几种时频分析方法综述2——希尔伯特黄变换

1、几种时频分析方法综述2希尔伯特一黄变换夏巨伟(浙江大学空间结构研究中心)摘要：希尔伯特一黄变换由经验模态分解( empirical mode decomposition ,简称EMD)和Hilbert谱分析两 部分组成。经验模态分解方法是一种自适应的、高效的数据分解方法。由于这种分解是以局部时间尺度为 基础，因此，它适应于非线性、非平稳过程。通过经验模型分解，任何复杂的数据集都可以被分解为个数有限的、而且常常是为数不多的几个固有模函数(intrinsic mode functions ,简称IMF)的线性叠加。通过分解得到IMF后，就可以对每一个分量做希尔伯特变换，得到其瞬时频率和幅度。本文详

2、细对Hilbert-HuangTransform的过程进行了阐述，并用算例分析指出了其优势所在。关键词：希尔伯特一黄变换；时频分析技术；1 希尔伯特一黄变换(Hilbert-Huang Transform)1.1 希尔伯特变换与瞬时频率(Hilbert Transform and instantaneous frequency对于任意一个时间序列X，它的希尔伯特变换具有如下形式：1 ：X()Y(t)= - P XLJd ., 二 -二 t- 其中，P积分的柯西主值；希尔伯特变换又t于任何属于Lp空间中的函数都存立，即上式中X(t) Lp(一 oo, +OO)。通过上述定义，X(t)和Y(t)成

3、为一组复共腕对，同时能够构造一个实部和虚 部分为X(t)和Y(t)的解析信号(Analytic Signal)Z(t), Z(t)表示为:Z(t)=X(t) iY(t)=a t $力，其中,a(t 尸X2(t)+Y2(t)1/2Y(t)，二 t = arctan . X(t)理论上讲有无数种方式去定义虚部，但是希尔伯特变换是唯一能够得到解析 信号结果的方法。X(t)的Hilbert变换实质上是将X(t)与函数1/t在时域上做卷积， 这就决定了通过X(t)的Hilbert变换能够考察其局部特性。得到 X(t)的瞬时相位 函数后，其瞬时频率为：d Nt)dt1.2 经验模态分解与固有模态函数(Em

4、piricalmode decomposition正MD and Intrinsic mode function/IMF)固有模态函数需要满足两个条件：(1)极值与零点的数量必须相等或最多相 差一个；(2)由局部极大值包络和局部极小值包络定义的平均包络曲线上任何一 点的值为0;1.2.1 EMD一筛选过程(Sifting process)x( t) - m1三几,h1 - m2 = h2 ,hk_imkx( t) - Ci = ri ,rn _1 cn = rn - n二 x(t) - X cj = rn .j 11.3 Hilbert 谱与 Hilbert 边际谱经过筛选过程后，X(t)可以

5、表示为IMF与残差量的和： nn: Uin玉 n：DlX(t Cj rn=X2(t)- C2(t) 2- Cj(t)Ck(t) j=1j=1j=1 k=1n 10= X2(t)八 C2(t)j=1T rn书n书IO=£ Z Z Cj(t)Ck(t)/ X2(t) t =0 3M kM对X(t)的每一个IMF进行Hilbert变换可以得到X(t)的Hilbert谱:HHTCj(t ) = aj(t)ei 鲤)=aj(t)ei'jtdtn X( t) =S Cj(t) = £ aj(t)eiWtdLZ Hj(m,t)j1j+jT '' =s ='

6、Hilbert SpectrumHilbert SpectrumnFT : X( t)=' aj(t)ei jt j i得到Hilbert谱后可以进一步定义 Hilbert边际谱：Th( )= 0 H( ,t)dtHilbert Magrinal Spectrum1.4 算例分析1.4.1 一个有跳变的余弦信号工 cos(6二 t) t 10sy u5 cos(6 二 t)t 10sTOftAovmwvwwm/mIlliIIIIII-502468101214161820时间/s图1:跳变信号及其分量o o o o o o o o4 3 2 1位相时瞬法方值数一率频时瞬1.4.22法方值

7、数X6Y:19.02o00率频时瞬图2:跳变信号 频率发生改变的余弦信号EMD分量的瞬时相位与频率t <10st 10scos(6二 t) y =cos(4 t)位相时瞬号信始原1C法方值数一率频时瞬 2法方值数一率图3:频率改变余弦信号及其EMD分解分量4003002001000 02468101214161820时间/s2018161412 02468101214161820时间/s201816心3 12瞬 02468101214161820时间/s图4:频率改变余弦信号IMF分量瞬时相位与瞬时频率1.4.3余弦扫频信号一一2_y =(1 0.2t)cos(4二t ) 0 Mt M 10s4 2 0号信始原4 2 01C图5:余弦扫频信号及其EMD分解分量位相时瞬 1法方值数一率频时瞬图6：余弦扫频信号IMF分量瞬时相位与瞬时频率y =sin(10t) sin(5t) 0 <t < 10s1.4.4两个不同频率的正弦信号的叠加号信始原10O1 O 1 - 1CR图7:两个不同频率叠加的正弦信号及其IMF分量数一率频时瞬 2法方值数一率频时瞬位相时瞬60402080604020