第5章 线性系统频率响应分析法

1、2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法1Nyquist稳定性判据选择映射函数F(s)为特征函数,即)()()( ,)()()()(1)(为开环传函sAsBsGsAsBsAsGsFNyquist稳定性判据：若开环系统G(s)有P个极点在右半S平面，则闭环系统稳定的充要条件是，系统特征函数F(s)=1+G(s)的映射曲线逆时针包围F平面的坐标原点P周。注释1：F的零点为闭环极点，F的极点为开环极点。选择周线D包围整个右半S平面注释2：该周线称为Nyquist周线。称基于奈奎斯特周线所得开环函数的映射曲线为开环奈奎斯特曲线。注释3：闭环稳定有Z=0，于是N=Z-P=-P(逆时针P周)202

2、2-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法2Nyquist判据的延伸表述Nyquist判据1：若系统的开环函数G(s)有P个极点在右半S平面，则闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环奈奎斯特曲线逆时针包围G平面的(-1,j0)点P周。注释1：F(s)=1+G(s)，两映射曲线是平移单位1的关系，即F平面的坐标原点对应G平面的(-1,j0)点。Nyquist判据2：若开环系统G(s)是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环奈奎斯特曲线不包围G平面的(-1,j0)点。注释2：Z=0，P=0，则N=Z-P=0。2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法3Nyquist周线与Nyquist

3、曲线的关系虚轴上无开环函数G(s)极点的情况原像点为S平面的Nyquist周线像点(映射点)为G平面的Nyquist曲线0,:9090,:0,:321jssDessDjssDDj)(),()(),()(),()(321DsjGDsGDsjGsGj01D2D3DS平面XG平面jY02022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法4例5.10：分析闭环系统稳定性分析如下开环传函的闭环稳定性)0,( ,)1)(1)(1 ()(321321TTTKsTsTsTKsG解：首先绘制G(s)的奈奎斯特曲线（1）G(j)的起点和终点：2700)(,) 0(jGKjG（2）G(j)与负实轴的交点32133211

4、332212)(),(1,)(TTTTTTbTTTTTTajbaKjG1)/1/1/1)()(321321TTTTTTKjGxx3213210TTTTTTbxXjY02022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法5（续）（3）按对称于实轴的方式补充绘制G(-j)曲线。另外，S平面奈氏周线D2段映射到G平面坐标原点。（4）如果 ，此时G(s)的奈氏曲线顺时针包围G平面上的(-1,j0)点，于是闭环系统有Z=N+P=2个极点在右半S平面，闭环系统是不稳定的。1)(xjG（5）如果 ，此时G(s)的奈氏曲线不包围G平面 (-1,j0)点，闭环系统是稳定的。1)(xjGXjY0) 0, 1(j202

5、2-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法6例5.11：分析闭环系统稳定性分析如下开环传函G(s)的闭环稳定性) 0,( ,1)(TKsTKsG解：绘制G(s)的奈奎斯特曲线（1）G(j)的起点和终点分别为900)(,) 0(jGKjGG(j)轨迹在G平面第三象限，因为180tg)(-1T（2）若K1，奈奎斯特曲线逆时针包围(-1,j0)点一周，有N=-1，于是Z=N+P=0，所以闭环系统稳定。（3）若K1，奈氏曲线不包围(-1,j0)，系统不稳定。-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5XjYK=0.70K=22022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析

6、法7虚轴上含有G(s)极点的情况考虑v(0)型系统的情况奈奎斯特周线应该避开使G(s)奇异的点(即S平面坐标原点)。9090,0:0,:9090,:0,:4321jjessDjssDessDjssDD)(),0()(),()(),()(),()(4321DsGDsjGDsGDsjGsGj0rR1D2D3D4D)2( ,) 1( ,)0(24vevesKGjjDsv结论：D4段为绕坐标原点无穷小半径逆时针半周，则G(j0)为绕坐标原点无穷大半径顺时针v个半周。2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法8例5.12：1型系统的稳定性判别已知系统的开环传递函数如下，分析其闭环稳定性) 0,(

7、,)1)(1 ()(2121TTKsTsTsKsG解：绘制G(s)的奈奎斯特曲线（1）G(j)的起点和终点分别为2700)(,90) 0(jGjG（2）求取G(j)与负实轴的交点)1 ()()(212212TTjTTKjG212121)(1TTTKTjGTTxxXjY0绘制G(j)奈氏曲线2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法9（续）（3）按对称于实轴方式补画G(-j)的轨迹。并且S平面D2段映射为G平面坐标原点。（4）对1型系统，奈氏周线D4段映射为无穷大半径顺时针半周。（5）如果 ，此时奈氏曲线不包围G平面上的(-1,j0)点，故此时闭环系统是稳定的。1)(xjG（6）如果 ，此

8、时奈氏曲线顺时针包围G平面 (-1,j0)点两周，于是Z=N+P=2，所以闭环系统是不稳定的。1)(xjGXjY0) 0, 1(j2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法10例5.13：2型系统的稳定性判别已知系统的开环传递函数G(s)为) 0,( ,)61)(31 ()1 ()(2TKssssTKsG解：绘制G(s)的奈奎斯特曲线（1）G(j)的起点和终点分别为2700)(,180)0(jGjG（2）求取G(j)与负实轴的交点422222281)181 () 918(9181)(TTjTKjGXjY0绘制G(j)奈氏曲线) 9( ,92)(,1892TTKTjGTTxx无交点时202

9、2-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法11（续）（3）按对称于实轴绘G(-j)，且奈氏周线D2段映射为G平面坐标原点。（4）补充奈氏周线D4段的映射曲线G(j0)，即从=0-到=0+时顺时针一周。XjY0XjY0（5） 时，奈氏曲线不包围G平面(-1,j0)点。1)(xjG) 0, 1(j（6） 时呢？1)(xjG（7）无交点时呢？) 0, 1(j2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法12相对稳定性的概念请回顾系统稳定稳定或不稳定不稳定与系统特征根的关系。1)(, 0)(1jGsGjs或者，当系统临界稳定临界稳定时，必然存在虚数根，即有所以，称G平面上(-1,j0)点为临界稳定点

10、。假设闭环系统是稳定的。在不改变系统开环不稳定极点情况下，如果因系统参数变化而使开环奈氏曲线穿越负实轴之点发生跨越(-1,j0)点的变化，那么，系统将变为不稳定。如果系统开环奈氏曲线距离开环奈氏曲线距离(-1,j0)(-1,j0)点越远点越远，则需“更大”参数变化才能改变奈氏曲线对临界点的包围状况，于是，闭环系统的稳定程度越高闭环系统的稳定程度越高。2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法13稳定程度度量指标-相位裕度定义：开环频率特性G(j)的幅值等于1（或者0分贝）时的频率c称为幅值穿越频率幅值穿越频率，此时有1)(cjG定义：开环频率特性在幅穿频率c处相角与-180之差称为相位裕

11、度相位裕度，用Pm表示，即注释：保持开环频率特性的幅值不变，仅仅改变其相角，则当相角滞后Pm时，开环频率特性在幅穿频率处的幅值为1且相角为-180，或者即奈氏曲线穿越(-1,j0)(-1,j0)，于是，闭环系统变为临界稳定临界稳定。)(180)180()(ccmjGjGP2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法14相位裕度图示-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.51XjY(c)Pm(=c)G(j)-150-100-50050L() (dB)10-310-210-1100101-270-225-180-135-90() (deg) (rad/sec)Pm=c系统相

12、位裕度为正，表明系统进一步滞后的相角在Pm内时，系统仍然能够保持稳定；系统相位裕度为负，表明至少需要超前-Pm相角才能使系统稳定。2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法15稳定程度度量指标-幅值裕度定义：对于最小相位系统，开环频率特性G(j)的相角等于-180时的频率g称为相角穿越频率相角穿越频率180)(gjG定义：开环频率特性在相穿频率g处幅值的倒数称为绝对幅值裕度，或者该频率处幅值分贝数与0分贝之差称为相对幅值裕度，用Gm (dB)表示，即注释：幅值裕度表明，保持开环相角特性不变时，闭环系统可以容忍多大的增益变化还能保持其原来的属性。)()(lg200)dB()(/1)(/1g

13、gmggmLjGGMjGG或者，2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法16幅值裕度图示系统幅值裕度为正，表明系统的开环增益放大在Gm(dB)值以内时，系统仍然能够保持稳定；系统幅值裕度为负，表明至少需要衰减-Gm(dB)分贝才能使系统稳定。-1-0.500.5-1.5-1-0.500.5XjYG(j)(=g)M(g)-150-100-50050L() (dB)10-310-210-1100101-270-225-180-135-90() (deg) (rad/sec)=gGm2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法17例5.14：计算幅值裕度和相位裕度已知如下二阶系统开环传递

14、函数，计算幅相裕度)0,( ,)2()(2nnnsssG解：（1）计算幅穿频率和相穿频率242222141)2()(ncnccncM（2）计算幅值裕度和相位裕度gn1802tg90lim)(lim1)(lg20)dB(gmMG)214/2(tg)(180241cmP2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法18例5.15：计算幅值裕度和相位裕度已知系统开环传递函数如下，计算幅相裕度) 2)(1(2 . 0)(ssssG解：使用MATLAB语句运算Gs = tf(0.2, conv(1 0,1 3 2)margin(Gs)-150-100-50050Magnitude (dB)10-210

15、-1100101102-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramGm = 29.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = 81.5 deg (at 0.0994 rad/sec)Frequency (rad/sec)2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法19灵敏度和余灵敏度函数定义：系统开环传递函数为G(s)，则系统的灵敏度函数S(s)和余灵敏度函数T(s)分别为)(11)(sGsS)(sR)(sY)(sC)(sD)(sN)(sP)(sU)(sE)()()()(),()()()()()()(),()()(sSsPsDsEsS

16、sPsDsYsSsNsEsSsRsE)()()(sCsPsG)()()()()()(,sTsNsYsTsRsY)(1)()(sGsGsT2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法20最大灵敏度希望指令、扰动和噪声对偏差的影响小，就是要求灵敏度函数小，或者系统偏差响应对这些输入不灵敏。S(j)幅值小的一种度量是其最大值有多大：ssMjGjSM1)(1min)(max，或者， 注释：最大灵敏度表示开环奈氏曲线与临界稳定点的最短距离。显然，系统的最大灵敏度越小，系统的相对稳定程度就越高。-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5XjY1/Ms2022-5-2第

17、5章 线性系统的频率响应分析法21例5.16：最大灵敏度值的计算计算如下开环系统的最大灵敏度：)2()(2nnsssG解：)( ,21)(2njjG2242224211)(1)(jGR28110)(2222ddR1814181412222minRMs2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法22最大余灵敏度余灵敏度函数既反映跟踪指令行为，也反映抑制噪声能力，二者不可兼得。定义：最大余灵敏度为余灵敏度函数频率响应的最大值，即)(maxjTMt2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法23最大余灵敏度值的计算单位反馈系统开环传函如下，计算其最大余灵敏度)2()(2nnsssG解：余灵敏

18、度函数的频率响应为)( ,2)1 (1)(1)()(2njjGjGjT)1 (4)12(14)1 (1)(2222222222jT22121)(max21jTMtn2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法24第5章 线性系统的频率响应分析频率响应特性频率响应的Bode图频率响应的Nyquist图Nyquist稳定性频率响应与系统性能2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法25开环频率响应与系统稳态性能系统的开环传递函数为) 1)(1() 1)(1()(2121ppvzzsTsTssTsTKsG除开稳定性，系统稳态性能取决于系统的误差系数：)(lim),(lim),(lim200

19、0sGsKssGKsGKsasvspL0pKlg20L01vdecdB /20vKlg20aKlg2001aLdecdB /40于是由伯德图左边第一段可得：0型系统1型系统2型系统)0(lg201LKp) 1 (lg201LKvvvvKL0)() 1 (lg201LKa20)(aaaKL2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法26闭环频率响应与系统稳态性能单位反馈系统的跟踪传递函数为 ，)(/ )()(sRsYs 其误差信号为： 。)(1)()()()(ssRsYsRsE于是，单位阶跃激励时的稳态误差为：)0(1)(lim0ssEesss单位斜坡激励时稳态误差为：) 1)0(),0()(1lim)(lim00ssssEessss单位加速度激励时稳态误差为：)0)0(, 1)0( ,2)0(2)(lim)(1lim020 ssssessss2022-5-2第5章 线性系统的频率响应分析法27二阶开环频率响应的动态性能典型二阶系统开环传函为：)2()(2nnsssG00.20.40.60.8100.20.40.60.811.21/Ms & Pm (rad) Pm1/Ms2212142tgmP1481