微积分09 空间直角坐标系与向量的概念ppt课件

1、第一节第一节 空间直角坐标系与向量的概念空间直角坐标系与向量的概念一、空间直角坐标系二、向量的概念及其线性运算三、向量的坐标表示1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标面:在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为坐标平面,简称坐标面.xOy面面zOx面yOz一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 在空间直角坐标系中,点与三元数组之间有一一对应关系.),(zyxM各卦限中点的坐标情况:,V,V,V,V,V,2.2.两点间的距离两点间的距离),(),(22221111zyxMzyxM22221212dM MMMQQ22212M PPMQQ222222M PPMM Q212212212)()()(

2、zzyyxx212212212)()()(zzyyxxd例例1 1 已知两点已知两点 与与 , ,在在 轴上求一轴上求一点点 , , 使使5 , 2 , 3A6 , 3, 1BxM.BMAM MxM解解 因为因为 在在 轴上轴上,所以设所以设 点的坐标为点的坐标为 .0 , 0 , x386502032222xxxAM462603012222xxxBMBMAM 由题设 ,得46238622xxxx解得1xM所求点 为0 , 0 , 11.1.向量的概念向量的概念向量的模:向量的大小(有向线段的长度), 记作 , ,aaAB 单位向量:模为1的向量零向量:模为0的向量,记为0 或0向量的表示:

3、或 或cba,cba,AB二、向量的概念及其线性运算二、向量的概念及其线性运算2.2.向量的线性运算向量的线性运算(1)向量的加法baa+baba+bdabca+b+c+d向量的加法满足下列运算规律:（1） abba（2）)()(cbacba（3）aa0（4）0)( aa(2)数与向量的乘积(数乘向量)定义定义2 2 设设 是一个非零向量是一个非零向量, , 是一个非零实数是一个非零实数, ,那么那么 与与 的乘积仍是一个向量的乘积仍是一个向量, ,记作记作 , ,且且aaaaa .,0;,0反向与时当同向与时当的方向aaa数与向量的乘积满足下列运算规律:（1） aaa)()()(（2） ba

4、ba )(（3） aaa)(（4） aa 11.1.向径及其坐标表示向径及其坐标表示 向径:在空间直角坐标系中,起点在原点 ,终点为 的向量 称为点 的向径.记为 或OPOPPOPr基本单位向量:kji,QPOQOPrzkyjxiOCOBOA称上式为向量 的坐标表达式,记作zyxr,r三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示 zyxaaazzyyxxMMa,121212212.2.向量向量 的坐标表示式的坐标表示式21MM1221OMOMMM kzjyixkzjyix111222kzzjyyixx1212123.3.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式222coszyxxx

5、aaaaaa 222coszyxyyaaaaaa 222coszyxzzaaaaaa 1coscoscos222 cos,cos,cos,aaaaaaaaazyx4.4.向量线性运算的坐标表示向量线性运算的坐标表示zyxzyxaaakajaiaa,zyxzyxbbbkbjbibb,)()(kbjbibkajaiabazyxzyxkbajbaibazzyyxx)()()(zzyyxxbababa,)(kajaiaazyxkajaiazyx)()()(,zyxaaa例例2 2 设设 , ,求求 的方向余弦的方向余弦. .2 , 1, 1aa解解 6211222a62cos,61cos,61cos例

6、例3 3 设向量设向量 的两个方向余弦为的两个方向余弦为 , ,又又 , ,求向量求向量 的坐标的坐标. .,31cos32cosaa6a解解 由由 得得1coscoscos22222coscos1cos323231122所以2316cosaax4326cosaay4326cosaaz4 , 4 , 2a即4, 4 , 2a或第二节第二节 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积 一、向量的数量积 二、向量的向量积一、向量的数量积一、向量的数量积1.1.数量积的概念数量积的概念 定义1 两向量 的模及其夹角余弦的乘积，称为向量的数量积,记为 ,即),cos(babababa,ba说明:(1)向

7、量的数量积是一个数量而不是向量；(3),cos(aaaaaa2a1kkjjii(2)两非零向量 夹角的余弦bababa),cos(ba,0baba0ikkjji(4)设 为两个非零向量,由定义1,有 ba,数量积满足如下运算规律： (1)交换律： abba(2)结合律： )()()(bababa(其中 为常数) (3)分配律： cabacba)(另外,由(2)(3)可得cbcacba2.2.数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式 ,xyzxyza aaa ia ja ka,xyzxyzb b bb ib jb kb() ()xyzxyzaaabbba bijkijkjjbaijbakibajib

8、aiibayyxyzxyxxx yzzxzyzza b j ka b k ia b k ja b k kzzyyxxbababa. .两非零向量夹角余弦的坐标表示式两非零向量夹角余弦的坐标表示式 kajaiaazyxkbjbibbzyx 设 均为非零向量,由两向量的数量积定义可知bababa),cos(222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa解解 ba11, 0, 10, 1, 1bababa)cos(211010111222222例例1 1 知知 求求),cos(,baba,kibjia例例2 2 设力设力 作用在一质点上作用在一质点上, ,质点质点由由 沿直线移动到沿直

9、线移动到 . .求求:(1):(1)力力 所所作的功作的功; ; (2) (2)力力 与位移与位移 的夹角的夹角( (力的单位为力的单位为 , ,位位移的单位为移的单位为 ).).ABkjiF4321, 2 , 1A2 , 1 , 3BFFNm解解 因为因为 3 , 1, 2 AB4 , 3, 2 F又因为 ABFABFABF),cos(2222223) 1(24)3(2199492. 0所以 7219),(ABF所以,力 所作的功 2 2( 3) ( 1)4 319WAB F(J)F222014370zxyzxyz例例3 3 求在求在 坐标面上与向量坐标面上与向量垂直的单位向量垂直的单位向量

10、 xOykjia734解解 设所求向量为设所求向量为 , ,因为它在因为它在 坐标面坐标面上上, ,所以所以 , ,又因为又因为 是单位向量且与是单位向量且与 垂直垂直, ,所以所以 zyxb,xOy0zba, 0, 1bab即解之得 53x54y0z故所求向量 jib5453或 jib5453二、向量的向量积二、向量的向量积1.1.向量积的概念向量积的概念 nbaba),sin( 定义2 两向量 的向量积定义为 ba,ba记作 ;其中 是同时垂直于 和 的单位向量,其方向按从 到 的右手规则确定.aabb0n说明:(1)两向量的向量积是一个向量而不是数;(4),kji, ikjjik,kij

11、, ijkjki(2)ba 的模等于以 为邻边的平行四边形的面积 ba,(3)设 为两个非零向量,那么abOba0kkjjiiba,向量积满足下列运算规律: (1) 反交换律： abba(2) 结合律: )()()(bababa(其中 为常数) (3) 分配律: cabacba)(cbcacba )(2.2.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式 kajaiaaaaazyxzyx,kbjbibbbbbzyxzyx,)()(kbjbibkajaiabazyxzyxjjbaijbakibajibaiibayyxyzxyxxx yzzxzyzza b jka b kia b kja b kkkbaba

12、jbabaibabaxyyxxzzxyzzy)()()(zyxzyxbbbaaakjibaazzyyxxbabababab0对于两个非零向量ba,解 321201kjibakji210131213220kji254例4 设 求 ba,3 , 2 , 1,2, 0 , 1ba例例5 5 求垂直于求垂直于 和和 的单位向的单位向量量. . 2, 1, 1 a2, 2, 2 bjikjiba2222221122ba0, 1, 1220, 2, 2221)(ba解解 因为因为 同时垂直同时垂直 和和 , ,所以所以 baab),sin(21ABACACABSABCkjikji2642142122221

13、=22214( 6)22 =14例例6 6 已知三角形已知三角形 的顶点是的顶点是 求三角形的面积求三角形的面积. .ABC,5 , 4 , 3,3 , 2 , 1BA,7 , 4 , 2C解 根据向量积的定义,可知三角形 的面积 ABC第三节第三节 平面与直线平面与直线一、平面的方程 二、直线的方程三、平面、直线的位置关系 1平面的点法式方程 法向量 CBAn,0000,zyxM000nMMnMM0000,zzyyxxMM因为 CBAn,所以有 0000zzCyyBxxA该方程称为平面 的点法式方程 一、平面的方程一、平面的方程解解 由平面方程的点法式得所求平面方程为由平面方程的点法式得所求

14、平面方程为例例1 1 求过点求过点 且垂直于向量且垂直于向量 的平面方程的平面方程)3, 0 , 2(1, 3 , 5n0)3()0(3)2(5zyx即01335zyx且和平面 例例2 2 求过点求过点 1, 3, 2,1, 2, 121MM01zyx垂直的平面方程 解解 因为因为 在该平面上在该平面上, ,已知平面的已知平面的法向量法向量2, 1, 121MM1, 1, 11n故 kjikjinMMn23111211121所求平面的法向量 与向量 和 都垂直21MM1nn即 0723zyx由公式得该平面的方程为 012213zyx例例3 3 求过点求过点 和和 三点三点的平面方程的平面方程

15、2, 5, 1,1, 1, 121MM1, 2, 23M0, 3, 1,1, 4, 23121MMMM故 2, 1, 30311423121kjiMMMMn解解 所求平面的法向量所求平面的法向量 与向量与向量 和和 都都垂直，而垂直，而 21MM31MMn由公式 得该平面方程为 012113zyx即 0623zyx从平面的点法式方程得0)(000CzByAxCzByAx000CzByAxD令该方程称为平面的一般式方程.那么0DCzByAx 2 2平面的一般式方程平面的一般式方程 得得0)()()(000zzCyyBxxA它表示过点 且以 为法向量的平面),(000zyx,CBAn 可见，任一三

16、元一次方程（ 不全为零都表示一个平面.系数 为平面法向量的坐标CBA,CBA,设 是其任一组解，即),(000zyx0000DCzByAx 平面通过原点(图9.16) 图9.16(2)当 时， 0A0ByCzD图9.170DCzByAx 方程 的特殊情况:(1)当 时， 0D0CzByAx该平面平行于 轴图9.17） x0ByCz图9.18 (3)当 时, 0 DA表示的平面通过 轴(图9.18) x同理,方程 0, 0DByAxDCzAx分别表示平行于 轴和 轴的平面; yz0, 0ByAxCzAx分别表示通过 轴和 轴的平面. yz(4)当 时，0 BA0 DCz图9.19 0DBA当 时

17、,该平面平行于 坐标面(图9.19) xOy它表示 坐标面 xOy 同理，方程 和 分别表示平行 面和 面的平面;方程 和 分别表示 面和 面.0 DAx0 DByyOzzOx0 x0yyOzzOx, 0z方程为 代入原方程并化简,得所求平面方程为0ByCz例例4 4 求通过求通过 轴和点轴和点 的平面方程的平面方程. .x) 1, 3, 4(解解 因平面通过因平面通过 轴轴, ,由以上讨论由以上讨论, ,可设其方程为可设其方程为 x03 zy又点 在平面上,因而 ) 1, 3, 4(03CB,3BC即解解 设所求平面方程为设所求平面方程为0DCzByAx0330220DCBADCBADCBA

18、例例5 5 一平面经过一平面经过 三点，三点，求此平面的方程求此平面的方程. .) 1 , 3 , 3(),2 , 1 , 2(),1 , 1 , 1 (RQP又因 三点都在平面上,所以有 RQP,后两个方程分别减去第一个方程,得02403BACA所以 ,2,3ABAC代入第一个方程得032DAAA即AD6因为 不能同时为零,所以 ,于是有CBA,0A0632AAzAyAx即得所求平面方程为0632zyx3 3平面的截距式方程平面的截距式方程 解此方程组得 设一平面过三点 (图9.20),求此平面方程), 0 , 0(),0 , 0(),0 , 0 ,(cRbQaP图9.20 设平面方程为 ，

19、0DCzByAxcDCbDBaDA,000DCcDBbDAaRQP,因为 三点在该平面上,所以有0DzcDybDxaD 即得所求平面方程为 1czbyax 此方程称为平面的截距式方程,其中 分别称为平面在 轴、 轴、 轴上的截距. cba,xyz代入所设方程(因平面不过原点,)得0D解解方程两边同除以5,得平面的截距式方程为154535zyx其中 5,45,35cba例例6 6 将平面将平面 化为截距式方程化为截距式方程 0543zyx0543zyx得 543zyx由1直线的点向式方程与参数方程 方向向量:pnms,向向量为,它的一个方 已知直线L上任意一点0000,zyxMpnms,求直线L

20、的方程图9.21）图9.21二、直线的方程二、直线的方程所以由两向量平行的充要条件可知 pzznyymxx000此方程组称为直线的点向式方程或称标准方程） 设点 为直线L上任意一点则点 在直线 上的充要条件是 0MMM0),(zyxMLs0000,zzyyxxMMpnms,因为注：当注：当 中有一个或两个为零时，就理解为中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子也为零相应的分子也为零 pnm,记其比值为t,则有ptzzntyymtxx000此式称为直线L的参数方程，t为参数 例例7 7 求过点求过点22221111,zyxMzyxM的直线方程方向向量 12121221,zzyyxxMMs故所求直

21、线的方程为 121121121zzzzyyyyxxxx上式也称为直线的两点式方程 解解解解 因所求直线平行于两平面因所求直线平行于两平面. .故直线的方向向量故直线的方向向量s s垂直于两平面的法向量垂直于两平面的法向量 及及 5 , 1, 31n3, 2 , 12n例例8 8 求过点求过点 且平行于两平面且平行于两平面 及及 的直线方程的直线方程. .)2 , 3, 1 ( 0253zyx0432zyxkjikjinns714732151321所以取因而,所求直线方程为 7214371zyx即 122211zyx2 2直线的一般方程直线的一般方程 设平面 的方程分别为： 21, 则两个平面

22、的交线L的方程为 21,0022221111DzCyBxADzCyBxA此方程称直线的一般方程01111DzCyBxA102222DzCyBxA2例例10 10 将直线方程将直线方程 043201zyxzyx化为点向式方程及参数方程 解解 先求直线上的一点先求直线上的一点 0000,zyxM不妨令 ,代入原方程组得 1x632zyzy解得 2, 0zy，即点 在直线上2, 0 , 1再求该直线的一个方向向量 ss,因为 分别垂直于01zyx平面及0432zyx的法向量 1 , 1 , 11n,3 , 1, 2,2n所以可取 kjikjinns3431211121所以直线的点向式方程为 3214

23、1zyx令上式为 ,可得已知直线的参数方程为 ttztytx32411 1平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 两平面的夹角:两平面法向量的夹角(通常取锐角). 01111DzCyBxA102222DzCyBxA2法向量 1111,CBAn 2222,CBAn 三、平面、直线的位置关系三、平面、直线的位置关系因而 与 的夹角的余弦为： 122222222121212121212121cosCBACBACCBBAAnnnn特别地 121n2n212121CCBBAA02121212121CCBBAAnn例例11 11 求两平面求两平面 , 062zyx052zyx的夹角 两平面的法向量分别为

24、 1 , 1 , 2,2 , 1, 121nn所以两平面的夹角的余弦为 21112211121121cos222222所以两平面夹角 3解解 2 2直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 两直线的夹角:两直线方向向量的夹角(取锐角). 111111pzznyymxx1L222222pzznyymxx2L方向向量 1111,pnms 2222,pnms 因而 与 的夹角的余弦为 1L2L2222222121212121212121cospnmpnmppnnmmssss1L2L1s2s212121ppnnmm21LL 1s2s0212121ppnnmm例例12 12 求直线求直线 12411:1

25、zyxL和直线 1222:2zyxL的夹角 的方向向量分别为 21,LL1 , 4, 11s1, 2, 22s解解则两直线 与 的夹角的余弦为 1L2L 2221122141112421cos222222所以两直线的夹角 4 3 3直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线与平面的夹角:直线和它在平面上的投影直线的夹角 设直线 与平面 的垂直线的夹角为 ，与 的夹角为 ,那么 .求直线与平面夹角LL2设直线 的方向向量为 L,pnms ,平面的法向量为,CBAn 由两向量夹角的余弦公式,有 L0CpBnAmnssin(sin2)222222cosCBApnmCpBnAmnsns sLpCn

26、BmAnL例例13 13 已知直线已知直线 08205zxyx和平面 , 032:zyx 求 与 的夹角L的方向向量为 L解解 kjikjis21020111, 0 , 20 , 1 , 1 与 的垂线的夹角 的余弦为 L21112211121121cos222222nsns321arccos因而， 与 的夹角 L632第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、几种常见的二次曲面四、空间曲线 定义:如果曲面 上每一点的坐标都满足方程 而不在曲面 上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程 为曲面 的方程,而称曲面 为此方程的图形.S; 0,zyxFSS0,zyxF

27、S图9.23一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念图9.24例例1 1 建立球心在点建立球心在点 , ,半径为半径为 的球面方程的球面方程. .0000,zyxMR解解 设设 是球面上的任一点是球面上的任一点,那么那么zyxM,RMM02020200zzyyxxMM而2202020Rzzyyxx所以 这就是球心在点 ,半径为 的球面方程.0000,zyxMR 当 时,得球心在原点,半径为 的球面方程为 0000zyxR2222RzyxL C L 柱面:直线 沿定曲线 平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线 称为柱面的准线,动直线 称为柱面的母线.LCLC例例2 2 建立母线平行于建立母线平行于 轴

28、的柱面方程轴的柱面方程. .z图9.26解解 设准线设准线 是是 面上的一条曲线面上的一条曲线, 是柱面上的任意一点是柱面上的任意一点.过点过点 的母线与的母线与 面的交点面的交点 一定在准线一定在准线 上上,点点 的坐标为的坐标为 ,不不论点论点 的竖坐标的竖坐标 取何值取何值,它的横它的横坐标坐标 和纵坐标和纵坐标 都满足方程都满足方程 ,因此所求柱面方程为因此所求柱面方程为zyxM,0,:yxfCxOyxOyMNNC0 , yxMzxy0,yxf0,yxf 在空间直角坐标系中,方程 表示以 面上的曲线 为准线,母线平行于 轴的柱面. 0,yxfxOy00,:zyxfCz 类似地,方程 表

29、示以 面上的曲线 为准线,母线平行于 轴的柱面.0,zyhyOz00,:xzyhCxxOz0,zxg 00,:yzxgCy 方程 表示以 面上的曲线为准线,母线平行于 轴的柱面. 用 面和 面去截曲面,其截痕为 zOxyOz012222ycyax012222xczby它们都是双曲线. , 1222222czbyax1222222czbyax 也表示单叶双曲面,中心轴分别是 轴、 轴.yx 旋转曲面:平面曲线 绕同一平面上定直线 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.定直线 称为旋转轴.Cll图9.31二、旋转曲面二、旋转曲面例例3 3 建立建立 面上一条曲线面上一条曲线 绕绕 轴旋转轴旋转一周所形

30、成的旋转曲面的方程一周所形成的旋转曲面的方程. .yOz0,:zyfCz0,0zzPMPMzyxM,zP, 0 , 00000,zyxMMC因为22yxPM00yPM220yxy所以0M又因为 在曲线 上,所以0,00zyfC解解 设设 为旋转曲面上任一点为旋转曲面上任一点,过点过点 作平面垂作平面垂直于直于 轴轴,交交 轴于点轴于点 交曲线交曲线 于点于点 那么那么 所以旋转曲面方程为0,22zyxfzz 同理,曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为0,zyfy0,22zxyf 面上的曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 绕 轴旋转的旋转曲面方程为xOz0,zxfzx0,22zyxf; 0,22zyx

31、f 面上的曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 绕 轴旋转的旋转曲面方程为0,yxfxOyyx0,22yzxf; 0,22zyxf例例4 4 将将 坐标面上的直线坐标面上的直线 绕绕 轴旋转轴旋转一周一周, ,试求所得旋转曲面方程试求所得旋转曲面方程. .yOz)0(aayzz解解 将将 保持不变保持不变, 换成换成 得得zy22yx 22yxaz2222yxaz即所求旋转曲面方程为图9.32 由上时表示的曲面称为圆锥面.点 称为圆锥的顶点.O 二次曲面:在空间直角坐标系中,假设 是二次方程,则它的图形称为二次曲面.0,zyxF 截痕法:用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求得一系列的交线,对这些

32、交线进行分析从而把握曲面的轮廓特征,这种方法称为截痕法. 三、几种常见的曲面1.1.椭球面椭球面 1222222czbyax0, 0, 0cba用三个坐标面分别去截椭球面,交线为:012222zbyax012222yczax012222xczby图9.33这些交线都是椭圆. 用平行于 面的平面 截椭球面,交线为xOychhz2222221xyhabczh hz 是平面 上的椭圆. 用平行其它两个坐标面的平面去截椭球面,分析的结果类似. 2.2.单叶双曲面单叶双曲面 1222222czbyax用三个坐标面截曲面,所得截线分别为 012222zbyax012222xczby012222yczax图

33、9.343.3.双叶双曲面双叶双曲面 1222222czbyax图9.35用 和 面截曲面,所得截线分别为 yOzzOx012222xczby012222yczax它们都是以 轴为实轴,虚轴分别为 轴和 轴的双曲线. zyx 用平行于 面的平面 截曲面,得 xOyhz 1222222chbyax当 时,其截痕是一椭圆; ch 当 时,其截痕缩为一点 和 ; ch c, 0 , 0c, 0 , 0当 时,没有图形. ch 也表示双叶双曲面.1222222czbyax1222222czbyax4.4.椭圆抛物面椭圆抛物面 2222byaxz图9.36 用 和 面截曲面,所得截线分别为yOzzOx022xbyz022yaxz它们都是开口向上的抛物线. 用平面 截曲面,得 hz hzhbyax2222当 时,没有图形; 0h当 时,相交于一点 ; 0h0 , 0 , 0当 时,所得截线为 0hhzhbyhax122225.5.双曲抛物面双曲抛物面 2222byaxz 用三个坐标面截曲面,所得截线分别为 002222zbyax022yaxz022xbyz它们分别表示两条相交直线、开口向上的抛物线和开口向下的抛物线. 图9.37xOy0h