结构有限元法西北工业大学学习教案

1、会计学1结构结构(jigu)有限元法西北工业大学有限元法西北工业大学第一页，共39页。6.1 平面平面(pngmin)四结点等参元四结点等参元 6.1.1 坐标变换(binhun)与等参单元 随单元形状(xngzhun)而不同的局部坐标系，称为单元的自然坐标系 实单元 母单元 第1页/共38页第二页，共39页。正方形的四个边对应于实际(shj)单元的边界，四个顶点也一一对应于四个结点；正方形内任一点 ),(P都对应于实际(shj)单元内的一个点 yxP,第2页/共38页第三页，共39页。实单元(dnyun)与母单元(dnyun)的一一对应关系可写为 4433221143214321000000

2、00yxyxyxyxNNNNNNNNyx11411N11412N11413N11414N第3页/共38页第四页，共39页。用结点(ji din)的坐标值 44332211,yxyxyxyx插值表示出单元(dnyun)内的坐标 yx,与单元分析(fnx)中常用的结点位移插值一样， 4321,NNNN也可称为形状函数， ,iN称为几何形状函数。 1, 1代入上式，则得 22,yyxx变成图(b)中相应线 两个单元的等百分线也一一对应 1的直线，通过式(6-1)变换之后即是 yx 平面上23直线 这种变换中含有乘积项 这不是一种简单的线性变换关系。 第4页/共38页第五页，共39页。 eNvuvuv

3、uvuNNNNNNNNvu443322114321432100000000 N 为形状函数矩阵，这里采用(ciyng)了同样的形状函数(6-2)式，用同样的结点插值表示出单元的几何坐标 yx,与位移(wiy) vu,这种单元称为(chn wi)等参单元。也可以用不同的结点，不同的形状函数分别插值单元几何坐标 和位移 有所谓超参数单元和亚参数单元，但应用较少。 第5页/共38页第六页，共39页。第6页/共38页第七页，共39页。第7页/共38页第八页，共39页。第8页/共38页第九页，共39页。(3/4 3/4)第9页/共38页第十页，共39页。6.1.2 单元刚度矩阵(j zhn)的计算 ee

4、xyyxBNLvuxyyx00yyNxxNNyyNxxNNiiiiii yNxNJyNxNyxyxNNiiiiii iiiiNNJyNxN1第10页/共38页第十一页，共39页。 yxyxJiiixNx41iiiyNy41iiixNx41iiiyNy41xNyNyNxNBiiiii00第11页/共38页第十二页，共39页。 tdsBDBdVBDBKTTVeeddJdxdyds ddJtBDBKTe 1111 6.1.3 等参变换的条件(tiojin)和等参单元的收敛性 1.等参变换(binhun)的条件 两个坐标(zubio)之间一对一变换的条件是Jacobi行列式 J不得为0 ddJds )

5、,sin(ddddddds第12页/共38页第十三页，共39页。从上式可见，只要以下三种(sn zhn)情况之一成立，即, 0d, 0d0),sin(dd就将出现 0的情况(qngkung)，因此在笛卡儿坐标内划分单元时，J要注意防止(fngzh)以上所列举情况的发生。 (b)所示单元结点3，4退化为一个结点，在该点 0d(c)所示单元结点2，3退化为一个结 点，在该点 0d(d)所示单元在结点l，2，3， 0,sindd而在结点4， 0,sindddd ,sin在单元内连续，所以存在=0 第13页/共38页第十四页，共39页。 2等参单元(dnyun)的收敛性 第14页/共38页第十五页，共

6、39页。6.2 八结点八结点(ji din)曲边等参单元曲边等参单元111411N112125NiiiiiivNvuNu,8181iiiiiiyNyxNx,8181第15页/共38页第十六页，共39页。1263226321121211212yyyyxxxx的二次函数(hnsh)，所以是曲边2-6-3的方程 它是 每一条(y tio)边都是一条(y tio)二次曲线。如令 得 81818181iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNyxyxJ第16页/共38页第十七页，共39页。 6.2.2 等参单元等效(dn xio)结点力 1集中力集中力 PNPPcieiyix0, 01xP0, 0如处作用

7、集中(jzhng)载荷，将代入 第17页/共38页第十八页，共39页。2体积体积(tj)力力 Tyxqqq, ddJtqNPPPieiyixeqi 1111第18页/共38页第十九页，共39页。 3表面(biomin)力 Tyxppp, tdsppNPPPyxrieiyixei第19页/共38页第二十页，共39页。6.3 二十结点二十结点(ji din)三维等参单元三维等参单元 6.3.1 形状(xngzhun)函数 iiixNx201iiiyNy201iiizNz201821111N211181000000iN8, 2 , 1i00211141iN12,11,10, 9i00211141iN

8、16,15,14,13i00211141iN20,19,18,17i第20页/共38页第二十一页，共39页。6.4 数值积分数值积分 在前几节的刚度矩阵和等效结点(ji din)力的计算公式中，都需要作如下形式的积分运算 df11ddf 1111,dddf 111111, 数值积分有两类方法，一类方法积分点是等间距(jin j)，例如辛普生方法；另一类方法积分点是不等间距(jin j)的，例如高斯方法。在有限单元法中，由于被积函数很复杂，一般采用高斯求积法，因为它可以用较少的积分点达到较高的精度，从而可节省机时。 第21页/共38页第二十二页，共39页。6.4.1 一维高斯(o s)求积公式

9、dfI11 iniinnfWfWfWfWdfI1221111n20.577351.0000030.774590.000000.555550.8888840.861130.339980.347850.65214iiW33998. 065214. 033998. 065214. 086113. 034785. 086113. 034785. 0ffffI举例(j l)：如取n =4 第22页/共38页第二十三页，共39页。 积分点数目n的选取与被积函数(hnsh) 有关,当 f fm次多项式时， 则取 21mn当 不是多项式时，则需通过(tnggu)一些试算来判断选取适当的n值，n不能取得过大，否

10、则计算工作急剧增加。 f 6.4.2 二维及三维高斯(o s)求积公式 ddfI 1111,jijninjijinjniijiniifWWfWWdfWI,1111111 dddfI 111111,mjimjnmnjniifWWW,111 第23页/共38页第二十四页，共39页。第24页/共38页第二十五页，共39页。第25页/共38页第二十六页，共39页。6.4.3 等参元计算(j sun)中数值积分阶次的选择 当在计算中必须进行数值积分时，如何选择数值积分的阶次将直接影响计算的精度和计算工作量。如果选择不当，甚至会导致计算的失败。选择积分阶次的原则，以一维问题(wnt)刚度矩阵的积分为例：

11、dJBDBKTe11 如果(rgu)插值函数N中的多项式阶数为p，微分算子L中导数的阶次是m，则有限元得到的被积函数是 mp 2次多项式 (对于 等参元假设 J是常数时)。为保证原积分的精度，应选择高斯积分的阶次 21212mpmpn，这时可以精确积分至 第26页/共38页第二十七页，共39页。12 mp次多项式，可以(ky)达到精确积分刚度矩阵的要求。 对于二维，三维单元，则需要对被积函数值进一步的分析，例如(lr)二维4结点双线性单元，它的插值函数中包含 项 ，, 1J, 122在假设单元的 是常数(单元形状(xngzhun)为矩形或平行四边形)的情况下，刚度矩阵的被积函数中包含 项。由于

12、被积函数在 和 方向的最高次为2，所以要达到精确积分，应采用22阶高斯积分。 J 如果单元的 常数，则需要选取更多的积分点。 第27页/共38页第二十八页，共39页。第28页/共38页第二十九页，共39页。6.4.4 二维三角形单元(dnyun)和三维四面体单元(dnyun)的Hammer积分 在三角形单元和四面体单元中，自然坐标是面积(min j)坐标和体积坐标，积分具有如下形式 1210103211,dLdLLLLFIL 1231010104321112,dLdLdLLLLLFILLL 积分限中包含了变量自身，Hammer等导出了有效的积分方案(fng n)。二维三角形单元以及三维四面体单

13、元的积分点位置，权函数见表6-3及6-4。 第29页/共38页第三十页，共39页。第30页/共38页第三十一页，共39页。第31页/共38页第三十二页，共39页。6.5 应力应力(yngl)修匀修匀应力解的误差表现于： (1) 单元内部不满足平衡方程(fngchng)； (2) 单元与单元的交界面上应力一般不连续； (3) 在力的边界上一般也不满足力的边界条件。 介绍几种应力解的处理和改善方法，其中有一些是简单易行而又行之有效的，在实际(shj)计算中经常采用；有些则伴随有相当大的计算工作量，必要时才采用。 第32页/共38页第三十三页，共39页。6.5.1 单元平均(pngjn)或结点平均(

14、pngjn) 最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕(wiro)结点各单元应力的平均值。1取相邻单元取相邻单元(dnyun)应力的平均值应力的平均值 平均应力 (单元(1)应力十单元(2)应力) ）的面积2单元（）的面积单元（）的面积2单元（）应力2单元（）的面积单元（）应力1单元（11平均应力 2取围绕结点各单元应力的平均值取围绕结点各单元应力的平均值meeiim11第33页/共38页第三十四页，共39页。6.5.2 总体(zngt)应力磨平 * 用位移元解得的应力场在全域是不连续的，我们可以用总体应力磨平的方法来改进计算结果，得到在全域连续的应力场。 总体磨平应力方法就是(jish)

15、构造一个改进的应力解 ，此改进解在全域是连续的。改进解 与有限单元法求得的应力解 应满足加权最小二乘的原则。第34页/共38页第三十五页，共39页。 6.5.3 单元(dnyun)应力磨平 应力总体磨平方法的主要缺点是计算工作量十分庞大。为了减少改进应力结果的工作量，当单元足够小时，磨平可以在各个单元内进行。 对于利用数值积分的曲边单元，经验表明在积分点上算得的应力具有最好的精度，而在结点上算得的应力的精度最差。这是因为形状函数(hnsh)的精度在靠近插值区域的边缘时通常都是较差的。所以形函数(hnsh)的导数和应力在单元内部的精度将优于单元的边界。 工程上感兴趣的是边缘和结点上的应力：为了克服边缘和结点上应力不连续和精度较差等缺点，比较实用的办法是在每个单元内用最小二乘方法修匀，而在结点上取有关单元应力的平均值。第35页/共38页第三十六页，共39页。第36页/共38页第三十七页，共39页。结结 束束第37页/