谈谈用配方法解方程

1、I一论文发表专家一)中国学木期刊网wwwrqikanwang,net谈谈用配方法解方程我们知道，用配方法来解一元二次方程ax2+bx+c=0可以先通过配方，把方程左边的二次三项式分解成两个一次因式，然后把二次方程变形为两个一次方程，从而求得原方程的解.例1解方程：4x2+16x+9=0.解：通过配方把方程的左边分解因式，得(2x+4+7)(2X+4-7)=0.这个二次方程可以变形成为两个一次方程：2x+4+7=0,2x+4-7=0.解这个方程得x1=-2-72，x2=-2+72.这种解法的基本思想是，通过用配方法把方程左边的多项式分解因式，从而把方程f(x)=0的问题转化为求解次数较低的方程问

2、题.据此可知，某些特殊的高次方程也可以用这种方法来解.例2解方程x4-15x2+10x+24=0.分析：把方程左边的-15x2项拆成10x2-25x2两项，就可以使它成为两个完全平方式.解：将x4-15x+10x+24=0变形为(x4+10x2+25)-(25x2-10x+1)=0，即(X2+5)2-(5x-1)2=0,所以(x2+5-5x+1)(x2+5+5x-1)=0，I一论文发表专家一）中国学木期刊网wwwrqikanwang,net所以x2+5x+4=0或x2-5x+6=0.由x2+5x+4=0,得x=-1,x=-4.由x2-5x+6=0，得x=2,x=3.所以原方程的四个根是：x1=

3、-1,x2=-4,x3=2,x4=3.例3解方程x4-2x3-24x2+80x-64=0.分析：把方程左边的-24x2项拆成x2-25x2两项，就可以使它构成完全平方差形成.解：x4-2x3-24x2+80x-64=0，（x4-2x3+x2）-（25x2-80x+64）=0，（x2-x）2-（5x-8）2=0,即（x2+4x-8）（x2-6x+8）=0，所以x2+4x-8=0，x2-6x+8=0.解这两个二次方程，得到原方程的四个根是：x1=-2+23，x2=-2-23，x3=2，x4=4.由例2和例3可以看到，有些四次方程的求解，可以通过把原方程的左边配成两个完全平方的差，使问题转化为解两个

4、二次方程，从而得到解，那么对于一般的四次方程能不能也用这样的方法来求出它的解呢？例4解方程x4+8x3+12x2-11x+2=0.分析：如果像例3那样，把方程的左边的12x2项，拆成16x2和I一论文发表专家一)中国学木期刊网wwwrqikanwang,net-4x2两项，那么x4+8x3加上16x2后是一个完全平方式，但-11x+2加上-4x2后却不是一个完全平方式，这就需要再进行配方.解：x4+8x3+12x2-11x+2=0.变形为x4+8x3+16x2+4x2-11x+2=0即(x2+4x)2-(4x2+11x-2)=0.因为4x2-11x-2不是完全平方式，所以需要把方程的左边再配方

5、.这里，可以把(x2+4x)2看做“a2”，加上“2ab+b2后配成一个新的完全平方式，就是：(x2+4x)2+2(x2+4x)-t2+(t2)2-(4x2+11x-2)-2(x2+4x)t2-(t2)2=0.(x2+4x+t2)2-(t+4)x2+(4t+11)x+t24-2=0.(1)要使(t+4)x2+(4t+11)x+t24-2是一个完全平方式，就必须使它的判别式=0,也就是t必须满足方程：(4t+11)2-4(t+4)(t24-2)=0.就是t3-12t2-96t-153=0.解这个三次方程，得其中一个根为t=-3.代入方程(1)得(x2+4x-32)2-(X2-X+14)=0.即(x2+4x-32)2-(x-12)2=0.(x2+5x-2)(x2+3x-1)=0,所以(x2+5x-2)=0或x2+3x-1=0.一论文发表专家一中国学木期刊网解这两个二次方程，得到原方程的四个根是:x1=-5+332,x2=-5-332,x3=-3