学记数法表示为（）A. 8.5 杓4B . 8.5 X05C. 0.85 杓4D. 0.85 K05解：85 000=8.5 X104.故选A.此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a与n值是关键.科学记 数法的表示形式为a Xl0n的形式，其中1 <|a| v 10 , n为整数.确定n的值是 易错点，由于85000有5位，所以可以确定n=5 -仁4 .5. （ 2013?淮安）在-1，0.- 2，1四个数中，最小的数是（）A . - 1B. 0C. - 2D. 1解：在-1，0. - 2，1四个数中，最小的数是-2;故选C.本题考查了有理数的大小比较，其方法

16、如下：（1）负数v 0v正数；（2）两个负 数，绝对值大的反而小.6. （ 2013?常州）在下列实数中，无理数是（）1A. 2 B. 3.14 C.-D. 32解：A、2是有理数，故本选项错误；B、3.14是有理数，故本选项错误；C、- 1是有理数，故本选项错误；D、3是无理数，故本选项正确.2故选D .主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：n, 2n等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数.7. （ 2013?泰州）9的平方根是解：七的平方是9，'9的平方根是土 3.此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反

17、数，正值为算术平方根.& （ 2013?鄂州）若 |p+3|=0，贝U p= - 3.解：Tlp+BFO,'p+3=0,解得p= - 3.故答案为：-3.本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它 的相反数；0的绝对值是0.19. （ 2013?镇江）计算：（-2） X=.21解：（-2 ）X = - 1；故答案为：-1 .2此题主要考查了有理数的乘法，关键是熟练掌握有理数的乘法法则，注意符号的判断.根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相 乘，即可得出答案.10. （2013?六盘水）H7N9禽流感病毒的直径大约为 0.00

18、00000805米，用科学记数法表示为 米（保留两位有效数字）解：0.000 0000 805=8.05 X10 -8p.1 X10-8，故答案为：8.1 X10 -8.此题主要考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的 确定方法.11. （2013?台湾）判断-15 X< 40之值会介于下列哪两个整数之间？（）A. 22、 23 B. 23、 24 C. 24、 25 D. 25、 26考点：估算无理数的大小.分析：先算出15与.40的积，再根据所得的值估算出在哪两个整数之间，即可得出答案.解答：解：T "5 X、. 40 = 600，又 T24 V ,

19、600 V 25 ,、15 X , 40 之值会介于 24 与 25 之间，故选C.点评：本题考查了估算无理数大小，掌握600的大约值是解题的关键，是一道基础题.12. (2011?长沙)已知 a= .9 , b= 20110, c=- (-2)，求 a b+ c 的值.考点：实数的运算分析：因为 a = 9 = 3，b = 20111，c = ( 2) = 2，所以原式=3 1+ 2= 4.解答：当 a = .9 = 3，b = 2011 0 = 1，c = ( 2) = 2 时，原式=3 1 + 2=4.点评：对于实数的简单运算题，应熟练地掌握二次根式的化简、绝对值的定义、 负整数指数幕及

20、零指数幕的意义、 特殊角的三角函数值等知识，因是这类试题是 中考的高频考题，也大都是送分题，在中考试卷中属于低档题即容易题.13. 计算 ( 2013?连云港)计算:(1)1 0 2 1)02 ( 3) 解：(丄)1(；2 1)0 2 ( 3)5=5+1 - 6， =0 .此题主要考查了实数运算，本题需注意的知识点是：负整数指数幕时,定要根据负整数指数幕的意义计算，任何不等于0的数的0次幕是1 .笑(2013?南通)计算：J6 J2 (5.3)03 解：76 占(5.3)0 | 3主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题 目的关键是熟练掌握零指数幕、绝对值、二次根

21、式等考点的运算。13（ 2013?宿迁）计算：（ .2 1）0 （）1 2COS6001 解：原式=1 - 2+2 X -2=1 - 2+1=0 .本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是掌握零指数幕、负整数指数幕、特殊角的三角函数值等考点的 运算.©能力提升14. （2013?咸宁）在数轴上，点 A （表示整数a）在原点的左侧，点 B （表示整数b）在原点的右侧.若|a- b|=2013，且AO=2BO，贝U a+b的值为.解：如图，av 0 V b .a - b|=2013，且 AO=2BO，b - a=2013，a= - 2b，由，解得b=

22、671 ，'a+b= - 2b+b= - b= - 671 .故答案是：-671 .0b0B4本题考查了数轴、绝对值以及两点间的距离.根据已知条件得到av0vb是解题的关键.15. （2013?潍坊）对于实数x，我们规定x表示不大于x的最大整数，例如1.2 1 , 3 3 ,x 42.53，若5，则x的取值可以是（）.10A.40B.45C.51D.56答案：C.考点:新定义问题.考查点评:本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力16. （2013?南京）计算：11111（1 ）（23是<1111 1111123456)

23、(1 23456 )(）的结果o1答案：161111，则原式=（1 x） （x+）3 4 5617. （2013?绵阳）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31 ），现用等式数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7= （2，3），则A2013=A . （45，77） B . （45，39） C . （ 32，46） D . （32，23）解析：设1(1 x-)6 6(1)，(3，5, 7)，( 9，Am= (i，j)表示正奇( )解析第1组的第一个数为1,第2组的第一个数为3,第3组的第一个数为9，第4组的第一个数为19，第5组的第一个数为33将每组的第一个数组成数列：1， 3， 9， 19， 33分别计作 a1,a2,a3,a4,a5 an， an 表示第 n 组13/ /9/、1933 ,/扌目邻数取差得2/6八Z10Z14相邻数再取羌得、/44Y的第一个数,a1 =1a2 = a