20XX年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷试题(解析版)

1、2019年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1a（a0）的相反数是（）AaBaCD|a|2将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转120°后可得到的图形是（）ABCD3北京气象部门测得冬季某周内七天的气温如下：3，5，5，4，6，5，7（单位：），则这组数据的平均数和众数分别是（）A6，5B5.5，5C5，5D5，44下列运算正确的是（）A3a2a23Ba8÷a4a2C（a+3）2a2+9D（3a3）29a65如图，在ABC中，ACADDB，C70°，则CAB的度数

2、为（）A75°B70°C40°D35°6如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（）ABCD7下列命题是真命题的是（）A一元二次方程一定有两个实数根B对于反比例函数y，y随x的增大而减小C有一个角是直角的四边形是矩形D对角线互相平分的四边形是平行四边形8在同一直角坐标系中，若正比例函数yk1x的图象与反比例函数y的图象有公共点，则（）Ak1+k20Bk1+k20Ck1k20Dk1k209某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A3B3C3D610二次函数yx2+bx的对称轴为直线x2，若关于x的一元二次方程x2+bxt0（t为实数）

3、在1x4的范围内有解，则t的取值范围是（）A0t5B4t5C4t0Dt4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11如图，直线a，b被直线c所截，且ab若138°，则2 °12分解因式：4a2bb 13已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA4cm，则PB cm14一扇形面积是3，半径为3，则该扇形圆心角度数是 15如图，在4×4的正方形网格图中有ABC，则ABC的余弦值为 16如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切O于A，B两点，CD切O于点E，连接OD，OC，下列结论：DOC90°，AD+BCAB，S梯形ABCDCDOA，BO2SAODB

4、C2SBOC，其中正确的有 （填序号）三、解答题（本大题共9小题，共102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）计算：（1）+|1|+（）2（3）0；（2）4sin45°+2cos60tan30°18（8分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点求证：AMAN19（10分）已知A（）（1）化简A；（2）若x22x30，求A的值20（10分）为了解本校学生平均每天的课外学习时间情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学习时间为t（小时）：A：t1，B：1t1.5，C：1.5t2，D：t2，根据调查结果绘

5、制了如图所示的两副不完整的统计图请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了 名学生，请将条形统计图补充完整；（2）求表示B等级的扇形圆心角的度数；（3）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，请用列表或画树状图的方法求选出的2人中至少有1人来自甲班的概率21（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，4），反比例函数y（k0）的图象经过点C（1）求反比例函数的解析式；（2）点P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若PBC的面积等

6、于正方形ABCD的面积，求点P的坐标22（12分）某商店销售一种旅游纪念品，第一周的营业额为200元，第二周该商店对纪念品打8折销售，结果销售量增加3件，营业额增加了40%（1）求该商店第二周的营业额；（2）求第一周该种纪念品每件的销售价格23（12分）已知，如图，ABC中，C90°，E为BC边中点（1）尺规作图：以AC为直径，作O，交AB于点D（保留作图痕迹，不需写作法）（2）连结DE，求证：DE为O的切线；（3）若AC5，DE，求BD的长24（14分）如图1，图2，ABC中，BF，CE分别为AC，AB边上的中线，BFCE于点P（1）如图1，当BC6，PCB45°时，PE

7、 ，AB ；（2）如图2，猜想AB2、AC2、BC2三者之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，AD3AM，BC3BN，连接AN，BM，CM，AN与BM交于点G，若BMCM于点M，AB4，AD3，求AN的长25（14分）如图，已知抛物线ya（x2）2+c与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），连接AC，BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA，PB，PC，设点P的纵坐标为h，试探究：当h为何值时，|PAPC|的值最大？并求出这个最大值在P点的运动过程

8、中，APB能否与ACB相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由2019年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【分析】直接根据相反数的定义求解【解答】解：a的相反数为a故选：B【点评】本题考查了相反数：a的相反数为a，正确掌握相反数的定义是解题关键2【分析】根据旋转的性质以及旋转的方向得出对应顶点位置即可得出答案【解答】解：图形绕其中心按逆时针方向旋转120°，旋转后可得到图形是：阴影部分的长边转到下面水平方向，故选：B【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋

9、转方向和旋转角度得出对应点位置是解题关键3【分析】根据众数定义确定众数；应用加权平均数计算这组数据的平均数【解答】解：这组数据的平均数是（3+5+5+4+6+5+7）÷75（）；5出现了3次，出现的次数最多，这组数据的众数是5；故选：C【点评】此题考查了加权平均数和众数的定义，熟练掌握定义和公式是解题的关键4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案【解答】解：A、3a2a22a2，故此选项错误；B、a8÷a4a4，故此选项错误；C、（a+3）2a2+6a+9，故此选项错误；D、（3a3）29a6，正确故选：D【点评】此题主要

10、考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键5【分析】利用等腰三角形的性质解决问题即可【解答】解：ACADDB，CADC70°，BDAB，CAD180°70°70°40°，ADCB+DAB，DABB35°，CABCAD+DAB75°，故选：A【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6【分析】由数轴得出不等式组解集，据此可判断各选项是否符合此解集，从而得出答案【解答】解：由数轴知不等式组的解集为2x1，而

11、的解集为2x1，故选：B【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分7【分析】利用一元二次方程根与系数的关系、反比例函数的性质、矩形的判定及平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：A、一元二次方程也可能没有实数根，故错误，是假命题；B、对于反比例函数y，在每一个象限内y随x的增大而减小，故错误，是假命题；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，故选：D【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解一元二次方程根与系数的关系、反比例

12、函数的性质、矩形的判定及平行四边形的性质，难度不大8【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可【解答】解：正比例函数yk1x的图象与反比例函数y的图象有公共点，k1、k2同号，k1k20故选：D【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键9【分析】依据三视图中的数据，即可得到该三棱柱的底面积以及高，进而得出该几何体的体积【解答】解：由图可得，该三棱柱的底面积为×2×，高为3，该几何体的体积为×33，故选：C【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根

13、据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状10【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bxt0的解可以看成二次函数yx24x与直线yt的交点，1x4时4y5，进而求解；【解答】解：对称轴为直线x2，b4，yx24x，关于x的一元二次方程x2+bxt0的解可以看成二次函数yx24x与直线yt的交点，1x4，二次函数y的取值为4y5，4t5；故选：B【点评】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1

14、1【分析】先根据邻补角的定义求出3，再利用两直线平行，同位角相等解答即可【解答】解：130°，3180°1180°38°142°，ab，23142°故答案为：142【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟记性质是解题的关键12【分析】原式提取b，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式b（4a21）b（2a+1）（2a1），故答案为：b（2a+1）（2a1）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键13【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求解【解答】解：点P在线段AB的垂直平分线上，P

15、BPA，PA4cm，PB4cm故答案为4cm【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键14【分析】设扇形圆心角的度数为n°，然后根据扇形的面积公式得到3，解关于n的方程即可得到n的值【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，3，n120即扇形圆心角度数为120°故答案为120°【点评】本题考查了扇形的面积公式：S（n为圆心角的度数，R为半径）15【分析】设小正方形的边长为1，求出AC、BC、AB的长，利用勾股定理的逆定理证明CAB90°，再根据余弦定理即可得出答案【解答】解：设小正方形

16、的边长为1，AC，BC5，AB2，AB2+AC2（2）2+（）225，BC25225，AB2+AC2BC2，CAB90°，cosABC；故答案为：【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理解决问题，属于中考常考题型16【分析】连接OE，由ADED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出AODEOD，同理得到EOCBOC，而这四个角之和为平角，可得出DOC为直角，选项正确；由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DEDA，CECB，由CDDE+EC

17、，等量代换可得出CDAD+BC，选项错误；ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为ABCD，即梯形面积为CDOA，选项正确；由AODBCO，可得，则错误【解答】解：连接OE，如图所示：AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，DAODEOOBC90°，DADE，CECB，ADBC，在RtADO和RtEDO中，RtADORtEDO（HL），AODEOD，同理RtCEORtCBO，EOCBOC，又AOD+DOE+EOC+COB180°，2（DOE+EOC）180°，即DOC90&#

18、176;，选项正确；DA、DE为圆O的切线，ADED，AODEOD，CE、CB为圆O的切线，CECB，EOCBOC，CDDE+ECAD+BC，选项错误；S梯形ABCDAB（AD+BC）ABCDOACD，选项正确；AOD+COBAOD+ADO90°，AB90°，AODBCO，选项错误；故答案为：【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握切线长定理，证明三角形全等和三角形相似是解本题的关键三、解答题（本大题共9小题，共102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【分析】（1）首先计算乘方、开方

19、，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可（2）首先计算乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解：（1）+|1|+（）2（3）02+1+913+7（2）4sin45°+2cos60tan30°4×+2××2+112【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用18【分析】由菱形的性质可得ABBCCDAD，BD，

20、可得BMDN，由“SAS”可证ABMADN，可得AMAN【解答】证明：四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD，BDM，N分别是BC，CD的中点，BMBC，DNCD，BMDN在ABM和ADN中，ABMADN（SAS）AMAN【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键19【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式；（2）解方程求出x的值，再根据分式的有意义的条件得出x的值，代入计算可得【解答】解：（1）原式（）；（2）由x22x30得x3或x1，x+10，即x1，x3，则原式【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺

21、序和运算法则20【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比即可求出总数，用总数减去其它等级的人数求出C等级的人数，从而补全统计图；（2）用B的人数除以总人数再乘以360°，即可得到圆心角的度数；（4）先设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可【解答】解：（1）本次抽样调查共抽取的学生数是：60÷30%200；C等级的人数有：20060307040（人），补图如下： 故答案为：200；（2）B等级所占的比为：×100%15%，a15%×360°54°；（3）设甲班的2名同学分别用A

22、1，A2表示，乙班3名同学分别用B1，B2，B3表示，随机选出两人参加座谈的树状图如下：共有20种等可能结果，而选出2人中至少有1人来自甲班的有14种，所求概率为：【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小21【分析】（1）先由点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，4）得到AB7，则点C的坐标为（7，4），根据反比例函数图象上点的坐标特征得k28，则反比例函数的解析式为y；（2）设点P到AD的距离为h，利用PAD的面积恰好等于正方形ABCD的

23、面积即可求得【解答】解：（1）点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，4），AB7，四边形ABCD为正方形，点C的坐标为（7，4），代入y，得k28，）反比例函数的解析式为y；（2）设点P到BC的距离为hPBC的面积等于正方形ABCD的面积，×7×h72，解得h14，点P在第二象限，yPh410，此时，xP，）点P的坐标为（，10）【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质以及三角形和正方形的面积等，根据正方形的性质求得C的坐标是解题的关键22【分析】（1）根据第二周的营业额第一周的营业额×（1+增长率），即可求

24、出该商店第二周的营业额；（2）根据数量总价÷单价结合第二周比第一周多销售3件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：（1）200×（1+40%）280（元）答：该商店第二周的营业额为280元（2）设第一周该种纪念品每件的销售价格为x元，则第二周该种纪念品每件的销售价格为0.8x元，依题意，得：3，解得：x50，经检验，x50是原方程的解，且符合题意答：该种纪念品第一周每件的销售价格是50元【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键23【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）连结OD，CD，证DEECBE得12，再证3

25、4得ODE2+41+3ACB90°，据此可得ODDE，从而得证；（3）证RtBDCRtBCA得，代入计算可得【解答】解：（1）如图1，（2）证明：如图2，连结OD，CD，AC为直径，ADC90°，E为BC边中点，DE为RtBDC斜边BC上的中线，DEECBE，12，OCOD，34，ODE2+41+3ACB90°，ODDE，DE为O的切线；（3）E为BC边中点，BC2DE，AC5，AB，DBCCBA，RtBDCRtBCA，即，BD【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点24【分析】（1）证明BPC是等腰直

26、角三角形，计算BPPC6，先根据三角形中线可知：EF是ABC的中位线，得EFBC，EFBC，证明EPFCPB，列比例式可得PE和AB的长；（2）设 PFm，PEn，则PB2m，PC2n，在RtPBC，RtPBE和RtPCF中，根据勾股定理列方程后，相加可得结论；（3）本题介绍两种解法：法一：证明AGMNGB（AAS），得BG是ABN的中线，作辅助线，构建全等三角形和中线，得NF，BG都为ABN的中线，由（2）知，AB2+AN25BN2，代入可得结论；法二：如图4，作BPDA延长线于点P，CQAD于点Q，易知四边形PBCQ为矩形，设PAQDx，PBCQy，表示PMx+，MQ2x，证明PBMQMC

27、，列比例式得方程：y2x2+x+12 ，根据勾股定理得：AH2AB2BH2，y242x216x2，根据得：x2+x+1216x2，解出可得结论【解答】解：（1）如图1，BFCE，BPC90°，PCB45°，BPC是等腰直角三角形，BC6，PCBP6，BF，CE分别为AC，AB边上的中线，EF是ABC的中位线，EFBC，EFBC，EPFCPB，EP3，由勾股定理得：BE3，AB2BE6，故答案为：3，6；（2）猜想：AB2+AC25BC2；证明：BF，CE是ABC的中线，EF是ABC的中位线，EFBC，EFBC，设 PFm，PEn，则PB2m，PC2n，在RtPBC中，（2m

28、）2+（2n）2BC2在RtPBE中，在RtPCF中，由，得：AB2+AC25BC2；（3）法一：在AGM与NGB中，AGMNGB（AAS），BGMG，AGNG，BG是ABN的中线，如图3，取AB的中点F，连接NF，并延长交DA的延长线于E，同理，AEFBNF，AEBN，EM2BNNC，EMNC，四边ENCM是平行四边形，ENCM，BMCM，ENBM，即BGFN，NF，BG都为ABN的中线，由（2）知，AB2+AN25BN2，AB4，BNAD，42+AN25×，AN法二：如图4，作BPDA延长线于点P，CQAD于点Q，在ABCD中，ADBC，易知四边形PBCQ为矩形，PQBC，PAQ

29、D，依题意：AMBN，MD2，设PAQDx，PBCQy，PMx+，MQ2x，BMCM于点M，BMC90°，BMP+CMQ90°，又BMP+PBM90°，PBMCMQ，又BPMMQC90°，PBMQMC，即，化简得：y2x2+x+12 ，作AHBC于点H，则BHPAx，AHy，在RtABH中，AH2AB2BH2，y242x216x2，由得：x2+x+1216x2，x，y2，在RtAHN中，AN【点评】本题是四边形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、矩形和平行四边形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、三角形中线，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，并运用类比的方法解决问题，属于中考常考题型25【分析】（1）把B（3，0），C（0，3）代入ya（x2）2+c，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可得到该抛物线的解析式；（2）设点P（2，h）根据三角形三边关系定理可