材料力学 截面图形几何性质

1、材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案1 第一节第一节 静矩和形心静矩和形心一、静矩一、静矩(面积矩）定义：面积矩）定义： 微面积微面积dA对对z轴和轴和y轴的静矩分别为轴的静矩分别为 和和dAydAz 截面（面积截面（面积A)对对z轴和轴和y轴的静矩分轴的静矩分别为：别为：;AydAzS;AzdAyS 静矩为代数值。静矩为代数值。静矩单位：静矩单位：;33mmm 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等将面积视为平行力（即

2、看作等厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS 当当Sz=0或或Sy=0时，必有时，必有yc=0或或zc=0，可知可知截面对某轴的静截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，反之，若某轴通过形心，若某轴通过形心，则截面对该轴的静矩为零。则截面对该轴的静矩为零。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案2 二、形心公式：二、形心公式：.;ASzASyyczc 三、组合截面的静矩：三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，个简单图形组成的截面，其静矩为：其静矩为：;1nici

3、izyAS;1niciiyzAS四、组合截面形心公式：四、组合截面形心公式：;11niiniciicAyAy;11niiniciicAzAz 例例5-1 求图示求图示T形截面形心位置。形截面形心位置。 解：取参考坐标轴解：取参考坐标轴y、z,由对称图形由对称图形,zc=0。 分解图形为、两个矩形，则分解图形为、两个矩形，则;2 . 1,48. 0;46. 2,072. 0222121mymAmymA;36. 148. 0072. 02 . 148. 046. 2072. 0212211mAAyAyAyc若分解为、三个矩形，则若分解为、三个矩形，则;16. 04 . 22 . 0252. 26

4、. 0)2 . 126. 1 (52. 26 . 0myc材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案3 解：将此图形分别为解：将此图形分别为I、II、III三三部分，以图形的铅垂对称轴为部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，轴，过过II、III的形心且与的形心且与y轴垂直的轴线取轴垂直的轴线取为为x轴，则轴，则求图示图形的形心。求图示图形的形心。x150yCOx1y120010yC300IIIIII10mm8 .38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于对称知：由于对称知： xc=0目录目录材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案4求图

5、示半径为求图示半径为r的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标的静矩及其形心坐标yC。 OCrxydAyCydy解：过圆心解：过圆心O作与作与x轴垂直的轴垂直的y轴，在距轴，在距x任意高度任意高度y处取一个与处取一个与x轴平行的窄条，轴平行的窄条，ydyrAd222 所以所以 3022322ryd)yr( yAdySrAx3423223r/r/rASyxC目录目录材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案5第二节 惯性矩和惯性积一、极惯性矩：一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐与它到坐标原点的距离标原点的距离平方的乘积平方的乘积2

6、dA,称为该面积称为该面积dA对于坐标原点对于坐标原点o的极惯性矩。的极惯性矩。 截面对坐标原点截面对坐标原点o的极惯性矩为：的极惯性矩为：APdAI;2 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。 实心圆截面：实心圆截面：;3224202DdAIDP 空心圆截面：空心圆截面：)();1 (3244DdDIP 二、惯性矩：二、惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积定义：平面图形中任一微面积dA对对z轴、轴、y轴的惯性矩分别为：轴的惯性矩分别为：y2dA和和Z2dA；则整个图形（面积为则整个图形（面积为A)对对z轴、轴、y轴的惯性矩分别为：轴的惯性矩分别为：;2A

7、zdAyI;2AydAzI材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案6 定义定义:平面图形内，微面积平面图形内，微面积dA与其两个与其两个坐标坐标z、y的乘积的乘积zydA在整个图形内的积分称在整个图形内的积分称为该图形对为该图形对z、y轴的惯性积。轴的惯性积。;AzydAyzI 特点：特点：惯性积是截面对某两个正交惯性积是截面对某两个正交坐标轴而言。坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积均不同。惯性积是代数值。均不同。惯性积是代数值。 单位：单位：;,44mmm 若截面有一根为对称轴若截面有一根为对称轴,则该则该截面对包括此对

8、称轴在截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。 惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：惯性矩单位：m4或或mm4； 惯性矩恒为正值。惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。三、惯性积：三、惯性积：材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案7 例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：;1232/2/22bhbdyydAyIhhAz;1232/2/22hb

9、hdzzdAzIbbAy取微面积dA=hdz,则：例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：;6442442222DRdyyRydAyIRRAz;644DIIzy由对称性：,222zy 由几何关系：.)(222yZAAPIIdAzydAI取微面积dA=dzdy，则：; 0zyI材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案8第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积1.1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 设有面积为设有面积为A的任意形状的截面。的任意形状的截面。C为其形心，为其形心，Cxcyc为形心坐标为

10、形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为的任意坐标系为Oxy ,形心形心C在在在在Oxy坐标系下的坐标为坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元任意微面元dA在两坐标系在两坐标系下的坐标关系为：下的坐标关系为：ayybxxCCaycyxcxCObdAxcycyx材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案9AaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2ddd同理，有：同理，有：AaIIcxx2AbIIcyy2abAIIccyxxy（此为此为平行移轴公式平行移轴公式 ）注意：注意：式中的式中的a、b代表坐标值，有

11、时可能取负值。代表坐标值，有时可能取负值。等号右边各首项为相对于形心轴的量。等号右边各首项为相对于形心轴的量。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案102.2.组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积 根据根据惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积的定义易得的定义易得组合截面对于某组合截面对于某轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一等于其各组成部分对于同一轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）之和之和：nixxiII1niyyiII1nixyxyiII1材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案11求图示直径为求图示直径为d的半圆对其自身形心轴的半

12、圆对其自身形心轴xc的的惯性矩。惯性矩。解：解：（1）求形心坐标）求形心坐标222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案12（2）求对形心轴）求对形心轴xc的的惯性矩惯性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由由平行移轴公式得：平行移轴公式得： xyb(y)ycCdxc材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案13试求图试求图a 所示截面对于对称轴所示截面对于对称轴x的的惯性矩。惯性矩。解：将截面看作一个矩形和解：将截面看作

13、一个矩形和两个半圆组成。两个半圆组成。（1）矩形对）矩形对x的的惯性矩：惯性矩：44331mm1053331220080122adIx（2）一个半圆对其自身形）一个半圆对其自身形心轴心轴xc的的惯性矩（见上例）惯性矩（见上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案14（3）一个半圆对）一个半圆对x的的惯性矩：惯性矩：由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：44222222mm103467322324832adaddddaIIcxx（4）整个截面对于对称轴）整个截面对于对称轴x的的惯性矩：惯性

14、矩：444421mm101227010346721053332xxxIII材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案15 第四节 主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）使截面对zo、yo轴的惯性积 的这对正交坐标轴；0ooyzI 主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。返回 下一张 上一张 小结若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主主惯性轴之一，另一惯性轴之一，另一形心形心主惯性轴为通过形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。并与对称轴垂直的轴。若若截面有二

15、根对称轴，则此二轴即为形截面有二根对称轴，则此二轴即为形心心主惯性轴。主惯性轴。若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴，且主惯性矩相等。几个结论几个结论材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案16303055CC2C1y221y1zC1zC2求求T形截面对形心轴的惯性矩形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：取参考坐标系如图，则：iiiCCAyAyz0mmAAyAyA75.23212211即截面的形心轴。即截面的形心轴。、CCzy再求截面对形心轴的惯性矩：再求截面对

16、形心轴的惯性矩：433115601230512530mmICy422212122212134530)()()()(2121mmAyyIAyyIAaIAaIICzCzzzzCCCCC由平行移轴定理得：yCzyCzC材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案17求图示圆对其切线AB的惯性矩。解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。B 建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。6424dIIIPyx6454644442dddAdIIxABAdxyOxyxIIIdI2324圆材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案18思考思考：O为直角三角形为直角三角形

17、ABD斜边上的中点，斜边上的中点，x、y轴为轴为过点过点且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案积和惯性矩有四种答案(已知已知ba)： （A）Ixy （B） Ixy (C) Ixy= （D） Ix=Iy正确答案是正确答案是(C)xABDyOab材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案19思考：等腰直角三角形如图所示，思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中的任意一对坐标轴（即图中 为任意值），该图形的为任意值），该图形的: :(1)(1)惯性积惯性积Ixy (2)(2)惯性矩惯性矩

18、I Ix 、 I Iy。yxaa答案：答案：0；a4/24; a4/24 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案20小小 结结一、静矩：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；APdAI;2;324DIP)();1 (3244DdDIP 二、极惯性矩：实心圆截面： 空心圆截面：三、惯性矩：;2AzdAyI;2AydAzI;AzydAyzI 四、惯性积：矩形截面： 圆形截面：;123bhIz;123hbIy;644DIIzy.)(222yZAAPIIdAzydAI几何关系：五、平行移轴公式：;21Abyy;11abAIIzyyz;21AaIzz返回 下一张 上一张 小结材材 料料 力力 学学 电电 子子