第4章 连续信号与系统复频域分析

1、拉普拉斯变换拉普拉斯变换4.1典型信号的拉普拉斯变换典型信号的拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质4.3 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系4.5连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析4.6拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换4.4连续时间系统的稳定性连续时间系统的稳定性4.9 由系统函数的零、极点分析系统特性由系统函数的零、极点分析系统特性4.8系统函数系统函数4.7系统的信号流系统的信号流4.10 傅里叶变换分析法在信号分析和处理傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波成分、系统的频率响等方面（如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、

2、滤波等）是十分有应、波形失真、抽样、滤波等）是十分有效的。效的。 但在应用这一方法时，信号但在应用这一方法时，信号f(t)必须满必须满足狄里赫勒条件。足狄里赫勒条件。 而实际中会遇到许多信号，例如阶跃而实际中会遇到许多信号，例如阶跃信号信号 (t)、斜坡信号、斜坡信号t (t)、单边正弦信号、单边正弦信号sint (t)等，它们并不满足绝对可积条件，等，它们并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。变换。 虽然通过求极限的方法可以求得它们虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲的傅里叶变换，但其变换式中常常含

3、有冲激函数，使分析计算较为麻烦。激函数，使分析计算较为麻烦。 此外，还有一些信号，如单边指数信此外，还有一些信号，如单边指数信号号e t (t) ( 0)，则根本不存在傅里叶变换，则根本不存在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用便受到一定的限因此，傅里叶变换的运用便受到一定的限制，其次，求取傅里叶反变换有时也是比制，其次，求取傅里叶反变换有时也是比较困难的，此处尤其要指出的是傅里叶变较困难的，此处尤其要指出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应，这对具有换分析法只能确定零状态响应，这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便初始状态的系统确定其响应也是十分不便的。的。 因此，有必要寻求更有效而简

4、便的方因此，有必要寻求更有效而简便的方法，人们将傅里叶变换推广为拉普拉斯变法，人们将傅里叶变换推广为拉普拉斯变换（换（LT: Laplace Transform）。）。 本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换，对拉普拉斯变换给出一定的物理解变换，对拉普拉斯变换给出一定的物理解释；然后讨论拉普拉斯正、反变换以及拉释；然后讨论拉普拉斯正、反变换以及拉普拉斯变换的一些基本性质，并以此为基普拉斯变换的一些基本性质，并以此为基础，着重讨论线性系统的复频域分析法；础，着重讨论线性系统的复频域分析法；应用系统函数及其零极点来分析系统的时应用系统函数及其零极点来分析系统的时域特性

5、、频域特性等。域特性、频域特性等。 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号信号f(t)之所以不能满足绝对可积的条件，之所以不能满足绝对可积的条件，是由于当是由于当t或或t - 时，时，f ( t )不趋于零。不趋于零。 如果用一个实指数函数如果用一个实指数函数e- t去乘去乘f(t)，只要只要 的数值选择得适当，就可以克服这的数值选择得适当，就可以克服这个困难。个困难。 例如，对于信号例如，对于信号0e0e)(tttftatb 式中式中a、b都是正实数，且都是正实数，且a b 。只要。只要选择选择a b，就能保证当，就能保证当 t 和和 t 时，时，f ( t

6、)e- t 均趋于零。均趋于零。 通常把通常把e- t 称为收敛因子。称为收敛因子。f ( t )乘以收乘以收敛因子敛因子e- t 后的信号后的信号f ( t )e- t的傅里叶变换的傅里叶变换为为ttftftttdee)(e)(jFttftde )()j( 它是它是 的函数，可写成的函数，可写成jttfFtde )(j)j(记为记为ttfsFstde)()(其傅氏反变换为其傅氏反变换为 desFetftjt)(21)(最后得到最后得到 dtetfsFst)()(（4.1-54.1-5） f tjF s edss tjj( ) 12（4.1-64.1-6） 式（式（4.1-5）称为）称为f (

7、t)的双边拉普拉斯变的双边拉普拉斯变换换(bilateral Laplace Transform)，称，称F(s）是是f ( t )的象函数。的象函数。 而式而式 (4.1-6) 是是F（s）的双边拉普拉斯）的双边拉普拉斯反变换，称反变换，称 f (t) 是是F(s)的原函数。的原函数。 式（式（4.1-5）和（）和（4.1-6）称为双边拉普）称为双边拉普拉斯变换对，可以用双箭头表示拉斯变换对，可以用双箭头表示f ( t )与与F(s)之间这种变换与反变换的关系之间这种变换与反变换的关系)()(),()(sFtftfsF-1LL记)()(sFtf 从上述由傅氏变换导出双边拉普拉从上述由傅氏变换

8、导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出，斯变换的过程中可以看出，f (t) 的双边的双边拉普拉斯变换拉普拉斯变换F(s)=F( )是把是把f (t)乘乘以以e - t之后再进行的傅里叶变换，或者之后再进行的傅里叶变换，或者说说F(s)是是f ( t ) 的广义傅里叶变换。的广义傅里叶变换。j 而而f (t)e - t 较容易满足绝对可积的条件，较容易满足绝对可积的条件，这就意味着许多原来不存在傅里叶变换的这就意味着许多原来不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换，即双边拉普信号都存在广义傅里叶变换，即双边拉普拉斯变换，于是，拉普拉斯变换扩大了信拉斯变换，于是，拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围。

9、号的变换范围。 拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于：傅里叶变换是将时间域函数别在于：傅里叶变换是将时间域函数f ( t )变换为频率域函数变换为频率域函数F( )，或作相反的变换，或作相反的变换，此处时域变量此处时域变量 t 和频域变量和频域变量 都是实数；都是实数；而拉普拉斯变换则是将时间域函数而拉普拉斯变换则是将时间域函数f ( t ) 变变换为复频域函数换为复频域函数F(s)，或作相反的变换，或作相反的变换，这里时域变量这里时域变量 t 是实数，复频变量是实数，复频变量 s 是复是复数。数。 概括地说，傅里叶变换建立了时概括地说，傅里叶变换建立了时域和

10、频域域和频域 ( 域域) 间的联系，而拉普拉间的联系，而拉普拉斯变换则建立了时域和复频域（斯变换则建立了时域和复频域（S域）域）间的联系。间的联系。 从以上讨论可知，当信号从以上讨论可知，当信号f (t)乘以收敛乘以收敛因子因子e- t后，就有可能满足绝对可积的条件。后，就有可能满足绝对可积的条件。 然而，是否一定满足，还要看然而，是否一定满足，还要看f (t)的性的性质与质与 值的相对关系而定。值的相对关系而定。 也就是说，对于某一函数也就是说，对于某一函数f (t)，通常并，通常并不是在所有的不是在所有的 值上都能使式值上都能使式(4.1-5)的积的积分收敛，即并不是对所有的分收敛，即并不

11、是对所有的 值而言，函值而言，函数数 f ( t )都存在拉普拉斯变换，而只是在都存在拉普拉斯变换，而只是在 值的一定范围内，值的一定范围内，f ( t )才存在拉普拉斯才存在拉普拉斯变换。变换。 通常把使通常把使 f (t)e- t 满足绝对可积条件的满足绝对可积条件的 值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域 ( ROC: region of convergence )。 在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。存在。 双边拉普拉斯变换对并不一一对应，双边拉普拉斯变

12、换对并不一一对应，即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式，即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完全不由于收敛域不同，可能会对应两个完全不同的时间函数。同的时间函数。 因此，双边拉普拉斯变换必须标明收因此，双边拉普拉斯变换必须标明收敛域。敛域。 考虑到实际中遇到的信号都是有始考虑到实际中遇到的信号都是有始（因果）信号，即（因果）信号，即 t 0 (4.1-9 0 (4.1-9）记为记为-1 F(s)。即。即F(s) = f (t) 和和 f (t) = 1 F (s) 式（式（4.1-8）中积分下限用）中积分下限用0而不用而不用0，目的是可把目的是可把t = 0时出现的

13、冲激考虑到变换中时出现的冲激考虑到变换中去，当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时，去，当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时，可以直接引用已知的起始状态可以直接引用已知的起始状态f (0)而求得全而求得全部结果，无需专门计算部结果，无需专门计算0到到0的跳变。的跳变。 由于在分析因果系统，特别是具有非由于在分析因果系统，特别是具有非零初始条件的线性常系数微分方程时，单零初始条件的线性常系数微分方程时，单边拉普拉斯变换具有重要价值，所以，我边拉普拉斯变换具有重要价值，所以，我们在下文中讨论的拉普拉斯变换（简称拉们在下文中讨论的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）都是指单边拉普拉斯变换。氏变换）都是指单边拉普拉

14、斯变换。 如果因果信号如果因果信号f ( t )满足：满足：（1）在有限区间）在有限区间a t b内（内（0 a b 0，拉普拉斯变换，拉普拉斯变换积分式（积分式（4.1-8）绝对且一致收敛。即）绝对且一致收敛。即f ( t )存在拉普拉斯变换。存在拉普拉斯变换。 0为最低限度的为最低限度的 值，称为收敛坐标值，称为收敛坐标( abscissa of convergence )，它的取值与函，它的取值与函数数f ( t ) 的性质有关。的性质有关。 经过经过 0的垂直线是收敛边界，或称为的垂直线是收敛边界，或称为收敛轴。收敛轴。 由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由

15、Res = 0的半平面组成，因此其收敛的半平面组成，因此其收敛域都位于收敛轴的右边。域都位于收敛轴的右边。 凡满足式凡满足式(4.1-10)的函数的函数f ( t )称为称为“指指数阶函数数阶函数”，意思是可借助于指数函数的，意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下可能存在的发散性压下去，使之成为收敛函数。去，使之成为收敛函数。 由于由于(单边单边)拉氏变换的收敛域是由拉氏变换的收敛域是由Re(s) 0的半平面组成，收敛域比较容易确定，的半平面组成，收敛域比较容易确定，故在一般情况下，不再加注其收敛域。故在一般情况下，不再加注其收敛域。 我们在此再强调

16、一下，以后讨论的拉我们在此再强调一下，以后讨论的拉普拉斯变换是指单边拉普拉斯变换。普拉斯变换是指单边拉普拉斯变换。 下面给出一些典型信号的拉氏变换。下面给出一些典型信号的拉氏变换。 因为因为f (t)与与f (t) 的单边拉氏变换的单边拉氏变换相同，因此假定这些信号都是有始信号。相同，因此假定这些信号都是有始信号。)(tstet1)(st1)(20200)(sinstt2020)(cosssttettst sin( )()002022020)()(cosssttet1)(t1!)(nnsntt22)(sinhstt22)(coshsstt 在实际应用中，人们常常不是利用定在实际应用中，人们常常

17、不是利用定义式计算拉氏变换，而是巧妙地利用拉氏义式计算拉氏变换，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质。变换的一些基本性质。 这些性质与傅里叶变换性质极为相似，这些性质与傅里叶变换性质极为相似，在某些性质中，只要把傅氏变换中的在某些性质中，只要把傅氏变换中的j 用用s替代即可。替代即可。 但是，傅氏变换是双边的，而这里讨但是，傅氏变换是双边的，而这里讨论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。有差别。 有些性质与傅氏变换相类似。有些性质与傅氏变换相类似。 1 线性线性2 时移性时移性3 比例性（尺度变换）比例性（尺度变换）4 频移性频移性5 时域微分时域微分

18、6 时域积分时域积分7 初值定理初值定理8终值定理终值定理 拉氏变换还有一些其它性质，如时域拉氏变换还有一些其它性质，如时域卷积和复频域卷积等，它们与傅氏变换的卷积和复频域卷积等，它们与傅氏变换的性质类似，不再重复。性质类似，不再重复。 表表4-2列出了常用拉氏变换的性质。列出了常用拉氏变换的性质。 从象函数从象函数F(s)求原函数求原函数f (t)的过程称为的过程称为拉普拉斯反变换。拉普拉斯反变换。 简单的拉普拉斯反变换只要应用表简单的拉普拉斯反变换只要应用表4-1以及上节讨论的拉氏变换的性质便可得到以及上节讨论的拉氏变换的性质便可得到相应的时间函数。相应的时间函数。 求取复杂拉氏变换式的反

19、变换通常有求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式展开法和围线积分法。两种方法：部分分式展开法和围线积分法。 前者是将复杂变换式分解为许多简单前者是将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原信变换式之和，然后分别查表即可求得原信号，它适合于号，它适合于F(s)为有理函数的情况；后为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分，它的适用者则是直接进行拉氏变换积分，它的适用范围更广。范围更广。 常见的拉氏变换式是常见的拉氏变换式是s的多项式之比的多项式之比（有理函数），一般形式是：（有理函数），一般形式是：)()()(sDsNsF 式中式中N(s)和和D(s)分别为分别

20、为F(s)的分子多项的分子多项式和分母多项式。式和分母多项式。 ai ( i= 0,1,n) , bj (j = 0,1,m)均为均为实数。实数。 如果如果N(s)的阶次比的阶次比D(s)的阶次高，则的阶次高，则要用长除法将要用长除法将F(s)化成多项式与真分式之化成多项式与真分式之和，即和，即)()()(sDsNsF商商+ +真分式真分式（4.4-2 4.4-2 ） 由于商多项式的拉氏反变换是冲激函由于商多项式的拉氏反变换是冲激函数及其各阶导数可由微分性质直接求得。数及其各阶导数可由微分性质直接求得。 所以只需讨论真分式多项式的拉氏反所以只需讨论真分式多项式的拉氏反变换。变换。 下面着重讨论

21、是真分式时的拉氏反变下面着重讨论是真分式时的拉氏反变换，可以将其分为以下三种情况：换，可以将其分为以下三种情况： 1. D(s) = 0的根都是相异实根的根都是相异实根因式分解为因式分解为)()()(21nnssssssasD2. D(s) = 0有复根且无重复根有复根且无重复根)()()(2221cbssssssssasDnn)(21cbsssD)()()()()(11221sDsNcbssksksDsNsF其中其中的反变换可用配方法。cbssksk 2213. D(s) = 0的根为重根的根为重根可写成则重根只有一个若)(,0)(sDpsD)()()()(11nppnssssssasD)(

22、)()()()()()(11111211211) 1( 111sDsNsskssksskssksFpppp同样，可求得反变换。同样，可求得反变换。拉普拉斯反变换式是拉普拉斯反变换式是 f tjF s e dss tjj( ) 12 拉氏反变换的运算转换为求被积函数拉氏反变换的运算转换为求被积函数在各极点上的留数。在各极点上的留数。0,e )( sRe)(tsFtfksst s 由于拉氏变换是由傅氏变换推广而来，由于拉氏变换是由傅氏变换推广而来，当当 0 时，拉氏变换就是傅氏变换。时，拉氏变换就是傅氏变换。 对于有始信号，即对于有始信号，即t 0 傅氏变换不存在。不能由拉氏变换去傅氏变换不存在。

23、不能由拉氏变换去求得其傅氏变换。求得其傅氏变换。 2 0 0 在拉氏变换式中令在拉氏变换式中令 s=j , 就可得到傅就可得到傅氏变换。氏变换。 3. 0 = 0 这时傅氏变换中必然包含有冲激函数这时傅氏变换中必然包含有冲激函数或它们的导数。或它们的导数。 4.6.1 微分方程的复频域分析微分方程的复频域分析 对于任何一个线性时不变系统都可用对于任何一个线性时不变系统都可用下列常系数线性微分方程来描述。下列常系数线性微分方程来描述。 以二阶常系数线性微分方程为例：以二阶常系数线性微分方程为例：)()()()()(01012txbtxbtyatyatya 对上式两边取拉氏变换，并假定为有始对上式

24、两边取拉氏变换，并假定为有始函数，即函数，即t 0时，时， x(t)= 0，因而，因而，x(0-)=x(0-)=0 。 利用时域微分性质，有利用时域微分性质，有)()(01sXbssXb)()0()()0()0()(0122sYayssYaysysYsa 由此可见，时域中的微分方程已转换由此可见，时域中的微分方程已转换为复频域中的代数方程，并且自动地引入为复频域中的代数方程，并且自动地引入初始状态，这样十分便于直接求出全响应。初始状态，这样十分便于直接求出全响应。 全响应的象函数为全响应的象函数为0122122012201)0()0()0()()(asasayayasyasXasasabsbs

25、Y)()(sYsYzizs 上式表明响应由两部分组成。上式表明响应由两部分组成。 一部分是由激励产生的零状态响应；一部分是由激励产生的零状态响应；另一部分是系统的初始状态产生的零输入另一部分是系统的初始状态产生的零输入响应。响应。系统函数的定义：系统函数的定义：阶导数的初始状态的表示响应式中，ityyi)()0()()()()(sXsYsHzs 它是零状态响应的拉氏变换与激励的它是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比，称为系统函数。拉氏变换之比，称为系统函数。 对对Y(s) 进行反变换，可得全响应的时进行反变换，可得全响应的时域表达式：域表达式：)()()()()()(111tytysYL

26、sYLsYLtyzizszizs 当人们在复频域内分析具体电路时，当人们在复频域内分析具体电路时，此时可不必先列写微分方程，再用拉氏变此时可不必先列写微分方程，再用拉氏变换进行分析，而是先根据复频域电路模型，换进行分析，而是先根据复频域电路模型，从电路中直接列写求解复频域响应的代数从电路中直接列写求解复频域响应的代数方程，然后求解复频域响应并进行拉氏反方程，然后求解复频域响应并进行拉氏反变换。变换。 下面先介绍电路元件的复频域模型。下面先介绍电路元件的复频域模型。 电阻元件的电压与电流的时域关系为电阻元件的电压与电流的时域关系为)()(tRitRR 将上式两边取拉氏变换，得将上式两边取拉氏变换

27、，得)()(sRIsVRR（4.6-94.6-9） 由式（由式（4.6-9）可得到电阻元件的复频）可得到电阻元件的复频域模型如图域模型如图4.6-1所示。所示。 显然，电阻元件的复频域模型与时域显然，电阻元件的复频域模型与时域模型具有相同的形式。模型具有相同的形式。+ -)(sVR)(sIR+ -)(tvR)(tiR 电容元件的电压与电流的时域关系为电容元件的电压与电流的时域关系为)0()(1)(0ctcCvdiCt 将上式两边取拉氏变换，得将上式两边取拉氏变换，得)0(1)(1)(CcCssIsCsV（4.6-104.6-10）或或)0()()(ccccvsscVsI（4.6-114.6-1

28、1） 上式表明，一个具有初始电压的电容上式表明，一个具有初始电压的电容元件，其复频域模型为一个复频容抗与一元件，其复频域模型为一个复频容抗与一个大小为的电压源相串联，或者是与一个个大小为的电压源相串联，或者是与一个大小为的电流源并联，如图大小为的电流源并联，如图4.6-2所示。所示。)(sIc+ -)(svc)0(1cvs+ -sc1)(sIc+ -)(svc)0(ccvsc1 电感元件的电压与电流的时域关系为电感元件的电压与电流的时域关系为dttdiLtLL)()( 将上式两边取拉氏变换，得将上式两边取拉氏变换，得)0()()(LLLLissLIsV（4.6-124.6-12）或或sisVs

29、LsILLL)0()(1)(（4.6-134.6-13） 上式表明，一个具有初始电流的电感上式表明，一个具有初始电流的电感元件，其复频域模型为一个复频感抗与一元件，其复频域模型为一个复频感抗与一个大小为的电压源相串联，或者是与一个个大小为的电压源相串联，或者是与一个大小为的电流源相并联，如图大小为的电流源相并联，如图4.6-3所示。所示。sL+ -)(sVL)0(LLi)(sIL- +sL+ -)(sVLsiL)0()(sIL 把电路中每个元件都用它的复频域模把电路中每个元件都用它的复频域模型来代替，将信号源及各分析变量用其拉型来代替，将信号源及各分析变量用其拉氏变换式代替，就可由时域电路模型

30、得到氏变换式代替，就可由时域电路模型得到复频域电路模型。复频域电路模型。 在复频域电路中，电压在复频域电路中，电压V(s)与电流与电流I ( s ) 的关系是代数关系，可以应用与电阻电路的关系是代数关系，可以应用与电阻电路一样的分析方法与定理列写求解响应的变一样的分析方法与定理列写求解响应的变换式。换式。 如如1.4节所述，系统可以借助时域模拟节所述，系统可以借助时域模拟图来表示。图来表示。 与在复频域内分析电路一样，在复频与在复频域内分析电路一样，在复频域内分析模拟图时，无需先列写微分方程，域内分析模拟图时，无需先列写微分方程，再用拉氏变换进行分析。再用拉氏变换进行分析。 通常根据系统的时域

31、模拟图画出其相通常根据系统的时域模拟图画出其相应的复频域（应的复频域（S域）模拟图，然后直接列写域）模拟图，然后直接列写复频域响应的代数方程，在复频域内求解，复频域响应的代数方程，在复频域内求解，这将使运算简化。这将使运算简化。 对基本运算器的输入对基本运算器的输入-输出关系取拉氏输出关系取拉氏变换，可得运算器的复频域输入变换，可得运算器的复频域输入-输出关系，输出关系，由此得到复频域模型。由此得到复频域模型。 加法器、标量乘法器和积分器的复频加法器、标量乘法器和积分器的复频域模型如表域模型如表4-3所示。所示。4.7.1系统函数与零状态响应系统函数与零状态响应 系统函数系统函数H(s)是在零

32、状态条件下系统是在零状态条件下系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。换之比。 式（式（4.6-1）表示的线性时不变系统，）表示的线性时不变系统，其系统函数由式（其系统函数由式（4.6-7）给出，即）给出，即01110111)(asasasabsbsbsbsHnnnnmmmm （4.7-14.7-1） 可见，已知系统时域描述的微分方程可见，已知系统时域描述的微分方程就很容易直接写出系统复频域描述的系统就很容易直接写出系统复频域描述的系统函数，反之亦然。函数，反之亦然。 系统函数仅决定于系统本身的特性，系统函数仅决定于系统本身的特性，与系统的激励无关，

33、它在系统分析与综合与系统的激励无关，它在系统分析与综合中占有重要地位。中占有重要地位。由于由于 YZS(s) = H(s) X(s)当系统的激励为当系统的激励为 (t) 时，零状态响应为时，零状态响应为h(t)，故故 h(t) = H(s) (t) =H(s) ( 4.7-2） 即系统函数即系统函数H(s)与冲激响应与冲激响应h(t)是一对是一对拉氏变换。拉氏变换。 h(t)与与H(s)分别从时域和复频域两个方分别从时域和复频域两个方面表征了同一系统的特性。面表征了同一系统的特性。 在时域、频域和复频域，系统的输入在时域、频域和复频域，系统的输入和零状态输出的关系由频域和复频域卷积和零状态输出

34、的关系由频域和复频域卷积定理相联系。定理相联系。 当系统的激励为当系统的激励为)()(1tetxts时，时， 系统的零状态响应由卷积积分可求得系统的零状态响应由卷积积分可求得为为)()(10111sHedehetssts dehedehtyststszs111)()()()(（4.7-34.7-3） 上式表明，若激励是无时限的复指数上式表明，若激励是无时限的复指数信号时，则因果系统的零状态响应也是全信号时，则因果系统的零状态响应也是全响应仍为相同复频率的指数信号，但被加响应仍为相同复频率的指数信号，但被加权了权了H(s)。 或者说，只要将激励乘以系统函数或者说，只要将激励乘以系统函数H(s)便

35、可求得响应（条件是：便可求得响应（条件是：s位于位于H(s)的收敛的收敛域内，即位于域内，即位于H(s)的最右极点的右边）。的最右极点的右边）。 因此，用拉氏变换法分析系统的零状因此，用拉氏变换法分析系统的零状态响应，实质上就是将激励信号分解为许态响应，实质上就是将激励信号分解为许多不同复频率的复指数分量之和，即多不同复频率的复指数分量之和，即x tjX s e dsjjst( )( ) 12 其中每个复指数分量的响应由式（其中每个复指数分量的响应由式（4.7-3）可得为，最后将这些响应分量迭加，即得系可得为，最后将这些响应分量迭加，即得系统的零状态响应统的零状态响应ytjX s H s e

36、dsZSjjst( )( )( ) 12即即ytjYs e dsZSZSjjst( )( ) 12（4.7-44.7-4） 综上所述，系统函数可以由零状态条综上所述，系统函数可以由零状态条件下从系统的微分方程经过拉氏变换求得，件下从系统的微分方程经过拉氏变换求得，或从系统的冲激响应求拉氏变换而得到。或从系统的冲激响应求拉氏变换而得到。 对于具体的电路，系统函数还可以用对于具体的电路，系统函数还可以用零状态下的复频域等效电路（模型）求得。零状态下的复频域等效电路（模型）求得。 在工程分析中，人们较喜欢采用方框在工程分析中，人们较喜欢采用方框图的表示形式，因此系统可以用框图表示。图的表示形式，因此

37、系统可以用框图表示。 一个大系统可以由许多子系统作适当一个大系统可以由许多子系统作适当联接组成，当各子系统的系统函数已知时，联接组成，当各子系统的系统函数已知时，可通过框图化简求得总系统的系统函数。可通过框图化简求得总系统的系统函数。 系统的基本联接方式有级联、并联及系统的基本联接方式有级联、并联及反馈三种。反馈三种。 如图如图4.7-3所示。两个子系统的系统函所示。两个子系统的系统函数分别为数分别为H1(s)和和H2(s)，整个系统的系统函，整个系统的系统函数为数为)()()(21sHsHsH)(1sH)(2sHX(s)Y(s)（4.7-54.7-5） 即，子系统级联时，总系统函数为各即，子

38、系统级联时，总系统函数为各个子系统函数之积。个子系统函数之积。 如图如图4.7-4所示。图中表示加法器或称所示。图中表示加法器或称“和点和点”，在，在X(s)后面的后面的A点叫做点叫做“分点分点”。)()()(21sHsHsH（4.7-64.7-6） 即，子系统并联时，总系统函数为各即，子系统并联时，总系统函数为各个子系统函数之和。个子系统函数之和。X(s)(2sH)(1sHY(s) 图图4.7-5表示子系统表示子系统H1(s)的输出信号反的输出信号反馈到输入端的情况，其中馈到输入端的情况，其中H1(s)称为正向通称为正向通路的系统函数，路的系统函数，H2(s)称为反馈通路的系统称为反馈通路的

39、系统函数，函数，“+”号表示正反馈，即输入信号与号表示正反馈，即输入信号与反馈信号相加，反馈信号相加， “”号表示负反馈，即号表示负反馈，即输入信号与反馈信号相减。输入信号与反馈信号相减。 没有反馈通路的系统称为开环系统，没有反馈通路的系统称为开环系统，有了反馈通路则成闭环系统。有了反馈通路则成闭环系统。 在有反馈时的总系统函数为在有反馈时的总系统函数为)()(1)()()()(211sHsHsHsXsYsH （4.7-74.7-7） 对于负反馈的情况，上式分母中取正对于负反馈的情况，上式分母中取正号；号；(对于正反馈的情况，上式分母中取负对于正反馈的情况，上式分母中取负号。号。)(sEX(s

40、)Y(s)(2sH)(1sH-4.8.1系统函数的零点与极点系统函数的零点与极点 一般来说，线性系统的系统函数是以一般来说，线性系统的系统函数是以多项式之比的形式出现的。多项式之比的形式出现的。 将式将式(4.7-1)给出的系统函数的分子、给出的系统函数的分子、分母进行因式分解，进一步可得分母进行因式分解，进一步可得)()()()()()(0110为标量系数HpszsHsDsNsHnkkmjj 当一个系统函数的全部零点、极点及当一个系统函数的全部零点、极点及确定后，这个系统函数也就可以完全确定。确定后，这个系统函数也就可以完全确定。 由于由于H0只是一个比例常数，对的函数只是一个比例常数，对的

41、函数形式没有影响，所以一个系统随变量形式没有影响，所以一个系统随变量s变化变化的特性可以完全由它的零点和极点表示。的特性可以完全由它的零点和极点表示。 把系统函数的零点和极点绘在把系统函数的零点和极点绘在S平面平面上的图形叫做系统函数的零、极点图。上的图形叫做系统函数的零、极点图。其中零点用其中零点用“o”表示，极点用表示，极点用“ ”表表示。若为示。若为n重零点或极点，则注以重零点或极点，则注以( n )。 一个实际电系统的参数（如一个实际电系统的参数（如R、L、C等）必为实数，故系统函数的分子多项式等）必为实数，故系统函数的分子多项式和分母多项式系数和分母多项式系数bj (j=0,1,m)

42、和和ai ( i=0,1,n)必均为实数，因而实际系统的必均为实数，因而实际系统的系统函数必定是复变量系统函数必定是复变量s的实有理函数，它的实有理函数，它的零点或极点一定是实数或成对出现的共的零点或极点一定是实数或成对出现的共轭复数。轭复数。 借助系统函数在借助系统函数在S平面的零、极点分布平面的零、极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律，以统一的观点阐明系统诸方的许多规律，以统一的观点阐明系统诸方面的性能。面的性能。 系统的时域、频域特性集中地以其系系统的时域、频域特性集中地以其系统的零、极点分布表现出来。统的零、极点分布表现出来。 从的

43、零、极点的分布不仅可以揭示系从的零、极点的分布不仅可以揭示系统的时域特性的规律，而且还可用来阐明统的时域特性的规律，而且还可用来阐明系统的频率响应特性和系统的稳定性等方系统的频率响应特性和系统的稳定性等方面的性能。面的性能。1. 由系统函数的零、极点分布确定系统的由系统函数的零、极点分布确定系统的冲激响应的模式冲激响应的模式 系统函数系统函数 H(s) 与冲激响应与冲激响应h(t)是一对是一对拉氏变换，因此根据拉氏变换，因此根据H(s)的零、极点分布的零、极点分布就可以确定系统的冲激响应的模式。就可以确定系统的冲激响应的模式。 （1） 若的极点位于若的极点位于S平面的原点，如，则平面的原点，如

44、，则h(t) = (t) ，冲激响应的模式为阶跃函数。，冲激响应的模式为阶跃函数。 （2） 若的极点位于若的极点位于S平面的正实轴上，如，平面的正实轴上，如，则则h(t) =e t (t) ，冲激响应的模式为增长指，冲激响应的模式为增长指数函数；若的极点位于数函数；若的极点位于S平面的负实轴上，平面的负实轴上，如，则如，则h ( t ) = e- t (t) ，冲激响应的模式为，冲激响应的模式为衰减指数函数。衰减指数函数。（3）若的极点位于）若的极点位于S平面的虚轴（极点平面的虚轴（极点必以共轭形式出现）上，如必以共轭形式出现）上，如2020)(ssH 则则 ，冲激响应的模式，冲激响应的模式为

45、等幅振荡。为等幅振荡。)(sin)(0ttth（4） 若的共轭极点位于若的共轭极点位于S右半平面，右半平面，如如2020)()(ssH)(sin)(0ttetht则则冲激响应的模式为增幅或减幅振荡。冲激响应的模式为增幅或减幅振荡。 以上分析了的极点与冲激响应模式的以上分析了的极点与冲激响应模式的关系。关系。 零点分布的情况只影响冲激响应的幅零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相位，而对冲激响应模式没有影响。度和相位，而对冲激响应模式没有影响。 2. 由系统函数的零极点分布确定系统全响由系统函数的零极点分布确定系统全响应模式应模式H(s)与系统全响应模式之间的关系与系统全响应模式之间的关系)()

46、()(sYsYsYzizs)()()(sYsXsHzi(1). 零状态响应零状态响应)(tyzsH H( (s s) )的极点确定零状态响应中的极点确定零状态响应中自然自然响应响应的模式的模式X(s)X(s)的极点确定零状态响应中的极点确定零状态响应中强制响应强制响应的模式的模式 当的极点与的零点或的零点与的极点当的极点与的零点或的零点与的极点相消时，就会使的极点所对应的自然响应相消时，就会使的极点所对应的自然响应模式或的极点所对应的强制响应模式消失。模式或的极点所对应的强制响应模式消失。(2). (2). 零输入响应零输入响应)(tyzi 故零输入响应（自然响应）的模式由故零输入响应（自然响

47、应）的模式由D D( (s s)=0)=0的根确定，它的幅度和相位则与初始状态有关。的根确定，它的幅度和相位则与初始状态有关。 这里这里D(s)=0称为系统的特征方程，其称为系统的特征方程，其根称为特征根或系统的固有频率。根称为特征根或系统的固有频率。 可以说，零输入响应的模式由系统的可以说，零输入响应的模式由系统的固有频率确定。固有频率确定。 如果如果H(s)没有零、极点相消，则特征方没有零、极点相消，则特征方程程D(s)=0的根也就是的根也就是H(s)的极点，则零输的极点，则零输入响应的模式由入响应的模式由H(s)的极点确定。的极点确定。 但是，当但是，当H(s)的零极点相消时，系统的零极

48、点相消时，系统的某些固有频率在的某些固有频率在H(s)的极点中将不再出的极点中将不再出现，这时零输入响应的模式不再由现，这时零输入响应的模式不再由H(s)的的极点确定，但极点确定，但H(s)的零极点是否相消，并的零极点是否相消，并不影响零状态响应的模式。不影响零状态响应的模式。 这一现象说明，系统函数一般只用于这一现象说明，系统函数一般只用于研究系统研究系统H(s)的零状态响应。的零状态响应。 系统的完全响应系统的完全响应y(t)也可以分为暂态响也可以分为暂态响应和稳态响应。应和稳态响应。 随着时间随着时间 t 的增大而衰减为零的部分的增大而衰减为零的部分为暂态响应，其余部分为稳态响应。为暂态

49、响应，其余部分为稳态响应。 暂态响应与暂态响应与H(s)和和X(s)都有关系。都有关系。 当当H(s)和和X(s)的极点都在的极点都在S域左半平面域左半平面时，暂态响应等于自然响应与强制响应之时，暂态响应等于自然响应与强制响应之和，稳态响应等于零。和，稳态响应等于零。 若若X(s)的极点实部大于或等于零，即的极点实部大于或等于零，即Repi ；或者极点在原点，仍假定；或者极点在原点，仍假定H(s)的的极点极点Repi 0，此情况下，自然响应就是，此情况下，自然响应就是暂态响应，强制响应就是稳态响应。暂态响应，强制响应就是稳态响应。 系统函数系统函数H(s)在在S平面的零、极点分布平面的零、极点

50、分布与其频率特性有直接关系。与其频率特性有直接关系。 利用系统函数的零、极点分布就可以利用系统函数的零、极点分布就可以借助几何作图法确定系统的频率响应特性借助几何作图法确定系统的频率响应特性（简称频响特性）。（简称频响特性）。 若系统函数的极点均位于若系统函数的极点均位于S左半平面，左半平面，那么它在虚轴上（那么它在虚轴上（s = j ）也收敛，令）也收敛，令s = j ，也就是在，也就是在S平面中令平面中令s只沿虚轴变化，只沿虚轴变化，则则H(s)| s= j =H(j )或写作或写作H( )即为系统的即为系统的频响特性。频响特性。 在式（在式（4.8-1）系统函数）系统函数H(s) 的表达

51、式的表达式中，令中，令s = j ，则得：，则得：)()j ()j ()(0110为标量系数HpzHHnkkmjj 可以看出，频响特性取决于系统的零、可以看出，频响特性取决于系统的零、极点分布。极点分布。 即取决于即取决于zj=pk的位置，的位置，H0是系数，对是系数，对频响特性无关紧要。频响特性无关紧要。 式（式（4.8-6）分母中任一极点因子）分母中任一极点因子（ j -pk）相当于由极点）相当于由极点pk引向虚轴上某点引向虚轴上某点j 的一个矢量，称为极点矢量；分子中任的一个矢量，称为极点矢量；分子中任一零点因子（一零点因子（ j -zj）相当于由零点）相当于由零点zj引向引向虚轴上某点

52、虚轴上某点j 的一个矢量，称为零点矢量。的一个矢量，称为零点矢量。 图图4.8-5中画出了由零点中画出了由零点zj和极点和极点pk与虚与虚轴上某点轴上某点j 联接构成的零点矢量联接构成的零点矢量j - zj和极和极点矢量点矢量j - pk 。 图中图中Nj、Mk分别表示零点矢量和极点分别表示零点矢量和极点矢量的模，矢量的模， j、 k分别表示零点矢量和极分别表示零点矢量和极点矢量的辐角。即点矢量的辐角。即 j - zj = Nj j - pk = Mk （4.8-7） 于是，幅频特性为于是，幅频特性为 nkkmjjMNHH110)(（4.8-94.8-9） 相频特性为相频特性为 mjnkkj1

53、1)(（4.8-104.8-10） 当当 自原点沿虚轴运动并趋于无穷大自原点沿虚轴运动并趋于无穷大时，各零点矢量和极点矢量的模和辐角都时，各零点矢量和极点矢量的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性和相频特性随之改变，于是得出幅频特性和相频特性曲线。曲线。 讨论可知，如果系统函数的某一极点讨论可知，如果系统函数的某一极点十分靠近虚轴时，则当角频率十分靠近虚轴时，则当角频率 在该极点在该极点虚部附近处时，幅频特性有一峰值，相频虚部附近处时，幅频特性有一峰值，相频特性急剧减小。特性急剧减小。 类似地，如果系统函数有一零点十分类似地，如果系统函数有一零点十分靠近虚轴时，则当角频率靠近虚轴时，则当角频率

54、 在该零点虚部在该零点虚部附近处时，幅频特性有一谷值，相频特性附近处时，幅频特性有一谷值，相频特性急剧增大。急剧增大。4.9.1 稳定系统稳定系统 稳定系统是指对于有界的激励产生有稳定系统是指对于有界的激励产生有界的响应（界的响应（BIBO）的系统。）的系统。 如果对于有界的激励产生无限增大的如果对于有界的激励产生无限增大的响应，则系统是不稳定的。响应，则系统是不稳定的。 稳定性是系统本身特性的反映，系统稳定性是系统本身特性的反映，系统是否稳定与激励今后的情况无关。是否稳定与激励今后的情况无关。 设连续时间系统的输入信号设连续时间系统的输入信号x(t)为有为有界，即，界，即，|x(t)| Mx

55、 , Mx为有界正值，由为有界正值，由于零状态响应于零状态响应 dtxhtxthty)()()()()( 欲使欲使y(t)为有界输出，即为有界输出，即|y(t)| ，则式则式(4.9-1)必须是有界的，也就是系统必须是有界的，也就是系统的冲激响应的冲激响应h(t)必须满足绝对可积条件必须满足绝对可积条件 dhty )(4.9-2)(4.9-2) 对于因果系统的冲激响应，当对于因果系统的冲激响应，当t 0时，时，h(t) = 0 , 式式(4.9-2)可写为可写为 0)(dhty(4.9-3)(4.9-3) 系统的冲激响应系统的冲激响应h(t)和系统函数和系统函数H(s)从从不同侧面表征系统的。

56、不同侧面表征系统的。 判别系统是否稳定，既可从时域方面判别系统是否稳定，既可从时域方面也可从也可从S域方面进行，即通过研究域方面进行，即通过研究H(s)在在S平面中极点分布的位置，可很方便地给出平面中极点分布的位置，可很方便地给出有关系统稳定性的结论。有关系统稳定性的结论。 从从4.8.2节中有关系统函数节中有关系统函数H(s)的极点的极点分布与冲激响应模式关系的分析中，可得分布与冲激响应模式关系的分析中，可得出系统极点分布与稳定性的关系。出系统极点分布与稳定性的关系。（1）若）若H(s)的全部极点均位于的全部极点均位于S左半平面左半平面（不包括虚轴），则在（不包括虚轴），则在t时，时，h(t

57、)消失，消失，系统是稳定系统。系统是稳定系统。（2）若在）若在H(s)的极点中，只要有一个位于的极点中，只要有一个位于S右半平面或在虚轴（包括原点）上具有二右半平面或在虚轴（包括原点）上具有二重以上极点，则在重以上极点，则在t时，时，h(t)，系统，系统是不稳定系统。是不稳定系统。（3）若在）若在H(s)的极点中，除了位于的极点中，除了位于S左半左半平面外，还有一阶极点位于虚轴（包括原平面外，还有一阶极点位于虚轴（包括原点）上，则点）上，则h(t)为有限值或为等幅振荡，系为有限值或为等幅振荡，系统是临界稳定系统。统是临界稳定系统。 因此，系统稳定的充分必要条件是系因此，系统稳定的充分必要条件是

58、系统函数统函数H(s)的极点均位于的极点均位于S左半平面，或者左半平面，或者说系统的特征方程说系统的特征方程D(s) = 0的根都具有负的的根都具有负的实部。实部。 连续系统的稳定性准则也称为罗斯连续系统的稳定性准则也称为罗斯霍尔维兹准则（霍尔维兹准则（Routh-Hurwitz criterion）。）。 罗斯罗斯霍尔维兹准则指出：多项式霍尔维兹准则指出：多项式D(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯表中第是罗斯表中第1列的全部元素均大于列的全部元素均大于0，即，即如果罗斯表中第如果罗斯表中第1列的元素均为不等于列的元素均为不等于0的的正值，则正值，则D(s)=0的根全部位于的根全部位于S平面的左半平面的左半部，故系统稳定。部，故系统稳定。 如果罗斯表中第如果罗斯表中第1列元素的符号不完全列元素的符号不完全相同，那么其符号改变次数恰恰就是具有相同，那么其符号改变次数恰恰就是具有正实部或位于