数学建模(微积分)一

1、宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座数学建模数学建模之之微积分模型微积分模型( (一一) )宁波职业技术学院数学教研室曹勃668396宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座内容组成：内容组成： 一数学建模的总体介绍一数学建模的总体介绍二、微分方程建模具体实例二、微分方程建模具体实例实例一、椅子在地面上放稳的问题实例一、椅子在地面上放稳的问题 实例二、实例二、咳嗽问题咳嗽问题 实例六、实例六、铅球投掷的模型铅球投掷的模型实例七、广告决策问题实例七、广告决策问题实例四、实例四、储存销售模型储存销售模型实例三、减肥模型实例三、减肥模型实例五、屋檐

2、水槽的模型实例五、屋檐水槽的模型 实例八、实例八、价格竞争模型价格竞争模型 实例九、实例九、药物模型药物模型 实例十、实例十、湖水污染模型湖水污染模型 实例十一、实例十一、群体遗传模型群体遗传模型宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座一、数学建模的总体介绍 1 1数学建模中常用的书籍数学建模中常用的书籍2 2数学建模基本过程数学建模基本过程 4 4常用建模方法常用建模方法 3 3数学模型的特点和作用数学模型的特点和作用宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座1、数学建模中常用的专业书籍 高等数学、线性代数、概率论与数理统计、运筹学、数学模型与数

3、学建模等多本书籍宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座2数学建数学建模模基本过程基本过程 v 第一步第一步：根据现实对象的背景和要求进行-问题分析问题分析；v 第二步第二步：根据问题要求和建模目的作出合理的-简化假设；简化假设；v 第三步第三步：根据问题分析与假设，利用相应的物理的或其它有关规律建立起现实对象的数学表达式建立数学模型建立数学模型；v 第四步第四步：使用相应的数学方法求解数学模型以给出现实对象的数学解决-模型求解模型求解；v 第五步第五步：对模型的解给予检验和解释-模型分析（检验、修模型分析（检验、修改、应用和评价等）；改、应用和评价等）；宁波职业技术学

4、院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座3数学模型的特点和作用数学模型的特点和作用 v在建模实例时请注意以下特点：（1）数学建模不一定有唯一正确的答案.（2) 数学建模没有统一的方法.（3）模型的逼真性与可行性.（4）模型的渐进性.（5）模型的可转移性. 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座4常用建模方法常用建模方法 返回(1) 机理分析法 (2) 类比建模法 (3) 平衡原理 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量

5、关系的发现是建立方程的关键一样.(4) 图示法 (5 )数据分析法(基于测试数据的经验模型)宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座 (1) (1) 机理分析法机理分析法v常用的建模方法有机理分析法、测试分析法等。机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法. 返回宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座(2) (2) 类比建模法类比建模法 v类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上

6、去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构. 返回宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座(4) (4) 图示法图示法 v利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽 返回宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座(5 )(5 )数据分析法数据分析法( (基于测试数据的经验模型基于

7、测试数据的经验模型) ) 给出实际调查数据. 将样本数据绘制成数据散布图.这 对散布图进行分析 根据散布图分析结果选择相类似函数关系，采用适当方法建立经验公式.这里也同样有一个简单化原则：即在满足问题精度要求的前提下，尽量选择形式简单的数学表达式.至于确定经验公式中待定常数的方法有很多，诸如插值法(一般插值法及样条插值法等)、最小二乘法等. 模型分析、检验与修改. 返回宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座5 数学建模示例数学建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地

8、四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的

9、夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0

10、数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g

11、( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本假设条件的本质与非本质质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f( ), g( )的确定的确定宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座咳嗽问题咳嗽问题问

12、题问题咳嗽这个病大家并不陌生，引起咳嗽的原因很多，比如着凉、气管中有异物等导致肺内压力的增加引起咳嗽，而肺内压力的增加伴随着气管半径的缩小，那么较小气管半径是促进还是阻碍了空气在气管里的流动呢？模模型型假假设设把把气管理想化为一个圆柱形的管子，设管半气管理想化为一个圆柱形的管子，设管半径为径为 , ,管长为管长为L L，管的两管的压强差为管的两管的压强差为P Pr管道和气体之间的摩擦力很少，可以忽略管道和气体之间的摩擦力很少，可以忽略宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座问题分析问题分析由物理学中的知识知,在单位时间内流过管子的流体体积为:4rPKV这里 , 为常数,

13、当P达到一定限度时,气管的收缩有很大的阻力,这可避免在咳嗽时引起窒息.即半径与P存在线性关系且P越大, 越小,所以用:0KrrKaPrr0来表示,其中 为无压强差时的管半径, 为正的常数0ra(1)(2)宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座因为aPrr0,于是arrP0,代入(1)式,得4040)()(rrrkarrrKV(3)其中 为常数 aKk 这样咳嗽问题就转化为我们很熟悉的数学中求最大最小值问题了.下面我们从两个方面来回答:较小半径的气管是促进还是阻碍了流体在气管里的流动?宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座(1)、什么样的值使V

14、最大？30)54()(rrrkxV由所以054rr 分析知054rr 时，使单位时间内流动气管的气体体积最大)(2rvV(2)、如果用 来表示流体在气管中流动的速度，显然v宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座由式（3）得202)(rrkrVv由rrrkrv)32()(0得032rr 同样可知 时，速度取得最大值032rr 从以上两个方面来看，咳嗽时气管收缩（在一定范围内）有助于咳嗽，它促进气管内空气的流动，从而使气管中的脏物能尽快地被清除掉宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座减肥模型减肥模型 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高

15、，由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为社会关注的一个重要问题，无论从健康的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己的形体的健美。从面就导致目前社会上出现了各种各样的减肥食品（或营养素）和名目繁多的健美中心。 如何对待减肥的问题，我们也可以通过组建模型，从数学的角度对有关规律作进一步的探讨和分析一、问题的提出一、问题的提出宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座二、背景知识二、背景知识根据中国生理科学会的膳食指南知： （1）、每日膳食中，营养素的需求量要达到一定的值，否则不利于身体健康； （2）、人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志； （3）、人

16、体热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其他活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量； （4）、一般情况下，成年男子每千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳； （5）、食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外能量消耗为6.3*1068.4*106焦耳,相当于基础代谢的10%；宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座三、模型假设三、模型假设 （1）、由于人体的脂肪是能量的主要贮存和提供方式，而且也是减肥的主要目标，我们不妨把脂肪的重要作为体重的标志，已知脂肪的能量转换率为100%，

17、4.2*107焦耳，记D= 4.2*107焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数； （2）、人体的体重仅看成是时间t的函数w(t)，这意味着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响； （3）、无论是由于进食摄取能量导致体重的增加，还是由于体力活动消耗能量致使体重的减少都是一个渐变的过程，因此可以认为能量的摄取和消耗都是连续函数；宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座 （4）、人体通过各种活动来消耗自身的能量，从面达到减肥的目的，不同的活动对能量的消耗是不同的，假设在单位时间内人体的这种消耗与其体重成正比，记r为每千克每小时某一活动所

18、消耗的能量； （5）、单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重，记b为1千克体重每小时消耗的能量； （6）、人体每天摄入量是一定的，记为A 根据上述背景知识和模型的假设，我们就可以来组建减肥的数学模型。宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座四、模型建立四、模型建立 我们以1天为时间单位，那么每天基础代谢的能量消耗为B=24b（焦耳/日）。由于人的活动不可能是全天进行的，所以假设每天人体活动h小时，则一天消耗的能量应为R=rh（焦耳/日） ； 按照假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。 按照能量平衡原

19、理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量变化应等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差。宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座在时间段（t,t+t）内考虑能量的改变：体重改变的能量变化=w(t+ t)- w(t)D摄入与消耗的能量之差=At- (B+R) wt根据能量平衡原理有=A- (B+R) w（ t ）tw(t+ t)- w(t)D以t除等式两端并令t0 取极限，可以得到dwadtdw其中 ， ，如果把B理解为以减肥为目的的能量的消耗，上述方程就给出了一个减肥的数学模型DAa DRBd)(（1）宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室数学建模讲座五、模型的分析五、模型的分析1、求解设 为模型启动的初始时刻，这时人的体重为 ，以此为初始条件不难求出方述方程的解为0t0)0(ww)1 ()(0dtdtedaewtw（2