正方形的性质

1、2021/3/9118.2.3 正方形第十八章 平行四边形第1课时 正方形的性质2021/3/92学习目标1.理解正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质.2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（重点、难点）2021/3/93导入新课导入新课图片引入观察这些图片，你有什么发现？这些四边形有什么共同特征？各边相等，四个角都是直角2021/3/94讲授新课讲授新课正方形的性质合作探究 矩 形正方形问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?2021/3/95问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形2021/3/96矩 形正方形邻边相等 发现：一组邻边相等的矩形是正方形 菱 形一个角是直角正方

2、形 发现：一个角为直角的菱形是正方形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.探究小结2021/3/97矩形菱形正方形平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系2021/3/98ABCD填一填：角： 边：对角线： 对称性： 四个角都是直角.四条边相等.对角线相等且互相垂直平分.aaaa轴对称图形（4条对称轴）.2021/3/99正 方 形 的 性 质边角对角线对称性图形语言 文字语言 符号语言ACDBACDBACDBO对边平行， 四条边都相等 四个角 都是直角对角线

3、互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角四边形ABCD 是正方形ABCD, ADBC, AB=BC=CD=AD四边形ABCD是正方形A=B=C=D=90四边形ABCD是正方形ACBD,AC=BD,OA=OC,OB=OD轴对称图形 中心对称图形2021/3/910 例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的 等腰直角三角形.ADCBO已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角 线AC、BD相交于点O. 求证: ABO、 BCO、 CDO、 DAO 是全等的等腰直角三角形. 分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可

4、以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.典例精析2021/3/911ADCBO证明: 四边形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都 是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO2021/3/912 如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,那么BE与DE相等吗?为什么?解: BE = DE.理由如下： 连接BD， 四边形ABCD是正方形， AC垂直平分BD 又点E在AC上 BE =DEABCDE还可以用其他方法说明，试试看.做一做2021/3/913 D A B C E例2 已知：如图，在正方形ABCD

5、中， BEC是等边三角形，求证： EADEDA15 .证明：EBC= ECB= CEB=60ABE，DCE是等腰三角形， ABE= DCE=30 BAE= BEA= CDE= CED=75 EAD= EDA=90-75=152021/3/914如图,点E是正方形ABCD边BC上延长线上一点，且CE=AC，若AE交CD于点F，求E和AFC的度数.ABCDEF解：E =22.5，AFC=112.5.做一做2021/3/915例3 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BEDF.理由如下：（1）四边形

6、ABCD是正方形.BC=DC,BCE =90 .（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）DCF=180-BCE=180-90=90.ABDCFE2021/3/916BCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.(2)延长BE交DE于点M,BCEDCF ,CBE =CDF.DCF =90 ,CDF +F =90.CBE+F=90 , BMF=90.BEDF.ABDFECM2021/3/9171在正方形ABCD中,ADB= ,DAC= , BOC= .2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是 .ADBCOADBCOE459022.5第1题第2题45当堂

7、练习当堂练习2021/3/9183.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取定了一点E，测量知，EC= 30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？解：根据勾股定理： BC2= EC2- EB2 = 302 102 = 800 BC= 这块场地的面积= 对角线AC =301080020 2(m)22(20 2)800(cm )2220 2 +20 240(m)（） （）2021/3/919DAEBC解：ABE是等边三角形. AB =AE=BE, ABE=BEA=EAB =60. 又四边形ABCD是正方形. AD=BC=AE=BE, DAB=ABC=90. DAE=C

8、BE=150. AED=EDA=CEB=BCE=15. DEC=AEB-AED-CEB=30.4.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边ABE,连结DE 、 CE ,求DEC的度数. 2021/3/920 D C B A E G F5.已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE.试说明：DGBE.证明：根据正方形的性质可得AD=AB，AG=EF又由旋转可得DAG=BAE DAG BAE（SAS)DG=BE2021/3/9216.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的值.ABCDEPFO解：连接PO四边形ABCD是正方形，ACBD，AO=BO= AC.SAPO+SBPO=SABO AOPE+ BOPF = AOBOPE+PF= AO= AC=5.1212